2025届高考数学一轮复习人教A版多选题专题练：第八章 立体几何初步
一、多项选择题
1．在长方体中，，，点P在线段上，则直线与平面所成角的正弦值可能为( )
A. B. C. D.
2．已知正四棱柱的底面边为1,侧棱长为a,M是的中点,
则( )
A.任意,
B.存在,直线与直线BM相交
C.平面与底面交线长为定值
D.当时,三棱锥外接球表面积为
3．在四面体的四个面中，有公共棱的两个面全等，，，，二面角大小为，下列说法中正确的有( )
A.四面体外接球的表面积为
B.四面体体积的最大值为
C.若，，则
D.若，，则
4．如图所示,正方体的棱长为1,线段上有两个动点E,F且,则下列结论中正确的是( )
A.
B.平面ABCD
C.三棱锥的体积为定值
D.异面直线AE,BF所成的角为定值
5．已知圆锥的侧面积为，底面圆的周长为，则( )
A.圆锥的母线长为4
B.圆锥的母线与底面所成角的正弦值为
C.圆锥的体积为
D.沿着圆锥母线的中点截圆锥所得圆台的体积为
6．如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，则下列四个结论中正确的是( )
A.
B.是等边三角形
C.平面平面ABC
D.二面角的平面角的正切值为
7．如图,在三棱锥中,底面ABC为边长为2的等边三角形,,,二面角的平面角为,则( )
A.当平面PBC时,三棱锥为正三棱锥
B.当时,平面平面ABC
C.当三棱锥的体积为时,或
D.当时,三棱锥的外接球的表面积的取值范围为
8．如图,已知三棱柱,平面,,,E,D分别是,的中点,则下列说法正确的是( )
A.平面
B.平面
C.直线AD与直线DE的夹角为
D.若,则平面与平面的夹角为
9．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论正确的是( )
A. B.平面ABCD
C.的面积与的面积相等 D.三棱锥的体积为定值
10．如图,在棱长为2的正方体中,M,N,F分别是棱,,的中点,则下列结论正确的是( )
A.平面
B.到平面的距离是
C.异面直线BF,AN所成角的余弦值为
D.平面将正方体分成两部分的体积比为
11．正三棱柱的各棱长均相等，D是的中点，M，N是线段，
上的动点（含端点），且，当M，N运动时，下列结论正确的是( )
A.平面平面
B.三棱锥的体积为定值
C.可能为直角三角形
D.平面DMN与平面ABC所成的锐二面角的范围是
12．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列判断中正确的是( )
A.平面平面
B.平面
C.异面直线与所成角的取值范围是
D.三棱锥的体积不变
13．已知是等腰直角三角形,,用斜二测画法画出它的直观图 ,则的长可能是( )
A. B. C. D.
14．下列说法中正确的是( )
A.若直线不在平面内,则
B.若直线上有无数个点不在平面内,则
C.若,则直线l与平面内任何一条直线都没有公共点
D.平行于同一平面的两直线可以相交
15．如图，正方体的棱长为2，设P是棱的中点，Q是线段上的动点（含端点），M是正方形内（含边界）的动点，且平面，则下列结论正确的是( )
A.存在满足条件的点M，使
B.当点Q在线段上移动时，必存在点M，使
C.三棱锥的体积存在最大值和最小值
D.直线与平面所成角的余弦值的取值范围是
16．如图，在正方体中，点P在线段上运动时，下列命题正确的是( )
A.三棱锥的体积为定值
B.直线AP与平面所成角的大小不变
C.直线AP与直线垂直
D.二面角的大小不变
17．已知，是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是( )
A.如果，，，那么
B.如果，，那么
C.如果，，那么
D.如果，，那么m与所成的角和n与所成的角相等
18．设a，b为两条不重合的直线，为一个平面，则下列说法正确的是( )
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
19．已知三条不同的直线l,m,n和三个不同的平面,,,下列说法正确的是( )
A.若,,则
B.若m,n为异面直线,且,,,,则
C.若,,则
D若,,,,,两两垂直,则l,m,n也两两垂直
20．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，点P是AD上的动点，将，分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点G，则下列结论正确的是( )
A.
