2024-2025学年度62级高三开学考试题数学
注意事项：本试卷共4页.满分150分，考试时间120分钟.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量，，若，则（ ）
A. B. C.1 D.2
2.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知母线长为10的圆台的侧面积为，且其上底面的半径与下底面的半径满足，则（ ）
A.2 B.4 C.8 D.12
4.若，则（ ）
A. B. C. D.
5.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（ ）
A. B. C. D.1
6.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
7.记A，B为随机事件，已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
8.函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.北京时间2024年7月27日，我国射击健将黄雨婷、李豪战胜韩国选手，摘夺了射击混合团体10米气步枪金牌，通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为7，12，13，17，18，20，32，则（ ）
A.该组数据的极差为25
B.该组数据的75%分位数为19
C.该组数据的平均数为17
D.若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等
10.已知数列满足，，记数列的前项积为，前项和为，则（ ）
A. B.
C. D.
11.已知函数是偶函数，点，点，点在函数的图象上，且，记的边AC上的高为，则（ ）
A.
B.函数在定义域内单调递减
C.点可能在以AC为直径的圆上
D.的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为_________.
13.写出一个同时具有下列性质的函数的解析式：_________.
①不是常函数
②的最小正周期为2
③不存在对称中心
14.已知直线与椭圆交于A，B两点，弦AB的中点为，则直线的方程为_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知椭圆过点和.
（1）求的离心率；
（2）若直线与有且仅有一个交点，求的一般式方程.
16.（15分）已知在中，，.
（1）求；
（2）设，求AB边上的高.
17.（15分）如图，在直三棱柱中，，E，F分别为棱，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）若，求二面角的余弦值.
18.（17分）设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求a，b的值；
（2）设函数，求的单调区间；
（3）求的极值点个数.
19.（17分）（新题型）若存在使得对任意恒成立，则称为函数在上的最大值点，记函数在上的所有最大值点所构成的集合为.
（1）若，，求集合；
（2）若，，求集合；
（3）设为大于1的常数，若，，证明，若集合中有且仅有两个元素，则所有满足条件的从小到大排列构成一个等差数列.
2024—2025学年度62级高三开学考试题数学参考答案
选择题答案：1.D2.A3.C4.C5.D6.A7.D8.A9.ACD10.AD11.ABD
1.D 解：因为，所以，所以即，故.
2.A 解：因为，，且注意到，从而.故选：A.
3.C 解：因为该圆台的侧面积为，母线长，所以，解得，.
4.C 解：因为，所以.故选：C.
5.D 解：由正弦定理得，即，或.若，结合有，故舍去，
，，，故答案选D.
6.A 解：因为，所以，
而，所以，故，
即，从而，故，故选：A.
7.D 解：记，由全概率公式有，代入数据有，解得，.
8.A 解：因为对任意，，都有成立，
可得在R上是单调递减的，则，解得.
9.ACD 解：对于A项，极差等于，故A正确；
对于B项，，故分位数为20，故B错误；
对于C项，平均数等于，故C正确；
对于D项，去掉17后，这两组数据的平均数相等，故D正确，故答案选ACD.
10.AD 解：已知数列满足，，则，，，所以数列是以3为一个周期的周期数列.
对于A项，，A项正确；
对于B项，，B项错误；
对于C项，任意相邻三项均在一个周期内，则，C项错误；
对于D项，，，所以，D项正确.故选：AD.
11.ABD 解：对于A选项，由是偶函数有，则，得，故A正确；对于B选项，，由复合函数单调性判断有为减函数.故B正确；对于C选项，由B知，即.由对称性，可设，则.若点在以AC为直径的圆上，则有，代入即，即.若，则，不满足题意；若，.而，，故不可能在以AC为直径的圆上.故C错误；对于D选项，过点作轴的垂线交AC于点，则（当且仅当时取等），而，记，则，当且仅当的时候取等，即时取等，所以两个不等号能同时取等，故的最大值为，故D正确.故答案选ABD.
12.【答案】28 解：方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为3，所以原正四棱锥的高为6，所以正四棱锥的体积为，截去的正四棱锥的体积为，所以棱台的体积为.方法二：棱台的体积为.
13.【答案】（满足题意即可）
14.【答案】 解：设点，，点为弦AB的中点，有，将A，B两点代入椭圆方程，得，
两式作差得，整理得.
得直线的斜率为，直线的方程为，即.
经检验符合题意.故答案为：.
15.解：（1）由题意得，从而可得，的离心率.
（2）联立，得，
由，得，
直线的一般式方程为：.
16.解：（1），，即，又，
，，.
即，所以，.
（2）由（1）知，，.
由，
由正弦定理，，可得，
，.
17（1）证明：取AB的中点，因为为棱BC的中点，
所以，，又，，为的中点，
所以，，所以四边形是平行四边形.
所以，又平面，平面，
所以平面.
（2）证明：因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，又平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
（3）取AC的中点，连接EG，因为为AB的中点，所以，
又，所以，
又直三棱柱的几何特征可得面，又面，所以，
又，平面，平面，所以平面，
又平面，所以，
所以二面角的平面角为，
因为，所以，，
在中，，所以，
所以二面角的余弦值为.
18.解：（1）因为，，所以，
因为在处的切线方程为，所以，，
则，解得，所以，.
（2）由（1）得，则，
令，解得，不妨设，，则，
易知恒成立，所以令，解得或；
令，解得或；
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
的单调递减区间为和，单调递增区间为和.
（3）由（1）得，，
由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，，，即，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，在上单调递减，则，故，所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；所以在上有一个极大值点；
当时，在上单调递增，则，
故，所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以在上有一个极小值点；
当时，，所以，则单调递增，所以在上无极值点；
综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有3个极值点.
19.解：（1），
当且仅当时，在R上取得最大值，故；
（2）定义域为R，，
令，则，令得，
- 0 +
极小值
其中，故，，
可以看出，，故有且仅有2个零点，分别为1和2，
令得或1或2，
1 2
＋ 0 － 0 ＋ 0 －
极大值 极小值 极大值
其中，故当或2时，取得最大值，故；
（3），，，，，，
令得，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当，，单调递增，
由于，
故所有的单调递增区间经过适当平移可重合，同理，所有的单调递减区间经过适当平移可重合，要想集合中有且仅有两个元素，
则需要或，
或，……，，
其中，
，
又，
所有的均处在单调递增区间上，
所以为定值，故所有满足条件的从小到大排列构成一个等差数.
