2023-2024学年四川省成都市石室中学竞赛班高一（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数为纯虚数，则复数在复平面上的对应点的位置在( )
A. 第一象限内 B. 第二象限内 C. 第三象限内 D. 第四象限内
2.数据，，，的方差，则下列数字特征一定为的是( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 极差
3.某中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛经统计，得到前名学生分布的扇形图如图和前名中高一学生排名分布的频率条形图如图，则下列命题错误的是( )
A. 成绩前名的学生中，高一人数比高二人数多人
B. 成绩前名的学生中，高一人数不超过人
C. 成绩前名的学生中，高三人数不超过人
D. 成绩第名到第名的学生中，高二人数比高一人数多
4.命题“，”为假命题的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
5.在中，，，分别为角，，所对的边，且，，则( )
A. B. C. D.
6.如图，在菱形中，，且，，若，则( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，是圆的直径，，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论不正确的是( )
A. 平面平面
B. 平面
C. 平面
D. 平面平面
8.美国数学家于年提出优选法，又称黄金分割法，是在优选时把尝试点放在黄金分割点上来寻找最优选择我国著名数学家华罗庚于世纪、年代对其进行简化、补充，并在我国进行推广，广泛应用于各个领域黄金分割比，现给出三倍角公式，则与的关系式正确的为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则下列说法中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则与的夹角为钝角 D. 当时，则在上的投影向量的坐标为
10.设，为复数，则下列结论中正确的是( )
A. 若为虚数，则也为虚数 B. 若，则的最大值为
C. D.
11.在中，角，，的对边分别为，，，已知且，则下列结论正确的是( )
A. B. 的取值范围为
C. 的最大值为 D. 若为的中点，则的取值范围为
12.如图一，矩形中，，交对角线于点，交于点现将沿翻折至的位置，如图二，点为棱的中点，则下面结论正确的是( )
A. 存在某个位置使得平面
B. 在翻折过程中，恒有
C. 若二面角的平面角为，则
D. 若在平面上的射影落在内部，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.将个数据按照从小到大的顺序排列如下：，，，，，，，，，，若该组数据的分位数为，则 ______．
14.已知函数若的图象向左平移个单位所得的图象与的图象重合，则的最小值为______．
15.若某球体的半径与某圆锥的底面半径相等，且该球体的表面积为，体积为，该圆锥的侧面积为，体积为，若，则该球体半径与该圆锥母线的比值为______．
16.镇江西津渡的云台阁，是一座宋元风格的仿古建筑，始建于年，目前已成为镇江市的地标建筑之一如图，在云台阁旁水平地面上共线的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，，且米，则云台阁的高度为______米
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数．
Ⅰ求函数的最小正周期和对称中心；
Ⅱ求函数在上的值域．
18.本小题分
如图，在四边形中，，，，且，若，为线段上的两个动点，且．
当为的中点时，求的长度；
求的最小值．
19.本小题分
年起我国旅游按下重启键，寒冬有尽，春日可期，先后出现了“淄博烧烤”，“尔滨与小土豆”，“天水麻辣烫”等现象级爆款，之后各地文旅各出奇招，衢州文旅也在各大平台发布了衢州的宣传片：孔子，金庸，搁袋饼纷纷出场现为进一步发展衢州文旅，提升衢州经济，在月份对来衢旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿，交通，服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中．
Ⅰ求图中的值并估计满意度得分的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
Ⅱ若有超过的人满意度在分及以上，则认为该月文旅成绩合格衢州市月份文旅成绩合格了吗？
Ⅲ衢州文旅月份继续对来衢旅游的游客发起满意度调查现知月日月日调查的万份数据中其满意度的平均值为，方差为；月日月日调查的万份数据中其满意度的平均值为，方差为由这些数据计算月日一月日的总样本的平均数与方差．
20.本小题分
如图，在中，是边上的一点，，．
证明：；
若为靠近的三等分点，，，，为钝角，求．
21.本小题分
如图，三棱台中，是边长为的等边三角形，四边形是等腰梯形，且，为的中点．
Ⅰ证明：；
Ⅱ若过，，三点的平面截三棱台所得的截面面积为当二面角为锐二面角时，求二面角的正弦值．
22.本小题分
在四面体中，，，记四面体的内切球半径为分别过点，，，向其对面作垂线，垂足分别为，，，．
是否存在四个面都是直角三角形的四面体？不用说明理由
若垂足恰为正的中心，证明：；
已知，证明：．
答案解析
1.
