（5）函数应用—高一数学北师大版(2019)必修一单元检测卷（B卷）
【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.声强级Li（单位:dB）与声强I（单位:）之间的关系是:,其中指的是人能听到的最低声强,对应的声强级称为闻阈.人能承受的最大声强为,对应的声强级为,称为痛阈.某歌唱家唱歌时,声强级范围为（单位:dB）,则此歌唱家唱歌时的声强范围（单位:）为( )
A. B. C. D.
2.假设某条道路一小时通过的车辆数，其中为安全距离（m），v为车速（m/s）.当安全距离时，该道路一小时通过车辆数的最大值约为( )
A.135 B.149 C.165 D.195
3.若下列3个关于x的方程,,中最多有两个方程没有实数根,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4.给出下列函数，其中在上是增函数且不存在零点的函数的是( )
A. B. C. D.
5.某学校塑胶跑道的宽为2米,以跑道最左侧内轮廓半圆弧的中点为坐标原点O,建立如图所示的直角坐标系,跑道内轮廓上半部分图象对应的函数解析式为,跑道由两个半圆环和两个矩形组成,现需要重新翻新塑胶跑道,每平方米的价格为100元,则翻新跑道共需要投入的资金为( )
A.万元 B.万元
C.万元 D.万元
6.已知函数，若函数有3个零点，，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间上是增函数，若方程，在区间上有四个不同的根，，，，则( )
A.-12 B.-8 C.-4 D.4
8.已知函数，若方程有5个不同的实数解，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.边际函数是经济学中一个基本概念,在国防,医学,环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用,函数的边际函数定义为.某公司每月最多生产75台报警系统装置,生产台的收入函数(单位:元),其成本的数(单位:元),利润是收入与成本之差,设利润函数为,则以下说法正确的是( )
A.取得最大值时每月产量为63台
B.边际利润函数的表达式为
C.利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值
D.边际利润函数说明随着产量的增加,每台利润与前一台利润差额在减少
10.如图，某湖泊蓝藻的面积y（单位：）与时间t（单位：月）的关系满足，则下列说法正确的是( )
A.蓝藻面积每个月的增长率为
B.蓝藻每个月增加的面积都相等
C.第4个月时，蓝藻面积就会超过
D.若蓝藻面积蔓延到，，所经过的时间分别是，，，则一定有
11.已知定义在R上的函数的图象连续不断,若存在常数,使得对于任意的实数x恒成立,则称是回旋函数.给出下列四个命题,正确的命题是( )
A.函数（其中a为常数,）为回旋函数的充要条件是
B.函数不是回旋函数
C.若函数为回旋函数,则
D.函数是的回旋函数,则在上至少有1011个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.表观活化能的概念最早是针对阿伦尼乌斯公式中的参量提出的，是通过实验数据求得，又叫实验活化能.阿伦尼乌斯公式中的k为反应速率常数，R为摩尔气体常量，T为热力学温度（单位为开尔文，简称开），为频率因子.已知某化学反应的温度每增加10开，反应速率常数k变为原来的2倍，则当温度从300开上升到400开时，_________.（参考数据：）
13.已知函数且关于x的方程有7个不同实数解，则实数m的取值范围为__________.
14.设a、b分别是方程与的根,则_________________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）某视频设备生产厂商计划引进一款新型器材用于产品生产,以提高整体效益.通过市场分析,每月需投入固定成本5000元,每月生产x台该设备另需投入成本元,且,若每台设备售价1000元,且当月生产的视频设备该月内能全部售完.
（1）求厂商由该设备所获的月利润关于月产量x台的函数关系式;（利润＝销售额－成本）
（2）当月产量为多少台时,制造商由该设备所获得的月利润最大？并求出最大月利润.
