数学活动 月历奥秘及代数推理
题型一 与月历有关的问题
1.在如图的某月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是 ( )
A.72 B.69 C.51 D.27
2.如图是某年某月的月历表，若用一个方框刚好框住月历上的 4 个数：请找出这 4 个数之间的关系后回答：框住4个数的和不可能为下列哪个数 ( )
A.32 B.38 C.56 D.100
3.2024年 3月共有五个星期六，已知第一个星期六是 3 月 2 日，那么第五个星期六是 3 月 日.
4.如图是 2024年1月的月历表：
(1)在图中用优美的“”U形框框住五个数，其中最小的数为1，则U形框中的五个数字之和为 ；
(2)在图中将U 形框上下左右移动，框住月历表中的5个数字，设最小的数字为x，用含x 的式子表示 U 形框框住的五个数字之和为 .
5.在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是某年某月份的月历.
如图所选择的两组四个数，分别将每组数中相对的两数相加，再把和相减，例如：
(7+9)—(1+15)= ,(18+20)—(12+26)= ,不难发现,结果都是
(1)请将上面三个空补充完整；
(2)我们发现选择其他类似的部分规律也相同，请你利用整式的运算对以上的规律加以证明.
6.如图①是某年11月的月历，用如图②的“Z”字形覆盖住月历中的五个数，这五个数从小到大依次为A，B，C，D，E.这五个数的和能被5 整除吗 为什么
(1)甲同学设A=x，通过计算得出了结论，乙同学说自己设C=x更简单，请你分别写出甲、乙同学的解题思路.
(2)小明受到启发，改编了一道题目，请你来解答:代数式A-2B+3C+4D-6E的值是否为定值 若是，请求出它的值；若不是，请说明理由.
题型二 代数推理相关问题
7.有五个连续自然数，若第三个数为a，则这五个数的和是 .
8.设x 表示三位数，y表示两位数，如果把x 放在y的左边组成一个五位数，那么这个五位数可表示为 .
9.对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，那么称 n 为“极数”.
(1)请任意写出两个“极数”: , ;
(2)猜想任意一个“极数”是否是99 的倍数，请说明理由.
10.一个三位数的百位数字是a,十位数字是b,个位数字是c(a≠0,c≠0).
(1)列式表示这个三位数.
(2)将该数的个位数字移到原来百位数字的左边，得到一个新的三位数.
①列式表示这个新三位数.
②计算新三位数与原三位数之差的绝对值，该绝对值能被9 整除吗 说明理由.
11.观察下列三组整式组，回答下列问题：
第一组:2x,—2y;
第二组:4m—n,—3n;
第三组:4s+t,2s—2t,—3s—2t.
(1)将上述每组整式分别相加后，发现所有单项式的系数和为 ；
(2)若满足此特征的整式组称为“O 系整式组”,则2m—3n,—5m+9n,—3m—n这一组整式组 (填“能”或“不能”)构成“O 系整式组”；
(3)若 ax+y,—2x+ by,2x—5y能构成“O系整式组”，a，b为常数，探究a 与b的数量关系，请写出结论，并说明理由.
数学活动 月历奥秘及代数推理
1. A 2. B 3.30
4.(1)38 (2)5x+33
5.解:(1)0 0 0
(2)设正中间的数为a，则周围的四个数分别为a--7,a+7,a--1,a+1.所以[(a-1)+(a+1)]-[(a-7)+(a+7)]=2a--2a=0,即结果都为0.
6.解:(1)甲同学方法:设A=x,则 B=x+1,C=x+8,D=x+15,E=x+16,所以A+B+C+D+E=x+x+1+x+8+x+15+x+16=5x+40=5(x+8),因为5(x+8)能被5整除，所以这五个数的和能被5整除.乙同学方法：设(C=x,则D=x+7,E=x+8,B=x-7,A=x-8,所以A+B+C+D+E=x-8+x-7+x+x+7+x+8=5x.因为5x能被5整除，所以这五个数的和能被5 整除.
(2)代数式A-2B+3C+4D-6E的值是定值,理由如下:设C=x,则D=x+7,E=x+8,B=x—7,A=x—8,所以A-2B+3C+4D-6E=x-8-2(x-7)+3x+4(x+7)—6(x+8)=—14.所以代数式A—2B+3C+4D—6E的值是定值，为—14.
7.5a 8.100x+y
9.解:(1)9207 8316(答案不唯一)
(2)任意一个“极数”都是 99 的倍数，理由如下：设这个“极数”的千 位 数 字 为 a，百位 数 字 为 b，则这 个 数 表 示 为1000a+100b+10(9-a)+(9-b)=1000a+100b+90-10a+9-b=990a+99b+99=99(10a+b+1),因为10a+b+1为正整数，所以任意一个“极数”都是99的倍数.
10.解:(1)这个三位数为100a+10b+c.
(2)①由题意得这个新的三位数，其百位数字是c，十位数字是a,个位数字是b,所以这个新三位数为 100c+10a+b.②新三位数与原三位数之差的绝对值能被 9 整除.理由如下:因为|(100c+10a+b)--(100a+10b+c)|=|99c-90a-9b|=9|11c—10a-b|.所以新三位数与原三位数之差的绝对值能被9整除.
11.解:(1)0
(2)不能
(3)a+b=4.理由如下: ax+y+(-2x+ by)+(2x-5y)=( ax—2x+2x)+(y+ by—5y)= ax+(b—4)y,根据题意得a+b-4=0,即a+b=4
