天津市第四十一中学2024—2025学年度第一学期高三第一次月考
数学
一、选择题：（每小题5分，共45分）
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知命题：“”，则为（ ）
A． B．
C．不存在 D．
4．函数的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
5．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）
A．120 B．60 C．40 D．30
7．有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）
A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1
8．已知定义在R上的偶函数在区间上递减．若，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．．
9．已知，函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． c． D．
二、填空题：（每小题5分，共30分）
10．已知i是虚数单位，化简的结果为______．
11．在的展开式中，项的系数为______．
12．已知随机变量服从正态分布，且，则______．
13．甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5∶4∶6，这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%，25%，50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为______；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为______．
14．已知，则的最小值为______．
15．下列命题正确的是______．
①对于事件，若，且，则
②若随机变量，则
③相关系数的绝对值越接近1，两个随机变量的线珄相关程度越强
④在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越差
三、解答题：（本大题共5小题，共75分），
16．已知定义域为的单调函数是奇函数，当时，．
（1）求的解析式；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
17．在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16.
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（2）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的分布列和数学期望．
18．已知函数．
（1）讨论函数的极值；
（2）若，求在上的最大值．
19．甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况、随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
准点班次数 未准点班次数
A 240 20
B 210 30
（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：，
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
20．已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）证明：若有两个零点，则．
