21.2.1解一元二次方程配方法 同步课堂分层练习【基础卷】
学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________
1．一元二次方程的根为（ ）
A． B．，
C． D．，
2．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．估算的值，下列结论正确的是（ ）
A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间
4．关于的一元二次方程配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
5．用配方法解一元二次方程，将其化成的形式，则变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．用配方法将方程化成的形式，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．下列各式从左到右的变形，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．问题：聪明的你知道代数式的最小值为多少吗？解：因为，又因为，所以，所以的最小值为1．请用上述方法，解决代数式的最小值为（ ）
A．3 B． C．6 D．
9．已知实数 满足 ，设 ，则 的最大值是 （ ）
A． B． C． D．1
10．下列方程中，有实数解的是（ ）
A． B． C． D．
11．代数式的值恒为（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
12．若，则的值为（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
13．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数的图像与正方形的两边，分别交于点M，N，连接，，，若，，则k的值为 ．
已知方程有一根为，则的值为 ．
若方程的两根为，则方程的两根为 ．
方程左边配成一个完全平方式后，所得的方程是 ．
17．王老师在批改作业时发现，一位同学在用配方法解一元二次方程时，配方后等号右边的数字不小心被墨水污染了如下：▊．若该方程的一个根为，则另一个根为 ．
18．完成下面的解题过程：
用配方法解方程：．
解：移项，得 ．
二次项系数化为1，得 ．
配方，得 ， ．
开平方，得 ，
x1＝ ，x2＝ ．
19．解方程：
(1)； (2)．
20．先阅读下列问题，再按要求解答问题：
例题：求代数式的最小值．
解：
∵，∴，
∴的最小值是9．
(1)求代数式的最小值；
(2)求代数式的最大值；
(3)小红的爸爸要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形鸡舍，鸡舍一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设；请问：当x取何值时，鸡舍的面积最大？最大面积是多少？
21．“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：
，
∵，
∴，
∴，
试利用“配方法”解决下列问题：
(1)如果，那么的值为 ．
(2)已知，求的值；
22．用指定方法解方程：
(1)（直接开平方法） (2)（配方法）；
(3)（公式法）．
23．【阅读理解】
以上分解因式的方法称为分组分解法，分组的方式可以任意两项组合成一组，也可以是其中若干项分成一组．
【问题解决】
(1)分解因式：；
(2)的三边，，满足，判断的形状．
1．D
【详解】本题主要考查了运用平方根解方程，运用直接开平方法即可解决问题．
【分析】解：∵，
∴x是3的平方根，
则，
故选：D．
2．C
【分析】本题考查直接开方法解方程，根据完全平方的非负性，得到，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选C．
3．B
【分析】本题主要考查了无理数的估算能力，由于，由此估计的整数部分和小数部分，然后即可判断．
【详解】解：∵
∴，
∴．
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．
先把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
【详解】解：
，
故选C
5．D
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是本题的关键．将一元二次方程，移项，配方，即可得出答案．
【详解】解：由题意得，，
，
，
故选：D．
6．C
【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法的步骤一除，二移，三配方，是解题的关键．
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得，，代入代数式计算即可．
【详解】解：，
，
∴，
∴，
∴，；
∴
故选：C．
7．C
【分析】本题主要考查了完全平方公式．分别根据完全平方公式逐一判断即可得出正确选项．熟记公式是解答本题的关键．
【详解】解：A．，故本选项错误，不符合题意；
B．，故本选项错误，不符合题意；
C．，故本选项正确，符合题意；
D．互为相反数，故本选项错误，符合题意．
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了配方法的应用，模仿题意的解题过程，进行变形作答即可．
【详解】解：依题意，，
∵，
∴，
∴所以的最小值为，
故选：B．
9．B
【分析】根据，可以得到，然后可以得到，进而得到，再设，即可得到，然后即可写出的最大值，从而可以得到的最大值．本题考查配方法的应用、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出的最大值．
【详解】解：，
，
，
，
设，则，
则，
的最大值为，
即的最大值为，
故选：B．
10．C
【分析】本题考查了解分式方程，偶次幂和算术平方根的非负性，根据偶次幂和算术平方根的非负性以及解分式方程的方法和步骤逐个判断即可．
【详解】解：A、∵，∴，∵，∴该方程无实数解，不符合题意；
B、∵，∴，∵，∴该方程无实数解，不符合题意；
