2024年中考导向预测信息试卷
数学试题【临门A卷】
注意事项：
1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在试卷及答题卡上的相应位置。
3．请在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效。
4．考试结束后，请将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．的绝对值是（ ）
A． B．2 C． D．
2．4月15日是国家安全教育日，国家安全是安邦定国的重要基石，维护国家安全是全国各族人民根本利益所在．下列网络安全宣传标识中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．万家寨引黄工程是我国国家水网重要组成部分，于2023年人选水利部“人民治水 百年功绩”治水工程。2023年，水控集团累计完成供水11.3亿立方米，实现历史性突破。万家寨引黄工程运行20年以来，累计供水60.32亿立方米.该工程促进了供水区水生态明显改善，为晋祠泉域涵养修复，推动实现“一泓清水入黄河”以及促进京津冀协同发展作出了积极贡献。数据“60.32亿”用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直线，点分别在直线和直线上，点在直线和直线外，且，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．4月13日上午，以“全民健身与奥运同行”为主题的2024太原市（省城）第十届全民健身节启动仪式在晋阳湖公园庆典广场举行。某社区为了配合“全民健身节”活动的开展，随机对居住在社区的50位居民一周的体育锻炼时间进行了统计，结果如表：
锻炼时间（小时） 3 4 5 6 7
人数（人） 8 16 15 7 4
这50名居民一周体育锻炼时间的众数和中位数是（ ）
A．4，5 B．4，4 C．16，5 D．16，4
7．如图，将沿直线的方向向右平移2cm后到达的位置，此时点与点重合，若的周长为12cm，则四边形的周长为（ ）
A．14cm B．15cm C．16cm D．17cm
8．如图，四边形内接于，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，的顶点在轴的正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点和在反比例函数的图象上，且对角线轴，若的面积等于10，则的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
10．如图，在中，以为直径的交于点，过点作切线，交于点，连结．若的半径为2，则的长为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．）
11．计算：______．
12．不等式组的解集为______．
13．如图，是用若干小棒拼成的图形，若拼成图形1，需要4根小棒；拼成图形2，需要10根小棒；拼成图形3，需要16根小棒；……；照此规律，第个图形需要小棒的根数是______根．（含的代数式表示）．
14．4月18日，太原市图书馆内，我省举办了“坚定文化自信建设书香山西”2024年山西省全民阅读大会．会上发布了2023年度十种“晋版好书”这也是我省首次发布年度“晋版好书”．九年级一班计划从其中的《山西廉政文化丛书》、《山西出土青铜器全集》、《云冈大画幅》、《游过月亮河》4种图书中随机选择两本，作为本班阅读书目，则恰好选中《山西出土青铜器全集》、《云冈大画幅》的概率为______．
15．如图，在中，为边上的中线，是的角平分线，交于点．则的长为______．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本题共10分，每小题5分）
（1）计算：．
（2）先化简，再求值：其中，．
17．（7分）已知：四边形是平行四边形．
（1）尺规作图：作的中点，连接，并延长交的延长线于点．
（2）求证：．
18．（9分）2024年是“五四运动”爆发105周年，为纪念“五四”运动，进一步弘扬“爱国、进步、民主、科学”的五四精神，某校准备组织学生开展宣讲活动．现需要从10名候选的学生中评选出2名宣讲员，评选活动分为三个阶段：
【初赛】：九位评委对每名选手的宣讲文稿分别打分（满分10分，打分为整数），取平均分作为初选阶段的个人得分，按得分由高到低确定前5名选手进入复赛阶段．
【复赛】：进入复赛阶段的5名选手进行现场宣讲，九位评委对每名选手的现场表现分别打分（满分10分，打分为整数），取平均分作为复赛阶段的个人得分．
【决赛】：将初赛与复赛两个阶段得分按3∶7的比例计算选手个人最终得分，按得分由高到低确定前2名选手成为宣讲员．
学校收集、整理了选手的得分，其中部分信息如下：
信息一：初选阶段九位评委对选手A打分情况如下：
7，8，8，9，8，9，7，8，8；
信息二：初赛选手得分
信息三：选手F得分
阶段 初赛 复赛 决赛
得分/分 9 8 m
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求选手A初选阶段的个人得分，根据题目中提供的数据分析选手A能否通过初选；
（2）计算选手F最终得分m，若另外4名选手的最终得分分别为7.3，8.7，7.3，6.6，分析选手F能否成为宣讲员．
