人教A版数学必修一集合
一、选择题
1．，，则（ ）
A． B． C． D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分必要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
3．已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
4.已知集合，则下列选项中不正确的是（ ).
A.A∪M=A B. C.B∩M=M D.A∩B=M
5．若命题“，”是假命题，则不能等于（ ）
A． B． C． D．
6．定义：若集合满足，存在且，且存在且，则称集合为嵌套集合．已知集合且，，若集合为嵌套集合，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7． 设集合，、均为的非空子集（允许）．中的最大元素与中的最小元素分别记为，则满足的有序集合对的个数为（ ）．
A． B．
C． D．
8．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“＊”如下：当m、n都为正偶数或正奇数时，m＊n =m+n;当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m＊n=mn.则在此定义下，集合M={(a,b)|a*中的元素个数是().
A．10个 B．15个 C．16个 D．18个
二、多项选择题
9．已知集合满足，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则中的元素的个数为1
B．若，则中的元素的个数为15
C．若，则中的元素的个数为45
D．若，则中的元素的个数为78
10．已知集合，，则有（ ）
A． B． C． D．
11． 若集合和关系的Venn图如图所示，则可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
12． 设集合，，且，则满足条件的实数的值是（ ）
A．－2 B．3 C．1 D．0
三、填空题
13．若集合，集合B={1,2}，且A B，则实数a的取值范围是 .
14．已知集合、．若，则 ．
15．设集合，且中任意两数之和不能被整除，则的最大值为 ．
16．集合的容量是指集合中元素的和．则满足条件“A包含于｛1,2,3,4,5,6,7｝，且若a∈A时，必有8-a∈A"”的所有非空集合A的容量的总和是 （用具体数字作答）.
四、解答题
17．已知集合，是否存在这样的实数m，使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m的值组成的集合M；若不存在，请说明理由.
18．已知集合，集合．
（1）当时，求和；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
19．2．集合的容量是指集合中元素的和．则满足条件“A包含于｛1,2,3,4,5,6,7｝，且若a∈A时，必有8-a∈A"”的所有非空集合A的容量的总和是 （用具体数字作答）.
20． 抽屉原则是德国数学家狄利克雷（P.G.T.Dirichlet，1805~1859）首先提出来的，也称狄利克雷原则. 它有以下几个基本表现形式（下面各形式中所涉及的字母均为正整数）：
形式1：把个元素分为个集合，那么必有一集合中含有两个或两个以上的元素.
形式2：把个元素分为个集合，那么必有一集合中含有个或个以上的元素.
形式3：把无穷多个元素分为有限个集合，那么必有一个集合中含有无穷多个元素.
形式4：把个元素分为个集合，那么必有一个集合中的元素个数，也必有一个集合中的元素个数.（注：若，则表示不超过的最大整数，表示不小于的最小整数）. 根据上述原则形式解决下面问题：
（1）①举例说明形式1；
②举例说明形式3，并用列举法或描述法表示相关集合.
（2）证明形式2；
（3）圆周上有2024个点，在其上任意标上（每点只标一个数，不同的点标上不同的数）.
①从上面这2024个数中任意挑选1013个数，证明在这1013个数中一定有两个数互质；（若两个整数的公约数只有1，则这两个整数互质）
②证明：在上面的圆周上一定存在一点和与它相邻的两个点所标的三个数之和不小于3038.
21．对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”．
（1）判断集合是否为“和谐集”，并说明理由；
（2）求证：集合是“和谐集”；
（3）求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数．
22．设全集，集合A是U的真子集．设正整数，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的子集：
①；
②，若，则；
③，若，则．
（1）当时，判断是否为U的子集，说明理由；
（2）当时，若A为U的子集，求证：；
（3）当时，若A为U的子集，求集合A．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】B
5．【答案】C
6．【答案】A
7．【答案】B
8．【答案】D
9．【答案】B,C,D
10．【答案】B,C
11．【答案】A,C,D
12．【答案】A,D
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】16
16．【答案】224
17．【答案】（存在，M＝
18．【答案】解：（1）由题可知，当时，则，
或，
则，
所以.
（2）由题可知，是的必要不充分条件，则，
当时，，解得：；
当时，或，
解得：或；
综上所得：或.
19．【答案】
20．【答案】（1）①形式1举例：把十个苹果放在九个抽屉里，那么必有一个抽屉中含有两个或两个以上的苹果.
②形式3举例：是全体正整数的集合，其集合元素有无穷多个.将分成两个集合，，，显然集合中有无穷多个元素.
（2）证明（反证法）：把个元素分为个集合：.
分别用表示中元素的个数.
则.
假设形式2结论不成立，即每个集合至多含有个元素，则与矛盾.
假设不成立.
故，把个元素分为个集合，那么必有一集合中含存个或个以上元素.
（3）①证明：构造如下1012个抽屉：，显然每个抽屉中两数相邻，必互质.
从这2024个数中任意挑选1013个数，即从1012个抽屉中抽取1013个数，由形式1可知，必有一个抽屉挑选出两个数.
所以在这1013个数中一定有两个数互质.
②设圆周上各点的数值依次为，由题意可得为的一个全排列.
依次将每相邻的3个数设为一个数组，即有共2024组，这2024个组的所有数之和为；
，
又，
又因为每组中的3个数之和都为整数，由形式4可知，一定存在一组数的和不小于3038.
所以，在上面的圆周上一定存在一点和与它相邻的两个点所标的三个数之和不小于3038.
21．【答案】（1）解：对于集合，当去掉元素2时，剩余的所有元素之和为13，
不能分为两个交集为空集且这两个集合的所有元素之和相等的集合，
所以集合不是“和谐集”.
（2）证明：设，
当去掉元素1时，有；
当去掉元素3时，有；
当去掉元素5时，有；
当去掉元素7时，有；
当去掉元素9时，有；
当去掉元素11时，有；
当去掉元素13时，有.
所以集合是“和谐集”.
（3）证明：设“和谐集”所有元素之和为.
由题可知，均为偶数，因此的奇偶性相同.
（i）如果为奇数，则也均为奇数，
由于，所以为奇数.
(ii)如果为偶数，则均为偶数，此时设，则也是和谐集”.重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“和谐集”.
此时各项之和也为奇数，集合中元素个数为奇数.综上所述，集合中元素个数为奇数.
22．【答案】（1）解：当时，，，，
取，则，但，不满足性质②，
所以不是U的子集.
（2）解：当时，A为U的子集，
则；
假设，设，即
取，则，但，不满足性质②，
所以，；
假设，
取，，且，则，
再取，，则，
再取，，且，
但与性质①矛盾，
所以.
（3）解：由（2）得，当时，若A为U的子集，，，，
所以当时，，
若A为U的子集，，，；
若，取，，则，，
再取，，则，与矛盾，
则，；
若，取，，则，与矛盾，则，；
若，取，，则，与矛盾，则，；
若，取，，则，与矛盾，则，；
取，，则，；
取，，则；
取，，则，；
取，，则；
取，，则，；
综上所述，集合.
