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2025届高三年级调研考试
数 学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若（）为纯虚数，则
A．0 B．1 C．2 D．3
2.已知向量，，且，则
A．4 B．3 C．2 D．1
3.设集合，，若，则a的取值范围是
A． B． C． D．
4.函数的最大值为
A． B． C． D．0
5.已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，若，则
A． B． C． D．
6.已知函数在区间内单调递增，则a的取值范围为
A． B． C． D．
7.设，则
A． B． C． D．
8.设抛物线C：（）的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，，且，则l的斜率是
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知，，则双曲线：与：有相同的
A．焦点 B．焦距 C．离心率 D．渐近线
10.随机投掷一枚质地均匀的骰子3次，记3次掷出的点数之积为X，掷出的点数之和为Y，则
A．事件“”和“”相等 B．事件“”和“”互斥
C．X为奇数的概率为 D．的概率为
11.已知函数的定义域为，且其图象是一条连续不断的曲线，，记为的导函数，则下列说法正确的是
A．
B．为奇函数
C．若，则
D．若在上单调递减，则恰有三个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.2024年7月14日13时，2024年巴黎奥运会火炬开始在巴黎传递，其中某段火炬传递活动由包含甲、乙、丙在内的5名火炬手分四棒完成，若甲传递第一棒，最后一棒由2名火炬手共同完成，且乙、丙不共同传递火炬，则不同的火炬传递方案种数为 .
13.在数列中，，且，则实数c的取值范围是 .
14.已知正数x，y满足，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值.
16.（15分）
氮氧化物是一种常见的大气污染物，下图为我国2015年至2023年氮氧化物排放量（单位：万吨）的折线图，其中年份代码1～9分别对应年份2015～2023.
已知，，，.
（Ⅰ）可否用线性回归模型拟合y与t的关系？请分别根据折线图和相关系数加以说明.
（Ⅱ）若根据所给数据建立回归模型，可否用此模型来预测2024年和2034年我国的氮氧化物排放量？请说明理由.
附：相关系数.
17.（15分）
如图，在四棱锥S-ABCD中，△SAD为正三角形，底面ABCD为矩形，且平面平面ABCD，M，N分别为棱SC，AB的中点.
（Ⅰ）证明：平面SAD：
（Ⅱ）若，且二面角C-MN-D的大小为120°，求的值.
18.（17分）
已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，且，过点作两条直线，，直线与C交于A，B两点，的周长为.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若的面积为，求的方程；
（Ⅲ）若与C交于M，N两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值.
19.（17分）
已知函数，其中，，，…，不全为0，并约定，设，称为的“伴生函数”.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若恒成立，且曲线（）上任意一点处的切线斜率均不小于2，证明：当时，；
（Ⅲ）若，证明：对于任意的，均存在，使得.
2025届高三年级调研考试
数学·答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.答案 B
命题意图 本题考查复数的相关概念.
解析 因为为纯虚数，所以，得，故.
2.答案 C
命题意图 本题考查平面向量的坐标运算及向量垂直的定义.
解析 由，得，解得.
3.答案 A
命题意图 本题考查集合的关系与不等式的运算.
解析 由题可知，，由，可得，所以.
4.答案 C
命题意图 本题考查三角函数的性质.
解析 由题意可得，所以的最大值为.
5.答案 D
命题意图 本题考查圆锥的结构特征及扇形的相关计算.
解析 设圆锥的母线长为l，则圆锥的底面半径，侧面展开图的扇形弧长，即圆锥底面的周长，因此，，易知，关于单调递增，验证选项可知当时，符合题意.
6.答案 A
命题意图 本题考查分段函数的单调性.
解析 易知当时，单调递增，由题意，需在上单调递增，且，即.若，则，解得；若，则，满足题意；若，则恒成立，综上，a的取值范围是.
7.答案 C
命题意图 本题考查三角恒等变换的应用.
解析 原式.
8.答案 D
命题意图 本题考查抛物线与直线的位置关系.
解析 如图为l的斜率大于0的情形，设点A，B在C的准线上的射影分别为，，作，垂足为H.设，，则.而，所以，l的斜率为.同理，当l的斜率小于0时，其斜率为.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.答案 CD
命题意图 本题考查双曲线的几何性质.