【解析】解：复数为纯虚数，，
复数在复平面上的对应点为，位置在第一象限．
故选：．
根据纯虚数的定义解出，利用复数的几何意义求解．
本题考查复数的几何意义，属于基础题．
2.
【解析】解：设数据，，，的平均数为，
则，
所以，，，，
所以，
所以极差一定为，
而平均数、中位数，众数不一定为．
故选：．
设数据，，，的平均数为，根据方差的定义可知，再结合平均数，中位数，众数和极差的定义判断．
本题主要考查了平均数，方差，中位数、众数和极差的定义，属于基础题．
3.
【解析】解：由饼状图，成绩前名的人中，高一人数比高二人数多，A正确；
由条形图知高一学生在前名中，前和后人数相等，因此高一人数为，B正确；
成绩前名的人中，高一人数为，因此高三最多有人，C正确；
第到名的人中，高一人数为，故高二最多有人，因此高二人数比高一少，D错误．
故选：．
根据饼状图和条形图提供的数据判断．
本题主要考查了统计图的应用，属于基础题．
4.
【解析】解：若命题“，”为假命题，
则“，”为真命题，
可得，恒成立，即，
令，因为，都是单调递增函数，
所以在上是单调递增函数，
所以，
可得，结合选项，
命题“，”为假命题的一个必要不充分条件是．
故选：．
转化为，恒成立求出的最大值即可．
本题主要考查了含有量词的命题的真假关系的应用，属于基础题．
5.
【解析】解：因为，所以，
因为，所以，
化简得，
将代入可得，即，
所以．
故选：．
根据正弦定理，将角化边，再用余弦定理的推论得到，再次用余弦定理的推论求解即可．
本题考查正弦定理及余弦定理，属中档题．
6.
【解析】解：由题意，以向量作为基底，
因为，且，
则，
所以，
，
所以，
又因为，
所以，解得，
所以．
故选：．
以向量作为基底，用基底表示，，然后代入已知条件得，再根据即可求解．
本题考查平面向量基本定理，属中档题．
7.
【解析】解：是圆的直径，，垂直于圆所在的平面，
因为平面，所以平面平面，所以A正确；
中，由选项可知平面，所以，
为圆周上不与点，重合的点，
所以，，
所以平面，所以B正确；
中，因为于，于，
由选项分析，可得平面，
所以，，
所以平面，而平面，
所以，而，
所以平面，所以C正确；
中，由选项的分析，无法判断是否与，垂直，
所以无法判断面与平面是否垂直，所以不正确．
故选：．
由垂直于圆所在的平面，所以所在的平面都与圆所在的平面，判断出的真假；再由圆的性质可得，由选项的分析，可得，进而可证得平面，判断出的真假；由选项的分析，可得，进而可证得平面，进而可证得，再由，进而可证得平面，判断出的真假；无法判断是否与，垂直，所以无法判断面与平面是否垂直，判断出的真假．
本题考查线面垂直的判断定理的应用及线面垂直的性质定理的应用，属于中档题．
8.
【解析】解：由三倍角公式有，
化简得，
，
解得负值舍去，
．
故选：．
结合已知三倍角公式及同角基本关系进行化简即可求解．
本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题．
9.