C、，
，
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，故该方程有实数根，符合题意；
D、∵，∴，∵，∴该方程无实数解，不符合题意；
故选：C．
11．A
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将原式整理为，即可获得答案．
【详解】解：∵，
又∵，
∴，
∴代数式的值恒为正数．
故选：A．
12．A
【分析】本题考查了配方法的应用、已知式子的值，求代数式的值，先整理，以及把化为，再把，代入计算化简，即可作答．
【详解】解：∵
∴，
则
把，代入上式，得
故选：A
13．
【分析】延长到，使得，连接，易证，根据全等三角形的性质，进一步证明，根据全等三角形性质，求出的值，再设正方形边长为，在中根据勾股定理即可求出正方形的边长，进一步可知点坐标，即可求出的值．
【详解】解：延长到，使得，连接，如图所示：
在正方形中，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
即，
设，
，
，
，在反比例函数上，
，
，
，
解得，
设正方形边长为，则，，
在中，根据勾股定理，得，
解得或（舍，
点坐标为，，
将点坐标代入反比例函数解析式，
得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与正方形的综合，涉及三角形全等，正方形的性质，勾股定理等，构造全等三角形求出的长再根据勾股定理求出正方形的边长是解题的关键，本题综合性较强．
14．2018
【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，根据方程有一根为得出，整体代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵方程有一根为，
∴，即，
∴，
故答案为：2018．
15．，
【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等．
利用配方法求解即可．
【详解】解：，
，
，即，
方程的两根为，
，
，．
故答案为：，．
16．
【分析】本题考查的是配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的相关步骤及要求是解题的关键．
提取公因式3，得，括号内加上一次项一半的平方，再减去一次项一半的平方，得，则可以把左边配成一个完全平方的形式．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
17．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，先把代入原方程，求出▊，进而解方程即可得到答案．
【详解】解：∵方程▊的一个根为，
∴▊，即▊，
∴原方程为，
解得，
故答案为：．
18．
【分析】按照配方法的步骤解方程即可．
本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．
【详解】解：移项，得，
二次项系数化为1，得，
配方，得，，
开平方，得，
，．
故答案为：，，，，，，．
19．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，
（1）采用因式分解法作答即可；
（2）两边同时开方转化为一元一次方程，即可作答．
【详解】（1），
方程左边分解因式，得
所以或，
解得，；
（2），
开平方，得，或，
解得，．
20．(1)4
(2)4
(3)当时，花园的面积最大，最大面积是
【分析】本题考查了配方法的应用：
（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；
（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值；
（3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及的值即可；
熟练掌握配方法是解题的关键．
【详解】（1）解：，
∵，
∴，
∴的最小值是4．
（2），
∵，
∴，
∴，
∴的最大值是4．
（3）设，则，
由题意，得花园的面积是，
，
，
的最大值是50，此时，，符合题意，
则当时，花园的面积最大，最大面积是．
21．(1)；
(2)．
【分析】（）将方程组的三个方程相加，变形后再根据完全平方式的特征求解；
（）先配方，再根据非负数的性质求值即可；
【详解】（1）
，得：，
∴，
∴，
∴，，
∴，，，
∴，，，
∴，
故答案为：；
（2），
，
，
∴，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查配方法的应用，完全平方公式的应用，正确配方，充分利用平方的非负性是解题的关键．
22．(1)，
(2)，
(3)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
（1）利用直接开方法解一元二次方程即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可；
（3）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）
解得，；
（2）
∴
解得，；
（3）
，，
∴
解得，．
23．(1)
(2)是等腰三角形
【分析】本题考查因式分解及因式分解的应用，
（1）根据上述的分组分解法将原式进行因式分解即可；
（2）先将原式进行因式分解，得：，根据题意可知，，即，即可得出结果；解题的关键是掌握因式分解的基本思路：一个多项式如有公因式首先提取公因式，然后再用公式法进行因式分解；如果剩余的是两项，考虑使用平方差公式，如果剩余的是三项，考虑使用完全平方公式，如果剩余的是四项或四项以上，考虑分组；因式分解要彻底，要分解到不能分解为止．
【详解】（1）解：
；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，是的三边，
∴，
∴，即，
∴是等腰三角形．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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