22级高三上学年开学考试
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自已的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：集合 常用逻辑用语 不等式 函数 导数 三角函数 解三角形.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.若，则（ ）
A.-12 B. C.12 D.
3.函数的极值点为（ ）
A. B. C. D.
4.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
5.已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（ ）
A. B. C. D.
6.“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.如图1，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数满足：对任意实数，都有成立，且.给出下列四个结论：①；②的图象关于点对称；③若，则；④.其中所有正确结论的序号是（ ）
A.①③ B.③④ C.②④ D.②③
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列命题既是存在量词命题又是真命题的是（ ）
A.
B.
C.至少存在两个质数的平方是偶数
D.存在一个直角三角形的三个内角成等差数列
10.若，则（ ）
A. B.
C. D.
11.已知函数有4个不同的零点，则的取值可以为（ ）
A.-3 B.-2 C. D.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若是定义在上的奇函数，当时，，则__________.
13.已知函数，则函数的定义域为__________.
14.已知函数在与上的值域均为，则的取值范围为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知函数.
（1）求的解析式；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（3）求的值.
16.（15分）
已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性.
17.（15分）
已知.
（1）求的取值范围；
（2）求的最小值；
（3）若恒成立，求的取值范围.
18.（17分）
在中，分别是内角的对边，且.
（1）若为的中点，求的长；
（2）若，求的值.
19.（17分）
若函数在上存在，使得，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点.
（1）判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由.
（2）已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”，是在上的中值点.
①求的取值范围；
②证明：.
22级高三上学年开学考试
数学参考答案
1.D .
2.C .
3.B ，令，得，令，得，
所以的极小值点为.
4.D .
又.
5.B 因为幂函数的图象过定点，所以的图象经过定点.
6.B 由，可得，则，即.由，可得，即，则，得或.
7.A 设注入溶液的时间为（单位：）时，溶液的高为，
则，得.
因为，所以当时，，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为.
8.D 令，则，因为，所以，故①错误.
令，则，所以关于点对称，所以的图象关于点对称，故②正确.
因为，所以，因为，所以，故③正确.
因为，所以，所以，故④错误.
9.BD “”不是存在量词命题，A错误.因为只有质数2的平方为偶数，所以不存在两个质数的平方是偶数，C错误.内角为的直角三角形的三个内角成等差数列，D正确.
10.ABC 因为，所以，所以，A，B均正确.
，因为，所以，C正确，D错误.
11.AD 由题意可得方程有4个不同的根.方程的2个根为，则方程有2个不同的根，且，即函数与函数的图象有两个交点.当直线与函数的图象相切时，设切点为，因为，所以解得.要使函数与函数的图象有两个交点，只需直线的斜率大于，故的取值范围为
12.-18 因为是定义在上的奇函数，所以-18.
13.（或） 由，得，由，得，则，解得，即.
14. 由题意可得.由，得，由，得.因为，所以，则解得，即的取值范围是
15.解：（1）（方法一）令，得，
则，
所以.
（方法二）因为，
所以.
（2）因为
所以，
所以为偶函数.
（3）因为，
所以由（2）知，
所以.
16.解：（1），
则
因为，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2），令，得.
当时，令，得，令，得或，
所以在上单调递减，在上单调递增.
当时，令，得或，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
17.解：（1），
因为，所以，所以.
因为为减函数，
所以的取值范围是，即的取值范围是.
（2）因为，所以，
当且仅当，即即时，等号成立，
所以的最小值为.
（3）因为，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以，即的取值范围为.
18.解：（1）因为，所以，
所以.
因为为的中点，所以，
则，即
，则.
（2）因为，
所以，
则，
则
即，得.
又，所以.
因为，所以，所以，则为锐角，
所以，
所以，
整理得，解得或
又，所以.
19.（1）解：函数是上的“双中值函数”.
理由如下：
因为，所以.
因为，所以.
令，得，即，解得.
因为，所以是上的“双中值函数”.
（2）①解：因为，所以.
因为是上的“双中值函数”，所以.
由题意可得.
设，则.
当时，，则为减函数，即为减函数；
当时，，则为增函数，即为增函数.
故.
因为，所以，所以，即的取值范围为.
②证明：不妨设，
则，即.
要证，即证.
设，则.
设，则
所以在上单调递增，所以，所以，
则在上单调递减.
因为，所以，即.
因为，所以.
因为，所以.
因为，所以.
由①可知在上单调递增，所以，即得证.
