2024-2025学年北京师大附属实验中学九年级（上）开学
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. B. C. D.
2.下列曲线中，能表示是的函数的是( )
A. B.
C. D.
3.在中，，，的对边分别为，，，下列条件中可以判断的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
4.用配方法解一元二次方程，配方正确的是( )
A. B. C. D.
5.已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为设道路的宽为，则下面所列方程正确的是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，四边形是正方形，点，分别在，的延长线上，且，设，，给出下面三个结论：；；上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
10.已知函数，随的增大而增大，则实数的取值范围是____．
11.如图， 的对角线，相交于点，点是的中点，连接，
若，则的长为______．
12.直线一定经过一个定点，这个定点的坐标是______．
13.至年，某城市居民人均可支配年收入由万元增长至万元设人均可支配年收入的平均增长率为，根据题意列出方程得______．
14.如图，在矩形中，为上一点，将矩形的一角沿向上折叠，点的对应点恰好落在边上若的周长为，的周长为，则的长为______．
15.在对一组样本数据进行分析时，某同学列出了方差计算公式：
，并由公式得出以下信息：样本的容量是，样本的中位数是，样本的众数是，样本的平均数是，样本的方差是，那么上述信息中正确的是______．
16.如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于有下列结论：；；为任意实数；其中正确的是______填序号．
三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
用适当的方法解关于的一元二次方程：
；
；
；
．
18.本小题分
已知：如图，在中，．
求作：以为对角线的矩形．
作法：以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线与交于点；
以点为圆心，的长为半径画弧；再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧在的右侧交于点；
连接，．
四边形为所求的矩形．
根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形保留作图痕迹；
完成以下证明．
证明：，，
四边形为平行四边形______填推理的依据
由作图可知，
平分，
又，
______填推理的依据
．
平行四边形是矩形______填推理的依据
19.本小题分
如图， 中，，，分别是，的中点
求证：四边形是菱形；
如果，，求四边形的面积．
20.本小题分
已知二次函数．
在平面直角坐标系中，用五点法画出该二次函数的图象；
______ ______ ______ ______ ______
______ ______ ______ ______ ______
根据图象回答下列问题：
当时，的取值范围是______；
当时，的取值范围是______．
21.本小题分
在平面直角坐标系中，函数的图象过点，，且与轴交于点．
求该函数的解析式及点的坐标；
当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围．
22.本小题分
某专卖店销售山核桃，其进价为每千克元，按每千克元出售，平均每天可出售后来经过市场调查发现，单价每降低元，则平均每天可销售可增加若该专卖店销售这种山核桃要想平均每天获利元，且尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
23.本小题分
为增强居民的反诈骗意识，，两个小区的居委会组织小区居民进行了有关反诈骗知识的有奖问答活动现从，小区参加这次有奖问答活动居民的成绩中各随机抽取个数据，分别对这个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
小区参加有奖问答活动的名居民成绩的数据的频数分布直方图如下数据分成组：，，，，；
小区参加有奖问答活动的名居民成绩的数据在这一组的是：
小区参加有奖问答活动的名居民成绩的数据如表：
分数
人数
根据以上信息，解答下列问题：
补全中频数分布直方图；
小区参加有奖问答活动的名居民成绩的数据的中位数是______；小区参加有奖问答活动的名居民成绩的数据的众数是______；
为鼓励居民继续关注反诈骗宣传，对在这次有奖问答活动中成绩大于或等于分的居民颁发小奖品已知，两个小区各有名居民参加这次活动，估计这两个小区的居委会一共需要准备多少份小奖品．
24.本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．
试用含的代数式表示抛物线的顶点坐标；
将抛物线沿直线翻折，得到的新抛物线与轴交于点若，，求的值；
已知，，在的条件下，当线段与抛物线只有一个公共点时，直接写出的取值范围．
25.本小题分
如图，在正方形中，点是边上一点，且点不与、重合，过点作的垂线交延长线于点，连接．
计算的度数；
如图，过点作，垂足为，连接用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
26.本小题分
在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“相随点”．
已知，点，．
在点，，，中，线段的“相随点”是______；
若点为线段的“相随点”，连接，，直接写出的最小值及此时点的坐标；
已知点，点，正方形边长为，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形上的任意一点，都存在线段上的两点，，使得该点为线段的“相随点”，请直接写出的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：，
，
，；
，
，
，
，；
，
，
原方程没有实数根；
，
，
，
，，
，．
18.解：图形如图所示：
证明：，，
四边形为平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
由作图可知，
平分，
又，
三线合一，
，
平行四边形是矩形有一个角是的平行四边形是矩形．
19.证明：在 中，
，，
又，分别是边，的中点，
，，
，且
四边形为平行四边形．
在中，，是边中点，
，
四边形是菱形；
，，，
点是的中点，
四边形是菱形
四边形的面积
20.列表：
描点、连线：
观察图象，当时，的取值范围是或；
当时，的取值范围是；
21.解：把，分别代入得，
解得，
函数解析式为，
当时，，
点坐标为；
当时，当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值．
22.解：设该店应按原售价的折出售，则每千克的销售利润为元，平均每天可售出千克，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
答：该店应按原售价的折出售．
23.由题意可知，小区“”的频数为：，
补全中频数分布直方图如下：
；；
份，
答：估计这两个小区的居委会大约一共需要准备份小奖品．
24.解：，
抛物线的顶点坐标为；
由对称性可知，点到直线的距离为，
，
，
，
；
，
抛物线为，
当抛物线经过点时，或；
当抛物线经过点时，；
线段与抛物线只有一个公共点，
或．
25.解：四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
，
≌，
，
是等腰直角三角形
；
理由如下：
如图，取的中点，连接，，
是等腰直角三角形，，
是的中点，
，
同理，在中，，
，
，，
≌，
，
，
；
为的中位线，
，，
，
在中，，
为等腰三角形，
，
，
，
，
，
，即．
26.点，．
，
四边形为平行四边形，
，，
点在直线上，
设，
当时，若，且，
，，
，
符合题意，
是线段的“相随点”；
当时，若，且，
，，
，
，此时点，和点，共线，围不成平行四边形，不符合题意；
当时，若，且，
，，
，
符合题意，
是线段的“相随点”；
当时，若，且，
，，
与相矛盾，不符合题意；
综上所述，线段的“相随点”是，，
点为线段的“相随点”，
四边形为平行四边形，
，，
设，，
，
，
点在直线上运动，
如图所示，连接，，作点关于直线的对称点，连接，，
则，
，
当点，，三点共线时，有最小值，即的长度，
点和点关于直线对称，
，
，
，
的最小值为，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
联立得：，
解得：，
此时点的坐标为；
对于线段上的，，使得四边形为平行四边形，
，
，，，
，
，，
一纵坐标同理可得，
当时，，此时在直线上，当，，此时在直线上，
点所形成的区域是直线与之间，且不包含直线上与直线上．
当正方形左上角端点过时，此时，
解得，
当正方形右上角端点过时，，
解得：，
当正方形左上角端点过时，此时，
解得，
当正方形右下角端点过时，，
解得．
正方形与与是可以有交点的，正方形与与直线是不能有交点的，
或．
的取值范围为：或．
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