2024-2025学年陕西省咸阳实验中学高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.样本数据、、、、、、、、、的中位数为( )
A. B. C. D.
2.已知，，则，夹角的余弦值等于( )
A. B. C. D.
3.已知，为两条不同直线，，为两个不同平面，且，，则下列命题为真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4.若函数是偶函数，则( )
A. B. C. D.
5.已知复数，则在复平面内对应的点的坐标为( )
A. B. C. D.
6.若集合，，则( )
A. B. C. D.
7.如果棱台的两底面积分别是，，中截面的面积是，那么( )
A. B.
C. D.
8.如图所示，在棱长为的正方体中，，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，的共轭复数分别为，，则下列命题为真命题的有( )
A. B.
C. 若，则 D. 若，则或
10.已知样本数据，，，，的方差为，平均数，则( )
A. 数据，，，，的方差为
B. 数据，，，，的平均数大于
C. 数据，，，的方差大于
D. 数据，，，的平均数大于
11.如图，扇形的弧长为，半径为，线段上有一动点，弧上一点是弧的三等分点，现将该扇形卷成以为顶点的圆锥，使得和重合，则在图的圆锥中( )
A. 圆锥的体积为
B. 当为中点时，线段在底面的投影长为
C. 存在，使得
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.据统计，某段时间内由内地前往香港的老、中、青年旅客的比例依次为：：，现使用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取人，若青年旅客抽到人，则 ______．
13.在中，是边上的高，若，则 ______．
14.表示三个数中的最大值，对任意的正实数，，则的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某工厂对一批钢球产品质量进行了抽样检测如图是根据随机抽样检测后的钢球直径单位：数据绘制的频率分布直方图，其中钢球直径的范围是，样本数据分组为，，，，已知样本中钢球直径在内的个数是．
求样本容量；
若该批钢球产品共个，认定钢球直径在的产品为合格产品，试根据样本估计这批产品的不合格产品件数．
16.本小题分
设为坐标原点，向量、、分别对应复数、、，且，，已知是纯虚数．
求实数的值；
若，，三点共线，求实数的值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，且，，，点，分别为，的中点．
求证：平面；
求点到平面的距离．
18.本小题分
记的内角，，所对的边分别为，，，已知．
求；
若是边上一点，且，求的面积．
19.本小题分
如图，，是单位圆上的相异两定点为圆心，且为锐角点为单位圆上的动点，线段交线段于点．
求结果用表示；
若
求的取值范围；
设，记，求函数的值域．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为样本中钢球直径在内的个数是，其频率为，
所以样本容量为．
样本中这批产品的不合格产品件数为，
由样本估计总体，可知这批产品的不合格产品件数为．
16.解：由题意可得，
由于复数是纯虚数，则，解得；
由可得，，则点，，点
所以，
因，，三点共线，所以，所以，
所以．
17.解：证明：在四棱锥中，底面是边长为的正方形，且，，
，，
，，
平面，平面，
，，
，平面．
以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
，点，分别为，的中点，
，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
点到平面的距离为：
．
18.解：由，可得，
即，
则，
若，则，
又，所以；
若，则，即，
且，所以，
但，由正弦定理可得，不合题意；
综上所述：．
因为，则，
在中，由余弦定理可得，
即，
整理可得，解得或舍去，
则，
所以的面积．
19.解：；
当时，
．
设，由条件知，，
．
，，
；
设，则，
，
由可得，，
即，整理得，
，
．
即．
而．
令，
当时，；
当时，，利用单调性定义可证明函数在和都是递减的，
设，且，则
则，故，所以在上单调递减，
由于是奇函数，则在和单调递减，
因此，或，
函数值域是．
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