解析 设，易知的左、右焦点坐标分别为和，的标准方程为，故其左、右焦点坐标分别为和，显然和的焦点和焦距均不相同，故A，B错误；和的离心率均为，渐近线方程均为，故C，D正确.
10.答案 ACD
命题意图 本题考查事件与概率的概念以及古典概型的概率的计算.
解析
对于A，事件“”和“”都相当于掷出两个1点和一个2点，故A正确；
对于B，事件“”和“”都包含掷出两个1点和一个4点，故B错误；
对于C，X为奇数等价于“3次掷出的点数都为奇数”，因此其概率为，故C正确；
对于D，事件“”的对立事件为“或”，，，
因此，故D正确.
11.答案 ABD
命题意图 本题考查抽象函数的综合性质.
解析
对于A，令，则，故A正确；
对于B，令，得，，令，得，，所以，即为奇函数，故B正确；
对于C，令，得，令，，得，所以，故C错误；
对于D，因为在上单调递减，又，所以存在，满足在上单调递增，在上单调递减，因此在上只有一个零点1，又是奇函数，所以恰有三个零点，0，1，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.答案 10
命题意图 本题考查排列组合的应用.
解析 共有（种）不同的传递方案.
13.答案
命题意图 本题考查等比数列求和.
解析 由题意知，解得.
14.答案 1
命题意图 本题考查均值不等式的应用.
解析 由，得，记，，其中，原不等式化为，所以，所以，即.所以，当且仅当，即时取“＝”，所以的最小值为1.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.命题意图 本题考查正弦定理和余弦定理的应用.
解析
（Ⅰ）由余弦定理可得，
由正弦定理可得，
所以，
又因为，
所以.
（Ⅱ）因为，
所以，当且仅当时，等号成立，
解得，
所以△ABC的面积，
即△ABC面积的最大值为.
16.命题意图 本题考查线性回归分析的应用.
解析
（Ⅰ）从折线图看，各点落在一条直线附近，因而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.
由题意知，
相关系数.
，因而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.
（说明：表达出“r接近于”或“接近于1”的意思即可）
（Ⅱ）可以预测2024年的氮氧化物排放量，但不可以预测2034年的氮氧化物排放量.
理由如下：
①2024年与所给数据的年份较接近，因而可以认为短期内氮氧化物排放量将延续该趋势，故可以用此模型进
行预测；
②2034年与所给数据的年份相距过远，而影响氮氧化物排放量的因素有很多，这些因素在短期内可能保持不变，但从长期看很有可能会变化，因而用此模型预测可能是不准确的.
（说明：结论正确，答出其他合理理由也可给分）
17.命题意图 本题考查线面平行的证明，以及空间向量的应用.
解析
（Ⅰ）如图，取棱SD的中点P，连接PM，PA．
因为M是棱SC的中点，所以且.
又因为四边形ABCD是矩形，N是棱AB的中点，故且，
所以四边形APMN是平行四边形，所以.
又平面SAD，平面SAD，故平面SAD．
（Ⅱ）取棱AD的中点Q，则在正三角形SAD中，，所以平面ABCD.
以Q为坐标原点，，的方向分别为x轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Qxyz.
设，，，则，，，，.
所以，，.
设平面CMN的法向量为，
则，即，可取.
设平面DMN的法向量为，
则，即，可取.
由题设知，故，
即.
18.命题意图 本题考查椭圆的方程与性质，椭圆与直线的位置关系.
解析
（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c（），由题意知，所以，
的周长为，所以，
所以，，
故C的方程为.
（Ⅱ）设：，，，
联立，可得，
所以，.
所以，
由，
解得，
所以的方程为或.
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，
因为的斜率是的斜率的2倍，所以，在上式中用2m替换m，
可得.
所以
，
当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.
19.命题意图 本题考查新概念问题，导数的计算及几何意义，导数与函数的极值.
解析
（Ⅰ）由题可知，，，，，.
所以，，，，，
故的伴生函数为.
（Ⅱ）由已知得，
所以
.
因为曲线（）上任意一点处的切线斜率均不小于2，
故在上恒成立.
又，
所以，
所以当时，.
（Ⅲ）因为，
所以.
设，则.
注意到，则在上一定存在极值点.
令t为其中一个极值点，则，
即，所以，
因为，
所以，故.
