2024学年第一学期浙江省名校协作体试题
高三年级数学学科
考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟：
2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题卷
选择题部分
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合,则（ ）
A． C． D．
2．已知复数满足，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．已知等比数列的前2项和为12，, 则公比的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
4．已知平面向量满足：，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数满足最小正周期为，函数，则将的图象向左平移（ ）个单位长度后可以得到的图象
A． B． C． D．
6．已知圆锥的底面半径为1，高为3，则其内接圆柱的表面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知是椭圆与双曲线的公共顶点，是双曲线上一点，直线分别交椭圆于两点，若直线过椭圆的焦点，则线段的长度为（ ）
A． B．3 C． D．
8．正三棱台中，，点为棱中点，直线为平面内的一条动直线．记二面角的平面角为，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．已知随机变量服从正态分布越小，表示随机变量分布越集中
B．数据1，9，4，5，16，7，11，3的第75百分位数为9
C．线性回归分析中，若线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越弱
D．已知随机变量则
10．设函数与其导函数的定义域均为，且为偶函数，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知正项数列满足记，． 则（ ）
A．是递减数列 B．
C ．存在使得 D．
非选择题部分
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．
12．的展开式中，常数项为______．
13．已知正实数满足，则的取值范围是______．
14．将12张完全相同的卡牌分成3组，每组4张．第1组的卡牌左上角都标1，右下角分别标上1，2，3，4；第2组的卡牌左上角都标2，右下角分别标上2，3，4，5；第3组的卡牌左上角都标3，右下角分别标上3，4，5，6．将这12张卡牌打乱放在一起，从中随机依次不放回选取3张，则左上角数字依次不减小且右下角数字依次构成等差数列的概率为______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．（13分）已知在中，角所对的边分别为，且满足，
（1）求角的值；
（2）若的面积为，求的周长。
16．（15分）已知三棱锥满足， 且．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值，
17．（15分）已知函数．
（1）判断函数的零点个数，并说明理由；
（2）求曲线与的所有公切线方程。
18．（17分）如图，已知抛物线的焦点为，过点作一条不经过的直线，若直线与抛物线交于异于原点的两 点，点在轴下方，且在线段上．
（1）试判断：直线的斜率之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
（2）过点作的 垂线交直线于点，若的面积为4，求点的坐标，
19．（17分）对于一个四元整数集，如果它能划分成两个不相交的二元子集和，满足，则称这个四元整数集为“有趣的”．
（1）写出集合的一个“有趣的”四元子集：
（2）证明：集合不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集：
（3）证明：对任意正整数， 集合不能划分成个两两不相交的“有趣的”四元子集．
高三数学参考答案
1—5 BCACA 6—8 CBD
9．AD 10．BCD 11．ABD
12．3
13．
14．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．【解析】（1）由题意得：，
即：
因此，
因为，因此为锐角，因此
（2）由余弦定理：，得：
可得：，因此，为等腰直角三角形
得：
因此，的周长为
16．【解析】（1）
即：
取中点，连接，则，且
面
（2）解法一：由（1）知，面面面
作，垂足为
面面，且面
面
中
记点到平面的距离为与平面所成角为，则
由得：
因此，
解法二：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系
由（1）可知
中，
设的法向量
由得：取
记与平面所成角为．则．
（如有其它解法，酌情给分）
17．【解析】（1），在单调递增
又，存在唯零点，在之间．
（2），
以上的点为切点的切线方程为
以上的点为切点的切线方程为
令
则，代入（2），得，即．
设，函数，则．
当时，单调递减，当时，单调递增，，
的解为，又．
和存在唯一一条公切线为．
18．【解析】（1）若的斜率不存在，则点不存在或与原点重合：若的 斜率不存在，则点与原点重合，因此，直线与的斜率均存在，
设 直线
代入抛物线方程得：
设则，
（2）由题意可知，的斜率为-1，方程为，
设点所以直线，
解方程组得，
因此直线与的交点坐标为
因为， 由（1）得，
所以直线，解方程组得，
因此可得
所以为的中点，从而，
所以因为，解得或，
因此，所求的点的坐标为与．
19．【解析】（1）（符合要求即可）：
（2）证明：假设可以划分，和一定是一个奇数一个偶数，
中至多两个偶数。
则对于的一种符合要求的划分和每个四元子集中均有两个偶数．
若两个集合分别为和则或49，不存在使得符合要求：
若两个集合分别为和则或13，不存在使得符合要求：
若两个集合分别为和则或25，不存在使得符合要求；
综上所述，不能划分为两个不相交的“有趣的”四元子集，
（3）证明：假设可以划分为个两两不相交的“有趣的”四元子集．
每个子集中至多两个偶数，又中恰有个偶数，每个子集中均有两个偶数，
对于， 可设其中是偶数，为奇数，
再由奇偶性，只能是．
且
矛盾．
不能划分为个两两不相交的“有趣的”四元子集．
