北京五中分校2024~2025学年度第一学期第一次阶段性练习
初三数学
考生须知
1．本试卷满分100分，考试时间90分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，将答题卡交回．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．下图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若是关于x的方程的一个根，则m的值是（ ）
A． B． C．3 D．15
3．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．若将直线向上平移2个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法正确的是（ ）
A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于
C．与y轴交于 D．y随x的增大而减小
6．在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形，（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M，N，P，Q中，可能是旋转中心的是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
7．如图，在菱形ABCD中，过点D作，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（ ）
A． B． C．4 D．
8．如图，在菱形ABCD中，，O为对角线的交点．将菱形ABCD绕O逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为E，F，G，H．对八边形给出下面四个结论：
①该八边形各边长都相等；
②该八边形各内角都相等；
③点O到该八边形各顶点的距离都相等；
④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．在函数中，自变量x的取值范围是____________．
10．已知点在直线上，且直线经过第一、二、四象限，当时，与的大小关系为____________（填“>”，“<”或“=”）
11．将方程化为一元二次方程的一般形式为____________．
12．若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则n的值为____________．
13．已知关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值是____________．
14．如图所示，在中，，则____________．
15．如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O．若．，则AC的长为____________．
16．联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下：
节目 A B C D
演员人数 10 2 10 1
彩排时长 30 10 20 10
已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．
若节目按“A-B-C-D”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为____________min；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按____________的先后顺序彩排．
三、解答题（本题共68分，第17-18题，每小题6分，第19-21题，每小题5分，第22-23题，每小题6分，第24-26题，每小题5分，27-28每小题7分）
17．解方程：（1） （2）
18．己知，求代数式的值．
19．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，连接OE并延长至点F，使，连接AF，BF．
求证：四边形AFBO是菱形．
20．在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点和．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）若点C是x轴上一点，且的面积为3，求点C的坐标．
21．一个有进水管和排水管的水池，每小时进水量和排水量分别为恒定的数值．从某时刻开始3小时内仅进行进水操作而不排水．在随后的2小时内，水池同时进行进水和排水操作．在最后1小时内，水池仅排水而不再进水．该水池内的水量y（单位：吨）与时间x（单位：小时）之间的函数关系如图所示．
根据图象，回答下列问题．
（1）该水池进水管每小时进水____________吨，排水管每小时排水____________吨；
（2）当时，求水池内的水量；
（3）这6个小时，排水管共排水____________吨．
22．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若，且该方程的一个根是另一个根的2倍，求m的值．
23．在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数的图象与正比例函数的图象交于点．
（1）求k，m的值；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，则a的取值范围是____________．
24．如图，在等腰直角中，，D是BC边上任意一点（不与B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转得到线段AE，连接CE，DE．
（1）求的度数；
（2）若，求DE的长．
25．某果园收获了一批苹果，有2000个苹果作为大果装入包装盒进行销售．设苹果的果径为xmm，其中A款包装盒中的苹果果径要求是，B款包装盒中的苹果果径要求是．从这2000个苹果中随机抽取20个，测量它们的果径（单位：mm），所得数据整理如下：
80 81 82 82 83 84 84 85 86 86
87 87 87 89 90 91 92 92 94 98
（1）这20个苹果的果径的众数是____________，中位数是____________；
（2）如果一个包装盒中苹果果径的方差越小，那么认为该包装盒中的苹果大小越均匀．从这批苹果中分别选出6个装入两个包装盒，其果径如下表所示．
包装盒1的苹果果径 80 81 82 82 83 84
包装盒2的苹果果径 81 81 82 82 82 84
其中，包装盒____________中的苹果大小更均匀（填“1”或“2”）；
（3）请估计这2000个苹果中，符合A款包装盒要求的苹果有多少个？
26．对于函数（m为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题．
（1）当时，函数为；当时，函数为．用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示．
观察函数图象可知：函数的图象关于____________对称；
对于函数，当____________时，；
（2）当时，函数为．
①在图中画出函数的图象；
②对于函数．，当时，y的取值范围是____________；
（3）结合函数和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质．若点和都在函数的图象上，且，直接写出t的取值范围（用含m的式子表示）．
27．在中，于点M，D是线段MC上的动点（不与点M，C重合），将线段DM绕点D顺时针旋转得到线段DE．
（1）如图1，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；
（2）如图2，若在线段BM上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接AE，EF，直接写出的大小，并证明．
28．在平面直角坐标系xOy中，对于点P与图形W给出如下定义：如果存在以点P为端点的一条射线与图形W有目仅有2个公共点，那么称点P为图形W的“相关点”．
已知点．
（1）当时，
①在中，是折线BA-AC的“相关点”的是____________；
②点M为直线上一点，如果M为折线BA-AC的“相关点”，求点M横坐标的取值范围．
（2）正方形DEFG的各边都平行于坐标轴，对角线的交点N的坐标为，如果正方形的边长为2，正方形DEFG上任意一点都是折线BA-AC的“相关点”，请直接写出m的取值范围．
