第一章 一元二次方程 2024-2025学年苏科版数学九年级上册
一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的是( )
A． B． C． D．
2．把方程2x(x+5)=10化为一般形式后,二次项系数、一次项系数、常数项分别是 ( )
A．2,5,10 B．2,5,-10 C．2,1,5 D．2,10,-10
3．方程的解为（ ）
A． B． C．， D．，
4．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
5．一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，则这个三角形的第三条边不可能为（ ）
A．7 B．11 C．15 D．19
6．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，配方正确的是（ ）
A．（x﹣6）2=32 B．（x﹣6）2=40 C．（x﹣3）2=5 D．（x﹣3）2=13
7．小颖在学习“花边有多宽”时，对一元二次方程的根做了如下估计：
0 1 2 3
40 18 4
由她所列表格的数据可知，此方程的一个根为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．我校初三某班第一次体育模拟测试平均分为分，经过专业的体育指导和训练后，在之后的第二次和第三次体育模拟测试中，班级平均分稳步提升，第三次体育模拟测试平均分达到分，设该班每次测试班级平均分较上次的增长率相同，均为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知实数，满足，，且，则
A． B．-3 C．3 D．7
10．如图，一张长方形纸板长40cm，宽30cm，剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉部分），剩余的部分可折成一个有盖的长方体纸盒，若纸盒底面ABCD的面积等于300，设剪掉的小正方形边长为x cm，则根据题意可得方程（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．写出一个一元二次方程，使它的两个根分别是3、，则这个一元二次方程可以是 ．
12．方程的根是 ．
13．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
14．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
15．参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为 ．
16．太原迎泽公园是太原市内最大的综合性文化休闲公园，其间种植了数万株观赏树木、桥、廊、亭、榭多不胜数．如图，相关部门计划在公园内一块长为32米，宽为20米的近似矩形湖面上修筑宽度固定的观景长廊（图中阴影部分），要使湖面剩余部分（空白部分）的面积为540平方米，则长廊的宽为 米．
17．如图，王师傅要建一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的彩钢围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边要留出安装木门．若要使羊圈的面积为，则所围矩形与墙垂直的一边长为 ．
三、解答题
18．解方程
(1)； (2)．
19．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根是2，求的值及方程的另一个根．
20．如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长的围栏建两个面积相等的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门，垂直于墙的边长度不超过6米（围栏宽忽略不计）．
(1)若每个生态园的面积为48平方米，求每个生态园各边的长度；
(2)每个生态园的面积能不能达到108平方米？
21．目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2020年底有用户2万户，计划到2022年底，全市用户数累计达到8.72万户．
(1)求全市用户数的年平均增长率．
(2)按照这个增长率，预计2023年底全市用户数累计达到多少万户？
22．中考临近，某商家抓住商机，购买了一批考试专用笔和圆规，商家用1600元购买笔，1200元购买圆规，每支笔和每个圆规的进价之和为10元，且购买笔的数量是圆规的2倍.
(1)求商家购买笔和圆规的进价；
(2)商家在销售过程中发现，当笔的售价为每支8元，圆规的售价为每个12元时，平均每天可卖出50支笔，30个圆规，据统计，圆规的售价每降低0.5元平均每天可多卖出5个，且降价幅度不超过10%.商家在保证笔的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使笔和圆规平均每天的总获利为400元，则每个圆规的售价为多少元？
23．已知实数a，b，c，其中b，c满足，方程和．有一个相同的实数根，方程和方程有一个相同的实数根．
(1)用含a，b，c的式子表示方程和的一个相同的实数根为；
(2)求证：是方程的实数根；
(3)求实数a，b，c的值．