【解析】解：若，则，解得，A错误；
B.若，则，，B正确；
C.时，，的夹角为，不是钝角，C错误；
D.时，，在上的投影向量的坐标为：，D正确．
故选：．
根据向量平行和垂直的坐标关系即可判断，的正误；根据向量夹角的定义及向量数量积的计算公式即可判断的正误；根据投影向量的计算公式即可判断的正误．
本题考查了向量垂直的充要条件，向量平行的坐标关系，向量坐标的数量积运算，向量数量积的计算公式，投影向量的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
10.
【解析】解：对于，因为为虚数，为实数，所以为虚数，所以也为虚数，所以A正确，
对于，当时，满足，此时，所以B错误，
对于，设，，则
，
，
所以，
，
所以，所以C正确，
对于，设，确定的向量分别为，则由向量不等式得，
所以恒成立，所以D正确，
故选：．
对于，由为虚数，得为虚数，从而可判断，对于，由进行判断，对于，设，，然后分别求解进行判断，对于，根据复数的向量表示及向量的不等式分析判断．
本题考查复数的运算，属于中档题．
11.
【解析】解：由，结合正弦定理可得，
即为，
由余弦定理可得，
由，可得，故A正确；
由，可得，
又，可得，当且仅当时，取得等号，
即的最大值为，故C正确；
由，即有解，可得，解得，故B错误；
由，两边平方可得，
即为，
则，故D错误．
故选：．
由正弦定理和余弦定理可求得，可判断；由基本不等式可判断；由二次方程有解的条件可判断；由，两边平方，结合余弦定理和不等式的性质，可判断．
本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和基本不等式、向量的中点表示，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
12.
【解析】解：翻折前，在矩形中，
因为，则，所以，
则，即，所以，
故，，
则，，
因为，则，
对于选项，假设平面，取的中点，连接、，
因为、分别为、的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又平面，，、平面，
所以平面平面，
又平面平面，平面平面，则，
因为，则，
又，
在中，，，
由余弦定理可得，
则，即不成立，错；
对于选项，翻折前，，翻折后，则有，，
因为，、平面，所以平面，
又平面，所以，对；
对于选项，因为，，
所以二面角的平面角为，
在中，，，
由余弦定理可得，
在中，同理可得，
所以，对；
对于选项，因为平面，平面，
所以平面平面，
过点在平面内作，垂足为点，
因为平面平面，平面平面，，
平面，所以平面，
因为在平面上的射影落在内部，
则点在线段上，不包括端点，
则，
因为平面，平面，则，
则，
又因为，
所以，对．
故选：．
利用反证法可判断选项；证明出平面，利用线面垂直的性质可判断选项；利用二面角的定义结合余弦定理可判断选项；利用锥体的体积公式可判断选项．
本题考查线面平行的判断，线线垂直的判断，二面角的概念，三棱锥的体积问题，化归转化思想，属难题．
13.
【解析】解：因为，
所以分位数是第、个数据的平均数，
所以，解得．
故答案为：．
根据百分位的计算求解即可．
本题考查百分位数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.
【解析】解：函数，
把的图象向左平移个单位所得的图象为，
即，，
，
的最小值为：
故答案为：
由条件利用函数的图象变换规律，终边相同的角的特征，求得的最小值
本题主要考查函数的图象变换规律，终边相同的角，属于基础题
15.
【解析】解：设球体的半径为，则表面积，体积，
设圆锥高为，则母线长为，
则侧面积为，体积为，
，
，
，
比值为．
故答案为：．
假设球体的半径，求出表面积和体积，假设圆锥的高，求出母线长和体积，根据所给条件进行化简，得到、的关系，进而求解．
本题考查圆锥侧面积与体积的求法，考查运算求解能力，是中档题．
16.