B.G到平面DEF的距离为
C.若面EFP，则二面角的余弦值为
D.四面体外接球表面积为
参考答案
1．答案：AB
解析：连结，因为平面，平面，
所以平面平面，且平面平面，
过点P作，连结，则平面，
为与平面所成线面角，
因为，，所以四边形是平行四边形，
所以，且平面，平面，
所以平面，所以，
连结，，，
因为，当点P是的中点时，，此时最短，
，
当点P在或时，最长，最大值为5，
所以，选项AB在范围内.
所以直线与平面所成角的正弦值可能为或.
故选：AB
2．答案：AC
解析：对于A,,,,,平面,
平面,平面,,故正确;
对于B,因为平面,平面,
所以平面,
与异面,故不相交,故错误;
对于C,延长BM,交于N点,连接交于P,M为中点,
,
所以,
所以,,
所以,
平面平面,
平面与底面交线为,
其中P为中点,所以,故正确对;
对于D,,是直角三角形,外接圆是以为直径的圆,
圆心设为,半径,
取中点Q,则平面,,
所以,
所以,
,故错误.
故选：AC.
3．答案：ACD
解析：由题的示意图，画中点为E，连接，，
选项A：由题可知在中，，所以，
又因为有公共棱的两个面全等，，故，
由直角三角形的性质可知，，故该三棱锥的外接球球心为点E，直径为，
所以外接球表面积为，故A正确；
选项B：要使四面体的体积最大，则只需以为底面，在边上的高h为高即可；
因为公共棱的两个面全等，所以，所以有，
已知，所以，所以体积最大时，该四面体的体积为，故B错误；
选项C：分别过点D，B画边的垂线，显然垂足均为F，则，得示意图
由选项B可知，又，，所以，
由余弦定理的，因为在三角形中，所以，故C正确；
选项D:如图所示，过点D画的垂线，垂足为M；过点B画的垂线，垂足为N，
因为，所以，
因为，所以与的夹角为，
由选项B可知，，所以，同理，
由选项A可知所以，
，所以得，
所以，故D正确；
故选：ACD.
4．答案：ABC
解析:因为,,,
平面,平面,所以平面,
又因为平面,所以,故A项正确;
易知,所以,且平面ABCD,平面ABCD,
所以平面ABCD,故B项正确;
如图1,连结BD交AC于G点.
图1
因为平面,平面,所以,
所以
因为,,,平面,平面,,所以平面.
所以A到平面的距离为,
所以为定值,故C项正确;
D.当,,取F为,如下图2所示:
图2
因为,所以异面直线AE,BF所成角为,,
且;
当,,取E为,如下图3所示:
图3
易知,,所以四边形是平行四边形,所以.
因为,G是AC的中点,所以.
又,,,
所以异面直线AE,BF所成角为,且,
由此可知:异面直线AE,BF所成角不是定值,故错误.
故选:ABC.
5．答案：ACD
解析：对于A，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则，，故，，故A正确.
对于B，圆锥的高为h，则，故圆锥的母线与底面所成角的正弦值为，故B错误.
对于C，圆锥的体积为，故C正确.
对于D，沿着圆锥母线的中点截圆锥所得小圆锥的体积为，故所得圆台的体积为，故D正确.
故选：ACD.
6．答案：ABD
解析：设等腰直角三角形的腰为a，则斜边，
D为BC的中点，，
又平面平面ACD，平面平面，，平面ABD，平面ADC，又平面ADC，，故A正确；
由A知，平面ADC，平面ADC，，
又，由勾股定理得：，
又，是等边三角形，故B正确；
为等腰直角三角形，取斜边AC的中点F，则，又为等边三角形，连接BF，则，为平面ADC与平面ABC的二面角的平面角，由平面ADC可知，为直角，因此不是直角，故平面ADC与平面ABC不垂直，故C错误；
由题意知，平面BDC，过点D作于点E，连接AE，则，为二面角的平面角，设为，则，故D正确；故选：ABD.
