北京市第一六六中学2024—2025学年度第一学期开学诊断
初三年级 数学学科
（考试时长：120分钟）
考查目标
知识：第二十一章《一元二次方程》、第二十二章《二次函数》 能力：识图、运算、数据分析、几何直观、逻辑推理、数形结合、分类讨论
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每小题2分）
第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．一元二次方程的二次项系数，一次项系数与常数项分别是（ ）
A．1，5，1 B．0，5， C．1，5， D．0，5，1
2．抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．对于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．它的图象的开口向下 B．它的图象的对称轴是直线
C．当时，y取最大值 D．当时，y随x的增大而减小
5．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（ ）
A． B． C．4 D．16
6．若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：
①;②；③；④．
其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每小题2分）
9．抛物线的对称轴是_____．
10．方程的根是_____．
11．若关于x的一元二次方程的一个根是1，则该方程的两个根的积是_____．
12．将抛物线向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是_____．
13．二次函数的x与y的部分对应值如下表：
x 0 1 2 3 4
y m 2 1 2 5 10
则m的值为_____．
14．已知二次函数的图象的对称轴在y轴的左侧，且与x轴没有交点，请写出一个满足条件的b的值：_____．
15．二次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是_____．
16．在平面直角坐标系中，点P的坐标为，称关于x的方程为点P的对应方程．如图，点，点，点．
给出下面三个结论：
①点A的对应方程有两个相等的实数根；
②在图示网格中，若点（m，n均为整数）的对应方程有两个相等的实数根，则满足条件的点P有3个；
③线段上任意点的对应方程都没有实数根．
上述结论中，所有正确结论的序号是_____．
三、解答题（共68分，第17~21题，每题5分，第22~23题，每题6分，第24题5分，第25~26题，每题6分，第27~28题，每题7分）
解答应写出文字说明、验算步骤或证明过程．
17．解方程：．
18．已知a是方程的一个根，求代数式的值．
19．在平面直角坐标系中，抛物线经过点两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）画出该函数的图象；
（3）当时，直接写出y的取值范围．
20．已知关于x的一元二次方程
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根小于1，求m的取值范围．
21．某科技园作为国家级高新技术产业开发区，是重要的产业功能区和高技术创新基地、其总收入由技术收入、产品销售收入、商品销售收入和其他收入四部分构成．2024年6月份该科技园的总收入为600亿元，8月份达到了864亿元，求该科技园总收人的月平均增长率．
22．在平面直角坐标系中，已知抛物线C经过原点和点．
（1）若抛物线C还经过点，求此时抛物线C的解析式，并直接写出该抛物线的顶点坐标；
（2）已知点，，若抛物线C与线段恰有一个公共点，请直接写出a的取值范围．
23．如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为
（1）S与x之间是_____函数关系（填“一次”或“二次”）；
（2）直接写出S与x之间的函数关系式；
（3）当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？
24．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，且当时，函数的最小值为．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）直线与该二次函数的图象和直线的交点分别为C，D．若点C位于点D的上方，结合函数的图象，直接写出m的取值范围．
25．某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．
下面是小红的探究过程，请补充完整：
（1）经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表：
d/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4
h/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.88
在d利h这两个变量中，_____是自变量，_____是这个变量的函数；
（2）在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合表格数据和函数图象，解决问题：
①桥墩露出水面的高度为_____米；
②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离至少为_____米．（精确到0.1米）
26．在平面直角坐标系中，在抛物线上．
（1），求该抛物线的对称轴；
（2）已知点在该抛物线上，设该抛物线的对称轴为．若，且，求t的取值范围．
27．如图，在正方形中，E是边上一动点（不与点B，C重合），连接，点C关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点P，F是中点，连接．
（1）_____；
（2）连接，用等式表示三条线段之间的数量关系，并证明；
（3）若正方形的边长为，请直接写出面积的最大值．
28．在平面直角坐标系中，已知点．对于点给出如下定义：当时，若实数k满足，则称k为点P关于点A的距离系数．若图形M上所有点关于点A的距离系数存在最小值，则称此最小值为图形M关于点A的距离系数．
备用图1 备用图2
（1）当点A和点O重合时，在中，关于点A的距离系数是1的是_____；
（2）已知点，若线段关于点的距离系数小于，则m的取值范围为_____；
（3）已知点，其中．以点T为对角线的交点作边长为2的正方形，正方形的各边均与某条坐标轴垂直，点D，E为该正方形上的动点，线段的长度是一个定值．
①线段关于点A的距离系数的最小值为_____；
②若线段关于点A的距离系数的最大值是，则的长为_____．