16.（15分）2023年9月17日,联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议,将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》,成为全球首个茶主题世界文化遗产.经验表明,某种普洱茶用的水冲泡,等茶水温度降至饮用,口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下,刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间,每隔1分钟测量一次茶水温度,得到茶水温度y（单位:℃）与时间t（单位:分钟）的部分数据如下表所示:
时间t/分钟 0 1 2 3 4 5
水温 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33
（1）给出下列三种函数模型:①,
②,
③,请根据上表中的数据,选出你认为最符合实际的函数模型,简单叙述理由,并利用表中前3组数据求出相应的解析式;
（2）根据（1）中所求模型,求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）.（参考数据:）
17.（15分）在国家大力发展新能源汽车产业政策影响下，我国新能源汽车的产销量高速增长.某地区2021年底新能源汽车保有量为1500辆，2022年底新能源汽车保有量为2250辆，2023年底新能源汽车保有量为3375辆.
（1）设从2021年底起经过x年后新能源汽车保有量为y辆，根据以上数据，试从（，且）和（，且）两种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势并说明理由，求出新能源汽车保有量y关于x的函数关系式；
（2）2021年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，且传统能源汽车保有量每年下降，若每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.（参考数据：，，）
18.（17分）设函数的定义域，若对任意，均有成立，则称为“无奇”函数.
(1)判断函数①和②是否为“无奇”函数，说明理由；
(2)若函数是“无奇”函数，求实数m的取值范围.
19.（17分）已知函数是偶函数.
（1）求实数k的值;
（2）函数且,函数有2个零点,求实数m的取值范围.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由题意,,则,所以,当时,即,则,当时,即,则,故歌唱家唱歌时的声强范围为（单位:）,故B正确.故选B.
2.答案：B
解析：由题意得，当且仅当，即时取等号，所以该道路一小时通过车辆数的最大值约为149.
3.答案：A
解析：假设3个关于x的方程都没有实数根,则即所以,
所以若这3个关于x的方程中最多有两个方程没有实数根,则实数a的取值范围是.
故选:A.
4.答案：A
解析：对于A选项，函数在上是增函数且不存在零点，故A正确；
对于B选项，函数的零点是1，故B错误；
对于C选项，函数在上是减函数，故C错误；
对于D选项，函数在上是减函数，故D错误.
故选：A.
5.答案：B
解析：当时,由,得,则曲线表示半径为36的四分之一个圆;
当时,由,得,则曲线表示半径为36的四分之一个圆.
所以塑胶跑道的面积,则翻新跑道共需要投入的资金为万元.
6.答案：C
解析：如图所示，
函数有3个零点，，，可得，如图可得，
可得，，为函数：，与的交点横坐标，
易得，，
，
故的取值范围为，
故选C.
7.答案：B
解析：因为是定义在R上的奇函数，满足，所以，由为奇函数，所以函数图象关于直线对称且，由知，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为在区间上是增函数，所以在区间上也是增函数.如图2所示，那么方程在区间上有四个不同的根，，，，不妨设，由对称性知，即，同理：，所以.选B.
8.答案：B
解析：由解析式得函数大致图象如下.由，令，可得或.令，当或时有1个解；当或时有2个解；当时有3个解；当时无解.要使有5个不同的实数解.
若，则，此时方程有1解；若，则有2个解，有1解，此时方程共有3个解；若，则有1个解，有3解，有1解，此时方程共有5个解；若，则有1个解，有3解，有2解，此时方程共有6个解；若，则有1个解，有3解，有3解，此时方程共有7个解；若，则有3个解，有3个解，此时方程共有6个解；若，则有3个解，此时方程共有3个解；若，没有对应t，此时方程无解；综上，.
9.答案：BCD
解析：对于A选项,,
二次函数的图象开口向下,对称轴为直线,
因为,所以,取得最大值时每月产量为63台或62台,A错;
对于B选项,
,B对;
对于C选项,,
因为函数为减函数,则,C对;
对于D选项,因为函数为减函数,
说明随着产量的增加,每台利润与前一台利润差额在减少,D对.
故选:BCD.
