2024年岳阳县第一中学新高三入学考试试卷
全卷满分150分。考试用时120分钟。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数z对应的点在第三象限，则复数对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.如图是函数的部分图象，则的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
4.在中，已知，则（ ）
A.3 B.2 C. D.1
5.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为（ ）
A.26 B.28 C.30 D.32
6.已知数列满足，，，则数列的第2024项为（ ）
A. B. C. D.
7.若，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知双曲线的左、右焦点分别为、.过向一条渐近线作垂线，垂足为P.若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。
9.下列说法正确的是（ ）
A.用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体m被抽到的概率是0.2
B.已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5
C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是17
D.若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为16
10.函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.函数的图象关于点对称
C.函数的图象关于直线对称
D.函数在上单调递减
11.已知函数，则（ ）
A.有两个极值点
B.有三个零点
C.点是曲线的对称中心
D.直线是曲线的切线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为______.
13.已知，，且恒成立，则实数m的取值范围为______.
14.已知函数，记等差数列的前n项和为，，，则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.在中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且的面积为，点D是线段BC上靠近点B的一个三等分点，.
（1）若，求c；
（2）若，求的值.
16.已知椭圆的左右顶点分别为，，右焦点为F，已知，.
（1）求椭圆的方程和离心率；
（2）点P在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交Y轴于点Q，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程.
17.有个正数，排成n行n列的数表：
，
其中表示位于第i行，第j列的数，数表中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知，，.
（1）求公比.
（2）求.
18.如图，在正四棱柱中，，，点、、、分别在棱、、、上，，，.
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积；
（3）点P在棱上，当二面角大小为时，求线段的长.
19.已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
（3）若在存在极值，求a的取值范围。
2024年岳阳县第一中学新高三入学考试试卷参考答案
1~8.CCCA CBAD 9.AD 10.ABD 11.ACD
12.24 13. 14.
13（1） （2）
【详解】（1）由题可得：，故
又，即，，即
在中，根据余弦定理得
即
，即，
（2），
，即
又，①
又②，
由①②得：，
16.（1）椭圆的方程为，离心率为.
（2）.
【详解】（1）如图，由题意得，解得，，所以
所以椭圆的方程为，离心率为.
（2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得
设直线的方程为，
联立方程组，消去y整理得：，
由韦达定理得，所以，
所以，.
所以，，，
所以，
所以，即，
解得，所以直线的方程为.
17.（1） （2）
【详解】（1）第4行公差为，.
由己知：，所以.
又每个数都是正数，所以.
（2）因为，所以是首项为，公差为的等差数列.故.
因为每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，所以.
故，设的前n项和为，
①.
②，
①-②得
.所以.
18.（1）证明见解析 （2） （3）
【详解】（1）解：以C为坐标原点，CD，CB，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，
，，，
又，不在同一条直线上，.
（2）解：，点到平面的距离为，
故.
（3）解：设，
则，，，
设平面的法向量，
则，
令，得，，
，
设平面的法向量，则，
令，得，，，
，
化简可得，，解得或，
或，.
19.（1）；
（2）存在，满足题意，理由见解析.
（3）.
【详解】（1）当时，，
则，据此可得，，
函数在处的切线方程为，即.
（2）令.
函数的定义域满足，即函数的定义域为，
定义域关于直线对称，由题意可得.
由对称性可知.
取可得，即，则，解得，
经检验，满足题意，故，.
即存在，满足题意.
（3）由函数的解析式可得，
由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点；
令，则，
令，
在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点，
，
当时，，在区间上单调递减，
此时，在区间上无零点，不合题意；
当，时，由于，所以，在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，
所以在区间上无零点，不符合题意；
当时，由可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故的最小值为，
令，则，
函数在定义域内单调递增，，
据此可得恒成立，则，
由一次函数与对数函数的性质可得，当时，
，且注意到，
根据零点存在性定理可知：在区间上存在唯一零点.
当时，，单调减，
当时，，单调递增，所以.
令，则，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
所以
，
所以函数在区间上存在变号零点，符合题意.
综合上面可知：实数a得取值范围是.