19．（9分）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），其中，与轴相交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．点是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图所示，点是抛物线上位于第一象限内的一个动点，过点作，求的最大值．
20．（9分）阅读下列材料，并完成相应任务：
下面是小华同学，课后学习过程中遇到的一个问题：
如图①，在中，分别是边的中点，，相交于点．
求证：．
小华认真思考后，写出下面的证明过程：连结．
分别是边的中点，
，（依据）
……；……．
；
图① 图②
任务：
（1）填空：材料中的依据是指：______．
（2）将材料中的证明过程补充完整．
（3）如图②，在中，为边的中线．点分别为边的中点，与交于点与交于点．则______．
21．（8分）一条南北走向的河的两岸互相平行．甲、乙二位同学分别站在河东岸的处观察河西岸的某景观建筑物．甲同学测得该建筑物一端在的北偏西，乙同学测得建筑物另一端在的南偏西．已知两点相距240米，河宽100米，求景观建筑物两端点之间的距离．（结果精确到1米，参考数据：）
22．（10分）学科实践
【驱动任务】为喜迎“母亲节”的到来，各个花店的鲜花礼品进入了销售旺季，某校综合实践小组以探究“鲜花最佳销售方案”为主题开展了项目式学习．
【研究步骤】（1）数据收集：综合实践小组以某款每束进价30元的鲜花礼品为研究对据象展开调查，收集到附近五家花店近期销售相关信息，记录如下表：
花店 售价（元/束） 日销售量（束）
A 50 100
B 60 60
C 45 120
D 40 140
E 55 80
（2）数据整理：请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价/（元/束）
日销售量/（束）
（3）数据分析：分析数据的变化规律，将每组对应值描在下图中，并确定日销售量与售价之间的关系；
【问题解决】根据以上信息，在销售该款花卉时，
①要想每天获得2000元的利润，应该如何定价？
②当售价为多少时，每天获得利润最大？最大利润是多少？
23．（13分）综合与实践
【问题情境】在数学活动课上，老师提出这样的一个问题：如图1，四边形中，平分，试说明线段和之间的数量关系。
图1
【初步探究】（1）针对老师提出的问题，小敏和小捷两位同学给出了不同的思路：
小敏：如图2，从结论的角度出发：在上截取，连接，
小捷：如图3，从平分这个条件出发，将沿翻折，即：延长线段到点使，……；
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程；
【类比探究】（2）如图4，中，，平面内有点（点和点在的同侧），连接，猜想线段之间的数量关系，并说明理由．
【学以致用】（3）如图5，在（2）的条件下，若，请直接写出线段的长度．
图2 图3 图4 图5
2024年中考导向预测信息试卷
数学参考答案【临门A卷】
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．A 7．C 8．B 9．C 10．A
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．）
11． 12． 13． 14． 15．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本题共2个小题，每小题5分，共10分）
（1）解：原式，
（2）解：原式，
，
，
，
把代入，原式
17．（7分）（1）如图即为所求：
（2）证明：点是的中点，．
四边形为平行四边形，
．
．
，
．
．，
．
18．（9分）（1）选手初选阶段的平均分为：，
根据统计图可知，10位选手平均得分的中位数为：，
，选手A能通过初选；
（2），
另外4名选手的最终得分分别为7.3，8.7，7.3，6.6，
选手F排在第二名．
按得分由高到低确定前2名选手成为宣讲员。
选手F能成为宣讲员。
19．（9分）
解：（1）由抛物线过点及得，，
解得．
故抛物线为；
（2）过点作轴交直线于，如图，
，．
当时，，．
．
设直线的解析式为，
把代入得，
解得，
直线的解析式为；
设，则，
．
，．
，．
．
，即．
．
当时，有最大值，最大值为．
20．（9分）（1）依据：三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）．
（2）补充如下：
，
．
．
；
（3）．
21．（8分）解：由题意得，分别过点作的垂线，垂足为．
则，
米，米。
在中，，
即米。
在中，，
即米。
米
，
米．
答：建筑物两端点之间的距离约为33米．
22．（10分）
【解答】（2）根据销售单价从小到大排列得下表：
售价/（元/束） 40 45 50 55 60
日销售量/（束） 140 120 100 80 60
（3）如下图：
观察表格中的数据的变化规律可知日销售量是售价的一次函数；
（或通过图中点的位置发现，这些点都在一条直线上，所以日销售量是售价的一次函数）
设销售量为束，售价为元，，
把，代入得：
解得，
；
问题解决①当每天获得2000元的利润时，，
解得或，
答：要想每天获得2000元的利润，定价为50元或55元；
（2）设每天获得的利润元，
根据题意得：，
，
当时，取最大值2025，
售价定为52．5元时，每天能够获得最大利润2025元．
23．（13分）
（1）小敏证明方法：如图2，在上截取，连接，
平分，．
，．
．
．
，
．
．
．
．
小捷证明方法：延长线段到点使，连接，
平分，．
，．
．
，
．
．
．
（2）答：，
理由如下：如图4，作交的延长线于点，则，
，．
，
．
．
，
．
．
，
．
（3）答：线段的长度是．
