2025届广西名校高三年级9月联合调研考试
数学科试卷
试卷满分：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．设集合，，若，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2．若复数z是方程的一个根，则（ ）
A．3 B． C．5 D．
3．在平行四边形ABCD中，，，，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．设等比数列的前n项和为，，，则（ ）
A． B．63 C． D．31
6．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．已知点P在抛物线M：上，过点P作圆C：的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（ ）
A．5 B． C．6 D．
8．根据公式，的值所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。
9．某品牌新能源汽车2024年上半年的销量如下表：
月份t 1 2 3 4 5 6
销量y（万辆） 11.7 12.4 13.8 13.2 14.6 15.3
根据上表的数据，下列说法正确的是（ ）
A．销量的极差为3.6 B．销量的平均数为13.5
C．销量的第40百分位数为13.8 D．销量的中位数为13.2
10．已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．当时，是的一个周期；
B．将的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，若是奇函数，则的最小值为2；C．若存在，使得，则的取值范围是
D．存在，使得在上单调递减；
11．已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，过点且倾斜角为的直线l与双曲线的右支交于A、B两点（A在第一象限），则下列说法中正确的是（ ）
A．双曲线C的虚轴长为 B．
C．的周长的最小值为16 D．当时，的内切圆面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数，且，则__________．
13．将一个底面半径为2，高为的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积为__________．
14．已知有A，B两个盒子，其中A盒中有3个黑球和3个白球，B盒中有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同。甲从A盒，乙从B盒各随机抽取一个球，若两球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入A盒中，若两球不同色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入B盒中。按上述方法重复操作两次后，A盒中有8个球的概率是__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知．
（1）求的大小；
（2）若，E是AC的中点，且，求BE．
16．（15分）某高新技术企业新研发出了一种产品，该产品由三个电子元件组装而成，这三个电子元件在生产过程中的次品率均为。组装过程中不会造成电子元件的损坏，当且仅当三个电子元件都不是次品时，产品能正常工作，否则该产品为次品。
（1）设一件产品中所含电子元件为次品的个数为X，求X的分布列和期望；
（2）设“任取一件产品为次品”，“该产品仅有一个电子元件是次品”，求；
（3）安排质检员对这批产品进行逐一检查，确保没有次品流入市场。现有两种方案，
方案一：安排三个质检员先行检测这三个元件，次品不进入组装生产线；
方案二：安排一个质检员检测成品，若发现次品，则进行电子元件的更换，保证产品能正常工作。更换电子元件的费用为15元/个．
已知每位质检员的月工资为3000元，该企业每月生产该产品800件，请从企业获益的角度考虑，应该选择选择哪种方案？
17．（15分）如图，在四棱锥中，平面底面ABCD，，底面ABCD是边长为的正方形．
（1）求证：；
（2）E是棱PA上一点，若AC与平面BDE所成角为60°，求四棱锥的体积．
18．（17分）椭圆E：的离心率为，过点的直线l与椭圆E交于M，N两点．当直线l过坐标原点O时，．
（1）求椭圆E的方程．
（2）设A，B分别是椭圆E的右顶点和上顶点，过点M作x轴的平行线分别与直线AB，NB交于C，D两点．试探究D，C，M三点的横坐标是否构成等差数列，并说明理由．
19．（17分）已知函数，且x轴是曲线的切线，
（1）求的最小值；
（2）证明：；
（3）设，，
证明：对任意，．
