深圳市南山为明学校 2024-2025 学年度第一学期九年级成长的足迹（一）
数 学
时间： 90 分钟 满分： 100 分 命题人：九年级数学组
一、选择题（本题共 8小题，每小题 3分，共 24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．若分式 有意义，则 y满足的条件是（ ）
A．y＝3 B．y＝﹣3 C．y≠3 D．y≠﹣3
2．2024年 4月 30日 17时 46分，神舟飞船再一次按计划准时准点从太空返回地面，中国航天员不断在太
空创造新的纪录．下列四个以航天为主题的图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．am+an＝a（m+n） B．ax2+bx+c＝x（ax+b）+c
C．（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2 D．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
4．用配方法解方程 x2﹣4x﹣22＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝24 B．（x+2）2＝25 C．（x﹣2）2＝26 D．（x﹣2）2＝27
5．给出下列判断，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
6．1．九年级学生去距学校 10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了 20min后，其余学生乘
汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的 2倍，求骑车学生的速度．设骑车学
生的速度为 x km/h，则所列方程正确的是（ ）
A． ＝ ﹣ B． ＝ ﹣20 C． ＝ + D． ＝ +20
7．如果 ，那么 的值为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
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8．在△ABC中，已知 ，BC＝6，AC的垂直平分线 DE分别交
AB，AC于点 D，E，点 F和点 G分别是线段 DE和 BC边上的动点，则
CF+FG的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．5
二、填空题（本题共 5小题，每小题 3分，共 15分）
9．若不等式（m﹣3）y﹣1＞0（m为常数，且 m≠3）的解集为 ，
则 m的取值范围是 ．
10、已知一元二次方程 x2﹣4x﹣3＝0的两根分别为 x1，x2，则 x1 x2＝ ．
11．若关于 x的分式方程 有增根，则 a的值为 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC是平行四边形，OA＝AB， ．将对角线 OB
绕点 O顺时针旋转 60°交 BC的延长线于点 F，则点 F的坐标为 ．
13．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝150°，以 AB为边作等边△ABD，连接 DC，若 AE
平分∠DAC交 BC于点 E，则 BE的长为 ．
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深圳市南山为明学校 2024-2025 学年度第一学期九年级成长的足迹（一）
数 学-----答题卡
时间： 90 分钟 满分： 100 分 命题人：九年级数学组
一、选择题（本题共 8小题，每小题 3分，共 24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1 2 3 4 5 6 7 8
二、填空题（本题共 5小题，每小题 3分，共 15分）
9、_________ 10、____________ 11、__________ 12、__________ 13、____________
三、解答题（本题共 7小题，其中第 14题 6分，第 15题 11分，第 16题 8分，第 17题 8分，第 18题 9
分，第 19题 9分，第 20题 10分，共 61分）
14．（6分）解不等式组： ，并把它的解集在数轴上表示出来.
15．（6分）（1）先化简，再求值： ，其中 a＝2024．
（5分）（2）解方程：①x2﹣2x﹣8＝0；
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16．（8分）已知△ABC．
（1）如图 1，请用无刻度的直尺和圆规按要求作图：作线段 AC的中点 D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图 2，在（1）的条件下，点 E为 BC边上一点且 EC＝2BE，连接 AE，取 AE的中点 F，连接 DF、
DE、BF，求证：四边形 BEDF为平行四边形．
17．（8分）某著名的旅游城市 2016年“十一”黄金周期间，接待游客近 1000万人次，2018年“十一”
黄金周期间，接待游客已达 1690万人次．
（1）求出 2016年至 2018年十一长假期间游客人次的年平均增长率；
（2）该市一家特色小面店希望在长假期间获得较好的收益，经测算知，该小面的成本价为每碗 6 元，借
鉴以往经验：若每碗卖 25元，平均每天将销售 300碗，若价格每降低 1元．则平均每天多销售 30碗．若
规定每碗售价不得超过 20元，则当每碗售价定为多少时，店家能实现每天盈利 6300元？
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18．（9分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为 AC的中线，过点 C作 CE⊥BD于点 E，过点 A作
BD的平行线，交 CE的延长线于点 F，在 AF的延长线上截取 FG＝BD，连接 BG、DF．
（1）求证：BD＝DF；
（2）求证：四边形 BDFG为菱形；
（3）若 AG＝13，CF＝6，求四边形 BDFG的周长．
19．（9分）受全球气候变暖影响，今年深圳的雨水特别多．据悉，不止深圳，整个
华南地区暴雨形成“列车效应”．雨水增多导致雨伞的需求量大大增加．如图是某
型号雨伞的结构图．
根据以下素材，探索完成任务．
探究雨伞中的数学问题
素材 1 图 1是这个雨伞的示意图．不管是张开还是收
拢，AP是伞柄，伞骨 AB＝AC且 AE＝ AB，
AF＝ AC，DE＝DF，D点为伞圈．伞完全张
开时∠BAC＝120°，如图 1所示．
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素材 2 伞圈 D能沿着伞柄滑动，如图 2是完全收拢时
伞骨的示意图，此时伞圈D滑动到D′的位置，
且 A、E、D′三点共线．测得 AD′＝59cm，
AE＝30cm（参考值： ≈12.88）．
素材 3 同学们经过研究发现：雨往往是斜打的，且都
是平行的．如图 3，某一天，雨线 BM与地面
夹角为 60°，小田站在伞圈 D点的正下方点 G
处，记为 GH，此时发现身上被雨淋湿，测得
BN＝162cm．
问题解决
任务 1 判断 AP位置 求证：AP是∠BAC的角平分线．
任务 2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢，求伞
圈 D移动的距离（精确到 0.1cm）．
任务 3 拟定撑伞方案 求 伞 至 少 向 下 移 动 距 离
cm，使得人站在 G处身上不被雨淋
湿．（直接写出答案）
解：（1） （2）
（3）______________________
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20．（10分）综合与实践：
【问题情境】
活动课上，同学们以等边三角形为背景开展旋转探究活动，数学小组经过研究发现“等边三角形在旋转过
程中，对应边所在直线的夹角与旋转角存在一定关系”（注：平面内两直线的夹角是指两直线相交形成的
小于或等于 90°的角）．如图 1，将等边△ABC绕点 A逆时针旋转 15°得到△ADE，则线段 BC与线段 DE
的夹角∠BMD＝15°．如图 2，将等边△ABC绕点 A逆时针旋转 100°得到△ADE，则线段 BC与线段 DE
所在直线的夹角∠BMD＝80°．
【特例分析】
（1）如图 1，若将等边△ABC绕点 A逆时针旋转 30°得到△ADE，线段 BC与线段 DE所在直线的夹角度
数为 度；如图 2，若将等边△ABC绕点 A逆时针旋转 110°得到△ADE，线段 BC与线段 DE所
在直线的夹角度数为 度．
【类比分析】
（2）如图 3，已知△ABC是等边三角形，分别在边 AB和 AC上截取 AD和 AE，使得 AD＝AE，连接 DE．如
图 4，将△ADE绕点 A逆时针旋转θ（0°≤θ≤180°），连接 CE，当 BC和 DE所在直线互相垂直时，线
段 AE，AC，CE之间有怎样的等量关系？试探究你的结论，并说明理由．
【延伸应用】
（3）在（2）的条件下，如图 3，若 AB＝4， ，将△ADE绕点 A逆时针旋转θ（0°≤θ≤360°）．当
BC和 DE所在直线互相垂直时，请直接写出此时 CD的长．
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解：（1）_____________ ；_____________________。
（2）
（3）_______________________________________。
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