7．答案：ABD
解析：由,,,可得.
对于A选项,当平面PBC时,平面PBC,故,
由,,可得,
又由,,可得三棱锥为正三棱锥,故A选项正确;
对于B选项,如图,取BC的中点D,连接PD,AD,由,,,
可得,,所以为二面角的平面角,
又由,可得,可得为直角,即平面平面ABC,故B选项正确;
对于C选项,设点P到平面ABC的距离为h,由,有,
可得,由B选项可知此时,
当为锐角时,如图,过点P作,垂足为H,
由于,,,PD,平面PAD,所以平面PAD,
平面PAD,可得,
又由,,BC,平面ABC可得平面ABC,可得,
又由,可得;
当为钝角时,同理可得,故C选项错误;
对于D选项,如图,在AD上取一点E,使得,在中,过点E作平面ABC的垂线,过点D作平面PBC的垂线,相交于点O,
由为等边三角形,为等腰直角三角形,可得O为三棱锥的外接球的半径,
又由,,
有,,
又由,有,有,有,
有,可得三棱锥的外接球的表面积的取值范围为,故D选项正确.
故选:ABD.
8．答案：ABD
解析：因为D,E分别是,的中点,所以,又平面,平面,则平面,故A正确;
因为平面,所以平面ABC,即,又,且,平面,则平面,即,又,且,平面,则平面,故B正确;由于D为中点,且,,因此是等腰直角三角形,E是的中点,则,故C错误;
连接,由于,,易知平面,则,因此平面与平面的夹角为,由于,因此,则,因此,故D正确.故选ABD.
9．答案：ABD
解析：A项，为正方体平面，故A正确；
B项，显然，即，所以平面ABCD，故B正确；
C项，易证是边长为的正三角形，故点A到的距离，而点B到的距离，所以，，故C错误；
D项，显然点A到平面BEF的距离，所以
为定值，故D正确.故选ABD.
10．答案：ABC
解析：对A：连接,,,则易证,,所以,
又平面,
平面,所以平面;
同理：,
、是平面内的两条相交直线,
所以：平面平面,平面,所以平面.故A正确;
对B：因为M为中点,所以和到平面的距离相等,
设为h,
又在中,,,所以.
由.故B正确;
对C：取中点E,连接,.
则,所以即为异面直线、所成的角.
在中,,,,
由余弦定理,.故C正确;
对D：,,所以平面把正方体分成的两部分的体积之比为：,故D错误.
故选：ABC.
11．答案：ABD
解析：对于A：当M、N分别在、上运动时，若满足，
则线段必过正方形的中心O，而平面，
平面平面，故A正确；
对于B：当M、N分别在、上运动时，的面积不变，N到平面的距离不变，
棱锥的体积不变，即三棱锥的体积为定值，故B正确；
对于C：若为直角三角形，则必是以为直角的直角三角形，但的最大值为，而此时，的长大于，不可能为直角三角形，故C错误；
对于D：当M、N分别为，中点时，平面与平面所成的角为0，当M与B重合，N与重合时，平面与平面所成的锐二面角最大，为，等于，
平面与平面所成的锐二面角范围为，故D正确.
故选：ABD.
