（北师大版）
2024~2025学年度第一学期开学收心检测卷
九年级数学
注意事项：
1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷；
2．答卷前将装订线内的项目填写清楚．
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列多项式中不能用公式法分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，的对角线AC，BD相交于点O，点E为AB的中点，连接OE，若，，则的周长为（ ）
（第3题图）
A．12 B．14 C．24 D．28
4．如图，有两棵树AB和CD（都与水平地面AC垂直），树AB高8米，树梢D到树AB的水平距离DE（）的长度为8米，米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（ ）
（第4题图）
A．10米 B．9米 C．8米 D．7米
5．如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转α度到的位置，恰好经过点B，则旋转角α的度数为（ ）
（第5题图）
A．65° B．70° C．55° D．35°
6．如图，直线（k、b为常数，且）经过点，，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
7．某文具店的一种笔记本只在节假日期间按8折优惠出售．某同学发现，同样花12元钱购买这种笔记本，节假日期间正好比节假日前多买一本．这种笔记本节假日期间每本的售价是（ ）
A．2.4元 B．2元 C．3元 D．1.6元
8．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点．要添加一个条件使四边形DEBF是平行四边形，不能添加（ ）
（第8题图）
A． B． C． D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．如图所示，交通指示牌中“停车让行标志”外轮廓可以看成是正八边形，则的度数等于______°．
（第9题图）
10．已知一次函数与（k是常数，且）的图象的交点坐标是，则关于x、y的二元一次方程组的解是______．
11．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，，请添加一个条件______，使四边形ABCD是平行四边形．（写出一个即可）
（第11题图）
12．若关于x的分式方程有增根，则m的值为______．
13．如图，边长的等边中，D、E分别为AB、BC上的点，且，连接DE，将线段ED绕E点顺时针旋转60°得到线段EF，连接CF．当时，CE的长为______．
（第13题图）
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．（5分）因式分解：．
15．（5分）解方程：．
16．（5分）如图，在四边形ABCD中，连接AC，，．求证：四边形ABCD是平行四边形．
（第16题图）
17．（5分）如图，已知，P为边BC上一点，请用尺规作图的方法在边AB上求作一点Q，使．（保留作图痕迹，不写作法）
（第17题图）
18．（5分）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
（第18题图）
19．（5分）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上．
（1）将先向右平移5个单位，再向下平移3个单位，画出平移后对应的；（点A、B、C的对应点分别为点、、）
（2）将绕点O按逆时针方向旋转90°，画出旋转后对应的．（点A、B、C的对应点分别为点、、）
（第19题图）
20．（5分）先化简，再求值：，其中．
21．（6分）如图，在四边形ABDC中，AF平分交BD的延长线于点F，CE平分分别交AF、DB的延长线于点P、E，．求证：．
（第21题图）
22．（7分）如图，的内角的平分线与外角的平分线交于点D，过点D作BC的平行线交AB于E，交AC于F．试判断EF与BE，CF之间的数量关系，并说明理由．
（第22题图）
23．（7分）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解．
例如：．
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）分解因式；
（2）三边a，b，c满足判断的形状，并说明理由．
24．（8分）如图，中，，，是由绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D，AC与BE相交于点O．
（第24题图）
（1）求证：；
（2）求的度数．
25．（8分）“劳动创造英好生活”，在某市教育局倡议下，某校八（2）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种花卉，已知吊兰的单价比绿萝的单价高5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．
（1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元/盆？
（2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且总资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？
26．（10分）【问题背景】
如图，在四边形ABCD中，，于E，于F，AE与CF相交于点C，连接CD，已知，．
（第26题图）
【探索求知】
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
【深入拓展】
（2）若，，求四边形ABCD的面积．
（北师大版）
2024~2025学年度第一学期开学收心检测卷
九年级数学参考答案及评分标准
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．D 2．C 3．D 4．A 5．B 6．C 7．A 8．B
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．45 10． 11．（答案不唯一） 12．7 13．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．解：…（3分）
．………（5分）
15．解：原方程去分母得：，…（2分）
整理得：．
解得：，………（4分）
检验：当时，，
故原方程的解是．……（5分）
16．证明：∵．∴．…（2分）
∵，∴．…（3分）
∴四边形ABCD是平行四边形．…（5分）
17．解：如图所示，点Q即为所求．…（5分）
18．解：由①得：，解得：，…（2分）
由②得：，
所以不等式组的解集为：．（4分）
解集在数轴上表示如图．（5分）
19．解：（1）如图，即为所求．（2分）
（2）如图，即为所求．…（5分）
20．解：原式…（2分）
，…（4分）
当时，原式．…（5分）
21．证明：∵AF平分，∴．…（1分）
∵CE平分，∴．…（2分）
又∵．∴．
∴．…（4分）
∴．∴．…（6分）
22．解：（其他形式正确也可）…（1分）
∵BD平分，∴．
又∵，∴．…（2分）
∴．∴．…（4分）
∵CD平分，∴．
又∵，∴；…（5分）
∴．∴．…（6分）
∵，∴．…（7分）
23．解：（1）…（1分）
．…（2分）
（2）为等腰三角形．理由如下：…（3分）
∵．∴，
∴．…（5分）
∵a、b、c为的三边．∴，……（6分）
∴，即．∴为等腰三角形．…（7分）
24．（1）证明：∵是由绕点A按逆时针方向旋转得到的，
∴，，．
∴，即，…（3分）
∵，∴，…（4分）
∴可由绕点A按顺时针方向旋转得到．
∴．…（5分）
（2）解：∵可由绕点A按顺时针方向旋转得到，
∴．…（6分）
∵，∴．…（8分）
25．解：（1）设购买绿萝的单价是x元/盆，则购买吊兰的单价是元/盆，
根据题意得．…（2分）
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意， （3分）
∴（元）．
答：购买绿萝的单价是10元/盆，购买吊兰的单价是15元/盆， （4分）
（2）设购买y盆吊兰，则购买2y盆绿萝，
根据题意得：，………（5分）
解得：，…（7分）
又∵y为正整数，∴y的最大值为17．
答：购买吊兰的数量最多是17盆．…（8分）
26．（1）证明：∵，∴．
∵，，
∴，……（1分）
∵，∴，
∴，∴，……（2分）
∵，∴四边形ABCD为平行四边形． （3分）
（2）解：∵，，∴．…（4分）
∵，，∴，……（5分）
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，．（6分）
如图，过点C作于点H，∴，
∵，∴（AAS），
∴．（7分）
∵，，．
∴，．
∴，（8分）
在和中，∴，
∴（HL）．
∴．（9分）
设，∴，，
∵，∴，∴，∴，
∴四边形ABCD的面积．（10分）