【解析】解：设云台阁的高度，则中，，可得，
同理，在、中，算出，．
因为中，米，所以是边上的中线，可得，
两边平方得，即，可得，
即，整理得，
又因为，两边平方得，
所以，即，解得米．
故答案为：．
根据题意，设，利用锐角三角函数的定义算出，，然后根据是边上的中线，可得，平方化简得到，再根据，两边平方得到关于的方程，解出的值即可得到本题的答案．
本题主要考查锐角三角函数的定义、三角形中线的性质、向量的数量积等知识，属于中档题．
17.解：因为，
Ⅰ函数的最小正周期，
令，，则，
故函数的对称中心为；
Ⅱ当时，，
所以，
故函数的值域为．
【解析】先结合辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的周期公式及对称性即可求解；
Ⅱ结合正弦函数的性质即可求解函数的值域．
本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
18.解：由，可得，
因为，
所以，解得，所以，
又因为为的中点，
所以，
所以；
因为为线段上的动点，且，
故可设，，
则，
，
所以
，
当时，取到最小值，且为．
【解析】根据平面向量的线性运算可得，结合向量的几何意义和数量积的定义即可求解；
设，根据平面向量的线性运算可得，，利用数量积的运算律可得，结合二次函数的性质即可求解．
本题考查平面向量的线性运算与数量积运算，属于中档题．
19.解：Ⅰ由题意知，
，
估计满意度得分的平均值；
Ⅱ超过的人满意度在分及以上，即为分位数大于等于，
又由满意度在的频率为，满意度在的频率为，
知分位数位于，由，
可以估计分位数为，
有超过的人满意度在分及以上，衡州市月份文旅成绩合格了；
Ⅲ把月日月日的样本记为，，，，其平均数记为，方差记为，
把月日月日的样本记为，，，，其平均数记为，方差记为，
则总样本平均数，
由方差的定义，总样本方差，
总样本的平均数为，方差为．
【解析】Ⅰ利用频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为，可求出的值，再利用平均数的定义求解；
Ⅱ利用百分位数的定义求解；
Ⅲ利用分层随机抽样的均值和方差公式求解．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了百分位数的定义，以及分层随机抽样的均值和方差公式，属于中档题．
20.证明：在中，由正弦定理知，，
所以，
在中，由正弦定理知，，
所以，
因为，所以，
所以，
整理得，，得证．
解：由知，，
因为为靠近的三等分点，所以，所以，
又，，，所以，即，
因为为钝角，，所以为锐角，所以，
所以，
所以的面积，
因为为靠近的三等分点，
所以．
【解析】在和中，均利用正弦定理，分别可得，，再根据，得证；
结合中所得，求出，进而知，再求得，然后由，得解．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，三角形面积公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.解：Ⅰ证明：如图，取中点，连接，，
是等边三角形，点是的中点，
，
又四边形是等腰梯形，且为的中点，
，
又，，平面，
平面，又平面，
．
Ⅱ过，分别作，，，垂足为，，，连接，
由Ⅰ易知平面平面，，
平面平面，平面，
平面，，
又，且，
平面，
，又，
为二面角的平面角，
过，，三点的截面为梯形，
则，
，，
，，
，
，
，
即二面角的正弦值为．
【解析】Ⅰ根据条件先证出平面，再利用线面垂直的判定定理即可得证；
Ⅱ先证明为二面角的平面角，再计算即可求解．
本题考查线线垂直的判定以及二面角的计算，属于中档题．
22.解：存在．
在四面体中，若平面，，则四面体的四个面都是直角三角形．
由平面，，，平面，得，，，
又，，，平面，则平面，而平面，
因此，所以，，，都是直角三角形．
连接，并延长交于点，连接，
由是正的中心，得，是中点，则，，
，，，
，，
，
，
，
于是，
所以．
，
，
因此，
则，显然，，，，
于是，
则，
所以．
【解析】作出图形并推理说明．
根据给定条件，结合正三棱锥的结构特征，利用体积法列式计算即得．
利用体积法建立等式，计算得，再利用不等式性质及基本不等式求解即得．
本题考查棱锥的综合应用，属于难题．
第1页，共1页
