2025届高三年级第一次质量监测
数 学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 准考证号写在答题卡上.
2.选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不能答在本试卷上，否则无效.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知命题；命题，则（ ）
A.和都是真命题 B.和都是真命题
C.和都是真命题 D.和都是真命题
3.已知为虚数单位，为复数的共轭复数，复数满足，则（ ）
A.1 B. C.2 D.
4.已知平面向量，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
5.若是第二象限角，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B.3 C.2 D.
7.当时，曲线与的交点个数为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.6
8.已知圆锥的顶点为，其三条母线两两垂直，且母线长为.则圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.某物理量的测量结果服从正态分布，下列选项中正确的是（ ）
A.越大，该物理量在一次测量中在的概率越小
B.该物理量在一次测量中小于11的概率小于0.5
C.该物理量在一次测量中小于10.98与大于11.02的概率不相等
D.该物理量在一次测量中落在与落在的概率不相等
10.设函数，则（ ）
A.有三个零点
B.是的极大值点
C.曲线为轴对称图形
D.为曲线的对称中心
11.如图，曲线过原点，其渐近线方程为，则（ ）
A.曲线关于直线对称
B.点位于曲线围成的封闭区域（阴影部分）外
C.若在曲线上，则
D.曲线在第一象限内的点到两坐标轴距离之积的最大值为
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.用0与1两个数字随机填入如图所示的3个格子里，每个格子填一个数字.若从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为__________.
13.记的内角的对边分别为.已知，外接圆直径为4，则边的长为__________.
14.若是的极小值点，则实数的取值范围是__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）记是公差不为0的等差数列的前项和，，且成等比数列.
（1）求和；
（2）若，求数列的前20项和.
16.（15分）某厂为了考察设备更新后的产品优质率，质检部门根据有放回简单随机抽样得到的样本测试数据，制作了如下列联表：
产品 优质品 非优质品
更新前 24 16
更新后 48 12
（1）依据小概率值的独立性检验，分析设备更新后能否提高产品优质率？
（2）如果以这次测试中设备更新后的优质品频率作为更新后产品的优质率.质检部门再次从设备更新后的生产线中抽出5件产品进行核查，核查方案为：若这5件产品中至少有3件是优质品，则认为设备更新成功，提高了优质率；否则认为设备更新失败.
①求经核查认定设备更新失败的概率；
②根据的大小解释核查方案是否合理.
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
17.（15分）如图1，在菱形中，，沿将向上折起得到棱锥.如图2所示，设二面角的平面角为.
（1）当为何值时，三棱锥和四棱锥的体积之比为；
（2）当时，求平面与平面所成角的正弦值.
18.（17分）已知函数.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）证明：当时，.
19.（17分）设点从格点出发，沿格径以最短的路线运动到点，即每次运动到另一格点时，横坐标或纵坐标增加1.设点经过的所有格点中两坐标乘积之和为.
（1）当时，点沿格径以最短的路线运动到点的方案有多少种？
（2）当时，求的最大值；
（3）当点从格点出发，沿格径以最短的路线运动到点且，求的最大值.（参考公式：）
2025届高三第一次质量检测数学参考答案
一 单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
B D B A A C C D
二 多选题
9 10 11
AD BD ACD
三 填空题
12.； 13.； 14.
四 解答题
15.（1）设，由得，
所以或
由于不为0，所以
所以，，
（2）由知：，故，
由
所以.
16.（1）假设：设备更新与产品的优质率独立，即设备更新前与更新后的产品优质率没有差异.
由列联表可计算，
依据小概率值的独立性检验，
我们可以推断不成立，因此可以认为设备更新后能够提高产品优质率.
（2）根据题意，设备更新后的优质率为0.8.
可以认为从生产线中抽出的5件产品是否优质是相互独立的.
（1）设表示这5件产品中优质品的件数，则，可得
.
（2）实际上设备更新后提高了优质率.
当这5件产品中的优质品件数不超过2件时，认为更新失败，此时作出了错误的判断，
由于作出错误判断的概率很小，则核查方案是合理的.
17.（1）由，得
所以；
（2）因为菱形的对角线互相垂直，
设与的交点为，由可知O点为线段EF的中点，
在翻折的过程中，始终有，
所以二面角的平面角为，
以为坐标原点，分别为轴 轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则，
可得，
设平面的法向量为，则
令，则，可得
设平面的法向量为，
由题意可得，
所以.
18.（1）当时，
所以切线方程为即.
（2）由题意知，
设
则
令得，令得
故在单调递减，在单调递增
所以，当且仅当时，等号成立.
设
则
令得，令得
故在单调递减，在单调递增
所以，当且仅当时，等号成立
综上可得，，等号不能同时成立
所以，.
得证.
19.（1）；
（2）方案一：
方案二：
方案三：
方案四：
所以，的最大值为21.
（3）设P经过的点依次为的坐标为，则，要使S最大，由直观，应使尽可能接近.猜想，如果使S最大，则对任何，有
假设存在，使，不妨设.观察路径，发现一定有一个点，满足这样的条件，即路径中存在这样连续三点，使得是横向边，是纵向边，且，于是，用代替得到的路径仍合乎要求，又因为，所以，经过变换路径后，坐标之积变大了.所以
所以，综上所述，对路径中的任何一个点，若，则从出发的边是唯一的，下一个点是将的坐标中较小的一个增加1.而时，则从出发的边有两种选择，下一个点是将的横坐标或纵坐标加1
于是，1.当时，.
2.当时，其路径为：
或或.
此时，