12．答案：ABD
解析：对于A，连接DB，如图，因为在正方体中，平面ABCD，又平面ABCD，所以，又，与为平面内的两条相交直线，所以平面，因为平面，所以，同理可得，因为与AC为平面内两条相交直线，可得平面，又平面，从而平面平面，故A正确；
对于B，连接，，如图，因为，平面，平面，所以平面，同理平面，又、为平面内两条相交直线，所以平面平面，因为平面，所以平面，故B正确；
对于C，因为，所以与所成角即为与所成的角，因为，所以为等边三角形，当P与线段的两端点重合时，与所成角取得最小值；当P与线段的中点重合时，与所成角取得最大值，所以与所成角的范围是，故C错误；
对于D，由选项B得平面，故上任意一点到平面的距离均相等，即点P到平面的距离不变，不妨设为h，则，所以三棱锥的体积不变，故D正确.故选ABD.
13．答案：AC
解析：以BC为轴,画出直观图,如图2,此时,
A正确,
以BC为轴,则此时,
则的长度范围是,
若以AB或AC为x轴,画出直观图,如图1,以AB为轴,
则,此时过点作于点D,则,
则,,
由勾股定理得：,C正确;
故选：AC.
14．答案：CD
解析：A中,直线也可能与平面相交,故A是假命题;
B中,直线l与平面相交时,l上也有无数个点不在平面内,故B是假命题;
C中,时,与没有公共点,所以与内任何一条直线都没有公共点,故C是真命题;
D中,平行于同一个平面的直线,可以平行也可以相交,也可以是异面直线,故D是真命题.
故选:CD.
15．答案：ABC
解析：取的中点E，的中点F，连接，，，，如图所示.
易知，，，易得平面平面，又平面，所以平面，故点M的轨迹为线段EF.
对于A，连接，交于点O，如图所示.
则，又，，所以平面，当M为线段EF中点时，，因为，所以，故A正确；
对于B，分别以向量，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.
则，，，，，令，得，从而，，令，得，当时，显然不合题意；当时，由，解得，即当点Q在线段上移动时，均存在点M，使，故B正确；
对于C，设点M到的距离为h，则三棱锥的体积，当M与E重合时，，得；当M与F重合时，，得，故C正确；
对于D，设直线与平面所成的角为，连接，如图所示.
由平面知，.在中，由，得，所以，所以.故D错误.故选ABC.
16．答案：ACD
解析：平面，上任意一点到平面的距离相等，所以体积不变，A选项正确；
B.与平面相交，所以直线AP与平面所成角的大小在变，B选项错误；
C.平面，，C选项正确；
D.二面角也就是二面角大小不变，D选项正确；
17．答案：BCD
解析：对于A，可运用长方体举反例证明其错误，如图，
不妨设为直线m，CD为直线n，四边形ABCD所在的平面为，四边形
所在的平面为，显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立；
B正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面相交于直线l，则，由
知，从而；
由平面与平面平行的定义知，如果，，那么，C正确；
由平行的传递性及线面角的定义知，如果，，那么m与所成的角和n与所成的角相等，D正确.故选BCD.
18．答案：BD
解析：对于A，直线a可能在平面内，可能与平面相交，也可能平面平行，故A错误.
对于B，设直线l为平面内的任意一条直线，因为，，所以，又，所以，即b与内任意直线垂直，所以，故B正确.
对于C，若，，则直线a与直线b可能平行，也可能异面，故C错误.
对于D，过直线a作平面，使得平面与平面相交，设，
因为，，，所以，又，，所以，则，故D正确.
故选:BD
19．答案：BD
解析：
20．答案：ACD
解析：A项:连BD，EF可知.又因为，，，所以面EFG，所以.又因为，所以面BDG，所以，故A项正确;
B项:因为，，所以为，所以，故又因为，故G到面DEF的距离（等体积法），故B项错误;
C项:令，连GH，HP.因为面EFP，面BDG，面面，所以，.又因为面BDG，所以，，所以即为二面角的平面角.又因为面EFG，所以，故在中，.又因为，故在中，由余弦定理的推论:，故二面角的余弦值为，C项正确;
D项:由于EG，FG，DG两两互相垂直，不妨将三棱雉放置于一个长宽均为2、高为4的长方体中，其外接球半径，故其表面积，D项正确;故选ACD.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "()
" ()
