2024-2025学年河北省邯郸市高二上学期开学考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，满足，且，则，夹角为( )
A. B. C. D.
2.在中，角对边为，且，则的形状为( )
A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
3.设复数，，则复数的虚部是( )
A. B. C. D.
4.袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各个，无放回的从中任取个球，则恰有两个球同色的概率为
A. B. C. D.
5.若双曲线的一条渐近线方程为，该双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
6.在四面体中，，，平面，四面体的体积为若四面体的顶点均在球的表面上，则球的表面积是 ．
A. B. C. D.
7.已知圆：，：，动圆满足与外切且与内切，若为上的动点，且，则的最小值为
A. B. C. D.
8.已知，分别是棱长为的正四面体的对棱的中点过的平面与正四面体相截，得到一个截面多边形，则下列说法正确的是( )
A. 截面多边形不可能是平行四边形
B. 截面多边形的周长是定值
C. 截面多边形的周长的最小值是
D. 截面多边形的面积的取值范围是
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论中正确的是( )
A. 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等
B. 一组数据中的每个数都减去同一个非零常数，则这组数据的平均数改变，方差不改变
C. 一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于
D. 数据，，，，的方差为，则数据，，，，的方差为
10.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A. 若，，，，则
B. 若，，，则
C. 若，异面，，，，，则
D. 若，，，则
11.如图，已知在平行四边形中，，，为的中点，将沿直线翻折成，若为的中点，则在翻折过程中点平面，以下命题正确的是( )
A. 平面
B.
C. 存在某个位置，使
D. 当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某学校三个年级共有名学生，要采用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为的样本，已知一年级有名学生，那么从一年级抽取的学生人数是 名
13.设双曲线：的左焦点和右焦点分别是，，点是右支上的一点，则的最小值为 ．
14.已知点是椭圆上除顶点外的任意一点，过点向圆引两条切线，，设切点分别是，，若直线分别与轴，轴交于，两点，则面积的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图所示，四边形为梯形且，，为中点，，，现将平面沿折起，沿折起，使平面平面，且重合为点如图所示．
证明：平面平面；
求二面角的余弦值．
16.本小题分
如图，四棱柱的底面为梯形，，三个侧面，，均为正方形．
证明：平面平面．
求点到平面的距离．
17.本小题分
在平面直角坐标系中，椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，点和点为椭圆上两点．
Ⅰ求椭圆的标准方程；
Ⅱ，为椭圆上异于点的两点，若直线与的斜率之和为，求线段中点的轨迹方程．
18.本小题分
已知的三个内角，，对的三边为，，，且
若，，求；
已知，当取得最大值时，求的周长．
19.本小题分
如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线．
证明：平面；
若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值．
参考答案
1.
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5.
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8.
9.
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11.
12.
13.
14.
15.
证明：因为，
即，为的中点，
所以是等腰三角形，
且，即，
又因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以，
又因为，且，
所以四边形为直角梯形，且，
所以四边形是正方形，所以，
又因为，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面；
由知：以为原点，，，为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系：
则，，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，即
令，则，
易知平面的一个法向量为，
则，
所以二面角的余弦值是．
16.
因为侧面，，均为正方形，所以，，．
又，面，所以面．
由棱柱的性质，四棱柱为直四棱柱，则面，又面，则．
又四边形为梯形，，，所以．
过点作，垂足为，则，
所以，则．
在等腰三角形中．
因为，所以．
因为，面，所以面．
又平面，所以平面平面．
法一：连接，，
由直三棱柱的体积．
由直三棱柱的性质知，三棱锥的体积，
三棱锥的体积，
所以．
由面，面，则，且．
设点到平面的距离为，则，
即，解得，故点到平面的距离为．
法二：因，且面，面，所以面，
所以，两点到平面的距离相等．
过点作，垂足为点，连接．
易得平面，所以线段的长度即为点到平面的距离．
因为，，，所以．
所以点到平面 距离为．
17.解：Ⅰ设椭圆的方程为，
因为点和点为椭圆上两点，
所以，解得，
故椭圆的标准方程为；
Ⅱ设的斜率为，所以直线的方程为，即，
联立方程组，可得，
所以点的横坐标为，纵坐标为，
因为直线与的斜率之和为，
所以直线的斜率为，
同理可求出点的坐标为，
故点的坐标为，
所以点的坐标满足，
由，解得，
所以，
故点的轨迹方程为．
18.
，
，
，又，
，
由正弦定理可知：，
；
，当取最大值时，即取最大值，
，
，
，当且仅当时，即，时等号成立，
由余弦定理可知：，
，
的周长．
19.解：证明：如图，连接，由题意知为的直径，
所以因为，是圆柱的母线，
所以且，所以四边形是平行四边形．
所以，所以．
因为是圆柱的母线，所以平面，
又因为平面，所以．
又因为，、平面，所以平面．
由知是三棱锥底面上的高，
由知，，所以，
即底面三角形是直角三角形．
设，，
则在中有：，
所以，
当且仅当时等号成立，即点，分别是，的中点时，三棱锥的体积最大，
下面求二面角的正弦值：
法一：由得平面，因为平面，所以．
又因为，，所以平面．
因为平面，所以，所以是二面角的平面角，
由知为直角三角形，则．
故，所以二面角的正弦值为．
法二：由知，，两两相互垂直，
如图，以点为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则．
由知平面，故平面的法向量可取为．
设平面的法向量为，
由，
得，即，即，取，得．
设二面角的平面角为，
，
所以二面角的正弦值为．
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