2024-2025学年宁波市海曙区储能学校丽园校区八年级（上）开学
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.汉字是迄今为止持续使用时间最长的文字，是传承中华文化的重要载体．汉字在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“北京之美”四个字的篆书，不能看作轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3.下列命题中是真命题的是( )
A. 相等的角是对顶角 B. 同旁内角相等，两直线平行
C. 全等三角形的对应边相等 D. 如果，那么
4.如图，已知≌，，，则( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，是的角平分线，为上任意一点，，垂足为点，且，则点到射线的距离是( )
A.
B.
C.
D. 不能确定
6.空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是( )
A. 两点确定一条直线
B. 两点之间线段最短
C. 三角形的稳定性
D. 垂线段最短
7.不等式的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
8.如图，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点、画一条射线，就是的平分线．此角平分仪的画图原理是( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点若，则的度数是用含的代数式表示
A.
B.
C.
D.
10.已知一个三角形的三边长均为整数，若其中仅有一条边长为，且它不是最短边，也不是最长边，则满足条件的三角形共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.用不等式表示“线上学习期间，每天体育运动时间超过小时”，设每天的体育运动时间为小时，所列不等式为______．
12.写出命题“直角三角形只有两个锐角”的逆命题______．
13.在中，，，则的度数为______．
14.如图，若≌，、、、在同一直线上，，
，则的长是______．
15.如图所示，已知平分，于点，，则下列结论：；；；，其中正确的结论有______把正确结论的序号填写在横线上．
16.如图，的度数为______．
三、解答题：本题共8小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解不等式，并把解集表示在数轴上．
18.本小题分
如图，在方格纸中，每一个小正方形的边长为，按要求画一个三角形，使它的顶点都在小方格的顶点上．
在图甲中画一个以为边且面积为的直角三角形．
在图乙中画一个以为腰的等腰三角形．
19.本小题分
如图，中，，的垂直平分线交于点．
若，求的度数
若，，求的周长．
20.本小题分
如图，在中，，，试说明的理由．
解：已知，
____________
已知，
等式性质，
______
在与中，
，
≌______，
，______
又，
______
21.本小题分
为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，表示该小区一段长为的斜坡，坡角，于点为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为．
求该斜坡的高度；
求斜坡新起点与原起点之间的距离．假设图中，，三点共线
22.本小题分
如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于，交于，且．
求证：是等腰三角形；
若，，，求的周长．
23.本小题分
模型的发现：
如图，在中，，，直线经过点，且，两点在直线的同侧，直线，直线，垂足分别为点、问：、和的数量关系．
模型的迁移：位置的改变
如图，在的条件下，若、两点在直线的异侧，请说明、和的数量关系，并证明．
24.本小题分
定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”：如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”．
三角形内角度数如图所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数．
图是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数．
在中，其最小的内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请直接写出的度数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.只有两个锐角的三角形是直角三角形
13.
14.
15.
16.
17.解：，
移项，得．
合并同类项，得．
两边都除以，得．
这个不等式的解表示在数轴上如图所示．
18.解：如图甲中，即为所求．
如图乙中，即为所求答案不唯一．
19.解：的垂直平分线交于点，
，
，
；
的周长，
，
，
，
，，
的周长．
20.
21.解：在中，，，，
．
答：该斜坡的高度为；
，，三点共线，，，
，
．
答：斜坡新起点与原起点之间的距离为．
22.证明：，
，．
平分，
．
．
．
是等腰三角形．
解：是的中点，
．
，
．
由对顶角相等可知：．
在和中
≌．
．
，
．
．
的周长．
23.解：，
理由如下：，，
，
在和中，
，
≌，
，，
；
，
证明如下：，
，
直线，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
．
24.解：如图，即为所求：
如图，即为所求：
如图，
当，时，，
，
，
；
当，时，，
，
；
当时，，
，
，
；
当，，，时，，，
，
，
此时在中，其最小的内角为，故此种情况不符合题意；
综上所述，的度数为或或．
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