10.答案：ACD
解析：由题图可知，函数的图象经过点，即，则，，不是常数.由可知蓝藻每个月的面积是上个月面积的3倍，则每个月的增长率为，A正确，B错误；
当时，，C正确；
若蓝藻面积蔓延到，，所经过的时间分别是，，，则，，，，则，D正确.故选ACD.
11.答案：ABD
解析：函数（其中a为常数,）是定义在R上的连续函数,且,当时,对于任意的实数x恒成立,若对任意实数x恒成立,则,解得:,故函数（其中a为常数,）为回旋函数的充要条件是,故A正确;若函数是回旋函数,则,对任意实数都成立,令,则必有0,令,则,显然不是方程的解,故假设不成立,该函数不是回旋函数,故B正确;在R上为连续函数,且,要想函数为回旋函数,则有解,则,故C错误;由题意得:,令得:,所以与异号,或,当时,由零点存在性定理得:在上至少存在一个零点,同理可得:在区间,,,…,,上均至少有一个零点,所以在上至少有1011个零点,当时,有,此时在上有1012个零点,综上所以在上至少有1011个零点,故D正确.故选ABD.
12.答案：8400
解析：根据题意，温度每增加10开，反应速率常数k变为原来的2倍，则当温度从300开上升到400开时，反应速率常数k变为300开时的倍，
由，
当开时，，
当开时，，
所以，
，，，，
.
13.答案：
解析：由题意，的图像如图所示，
因为有7个不同实数解，设，
则方程有2个不等实根
，且或，
当，时，，满足题意;
当时，，解得.综上，.
14.答案：-2
解析：由可得,由可得,
所以a是与的交点横坐标,
b是与的交点横坐标,
由于函数与互为反函数,图象关于对称,
联立与可得,
故,
故答案为：-2.
15.答案：（1）
（2）当时,获得增加的利润最大,且增加的最大利润为4000元
解析：（1）当时,;
当时,．
（2）当时,,
当时,．
当时,,
当且仅当,即时,．
当时,获得增加的利润最大,且增加的最大利润为4000元
16.答案：（1）选模型②,理由见解析,解析式为
（2）6.5min
解析：（1）由表格数据可知,函数单调递减且递减速度逐渐变慢,
模型③为单调递增的函数,不符合,
模型①为直线型,不符合递减速度逐渐变慢,
故模型①③不符合,选模型②,
则,解得,
所以;
（2）令,则,
所以,
即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为6.5min.
17.答案：（1）
（2）2030年底新能源汽车的保有量将超过传统能源汽车的保有量
解析：（1）由于新能源汽车保有量每年增长得越来越快，因此应该选择指数模型，
应选函数模型是（，且），
由题意得解得所以.
（2）设从2021年底起经过x年后传统能源汽车保有量为m辆，则有，
令，
即，
化简得，
解得，
故从2021年底起经过9年后，即2030年底新能源汽车的保有量将超过传统能源汽车的保有量.
18.答案：(1)①不是，②是，理由见解析；
(2)
解析：（1）对于函数①，因，符合，故不是“无奇”函数；
对于②，由
因，故恒成立，即是“无奇”函数.
（2）假设不是“无奇”函数，则方程有解，
即，即有解.
令，则，当且仅当时取等号，
则，因，则，，
从而，，即需使，得，
因函数是“无奇”函数，故或.
即实数m的取值范围为.
19.答案：（1）
（2）
解析：（1）因为函数是偶函数,
所以,即,
所以,
即,
所以,得.
（2）函数有2个零点,即关于x的方程有2个不相等的实数根,
化简上述方程得,
即,
所以,
所以.
令,得关于的方程.
记.
①当时,函数的图象开口向上,图象恒过点,方程只有一个正实根,不符合题意.
②当时,函数的图象开口向下,图象恒过点,因为,要满足题意,则方程应有两个正实根,即,解得或,又,所以.
综上,m的取值范围是.
