2024-2025学年度上学期高三第一次模拟考试数学学科
一、选择题（共8小题）
1．复数的虚部为（ ）
A．1 B． C．i D．
2．设A，B，C，D是四个命题，若A是B的必要不充分条件，A是C的充分不必要条件，D是B的充分必要条件，则D是C的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．定义：若集合A，B满足，存在且，且存在且，则称集合A，B为嵌套集合．已知集合，若集合A，B为嵌套集合，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：规定：①为同时与垂直的向量：②三个向量构成右手系（如图1）；③，如图2，在长方体中，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．长方体的体积
C． D．
6．已知平面向量满足，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．经济学理论知企业产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响，若用Q表示产量，L表示劳动投入，K表示资本投入，A表示技术水平，则它们的关系可以表示为，其中，．当A不变，K与L均变为原来的2倍时．下列说法正确的是（ ）
A．存在和，使得Q不变 B．存在和，使得Q变为原来的2倍
C．若，则Q最多可变为原来的2倍 D．若，则Q最多可变为原来的2倍
8．已知函数与其导函数为定义域均为R，且满足，，给出以下四个命题：①②③函数的图象关于直线对称④，其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题（共3小题）
9．已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．若是R上的增函数，则
B．当时，函数有两个极值
C．当时，函数有三个零点
D．当时，在点处的切线与只有唯一个公共点
10．如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段上运动，则下列判断中正确的是（ ）
A．三棱锥的体积是 B．平面
C．平面与平面所成的二面角为 D．异面直线与所成角的范围是
11．已知随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3 …
P …
若数列是等差数列，则（ ）
A．若n为奇数，则 B．
C．若数列单调递增，则 D．
三、填空题（共3小题）
12．某圆锥的侧面展开图为一个扇形，已知该扇形的圆心角为，半径为，则该圆锥的体积为______________．
13．已知实数a，b满足，且，若关于t的不等式恒成立，则实数t的取值范围是____________．
14．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，若M为的外心，AM的延长线交BC于D，且，则_______；的面积为___________．
四、解答题（共5小题）
15．已知不等式的解集为．
（I）求不等式的解集T；
（II）设非空集合，若是的充分不必要条件，求m的取值范围．
16．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（1）求a的取值范围；
（2）求最大时，的面积．
17．如图，直角梯形ACDE中，，B、M分别为AC、ED边的中点，将沿BE边折起到的位置，N为边的中点．
（1）证明：平面；
（2）当三棱锥的体积为，且二面角为锐二面角时，求平面NBM与平面BEDC夹角的正切值．
18．设是数列的前n项和，已知．
（1）证明：是等比数列；
（2）求满足的所有正整数n．
19．已知函数．
（1）知函数的图象与函数的图象关于直线对称，试求；
（2）证明；
（3）设是的根，则证明，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
