成都外国语学校2023-2024学年度下期期末考试
高二数学试卷
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
2．本堂考试120分钟，满分150分．
3．答题前，考生务必先将自己姓名、学号填写在答题卡上，并使用2B铅笔填涂．
4．考试结束后，将答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．函数的单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
3．关于线性回归的描述，有下列命题：
①回归直线一定经过样本点的中心； ②相关系数r越大，线性相关程度越强；
③决定系数越接近1拟合效果越好； ④随机误差平方和越小，拟合效果越好．
其中正确的命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．设，，，则有（ ）
A． B． C． D．
5．在空间直角坐标系中，，，，，三角形ABC重心为G，则点P到直线AG的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．已知点，抛物线上有一点，则的最小值是（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
7．有5名大学生到成都市的三所学校去应聘，若每名大学生至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（ ）
A．390 B．150 C．90 D．420
8．双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，右支上一点P满足，直线l平分，过点，作直线l的垂线，垂足分别为A，B．设O为坐标原点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．10
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分．
9．若“，”为假命题，则实数a的取值可以为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
10．我国5G技术研发试验在2016~2018年进行，分为5G关键技术试验、5G技术方案验证和5G系统验证三个阶段．2020年初以来，5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升．某手机商城统计了2022年5个月5G手机的实际销量，如下表所示：
月份 2022年1月 2022年2月 2022年3月 2022年4月 2022年5月
月份编号x 1 2 3 4 5
销量y（部） 50 96 a 185 227
若y与x线性相关，且求得回归直线方程为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．y与x的相关系数为负数
C．y与x正相关 D．2022年7月该手机商城的5G手机销量约为365部
11．已知定义在R上的函数满足为偶函数，为奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．函数为R上的偶函数 D．函数为周期函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为__________．
13．若，则的值为__________．
14．若数列满足，（，d为常数），则称数列为调和数列．已知数列为调和数列，且，则的最大值为__________．
四、解答题：共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量，，，．
（1）求函数的最小值；
（2）若，，，求的面积．
16．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，，，平面PAB，，E、F分别是棱PB、PC的中点．
（1）证明：平面ACE；
（2）求平面ACE与平面PAD的夹角的正弦值．
17．（本小题满分15分）某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了50名男生和50名女生，通过调查得到如下数据：50名女生中有10人课间经常进行体育活动，50名男生中有20人课间经常进行体育活动．
（1）请补全列联表，试根据小概率值的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是否有关联；
性别 体育活动 合计
课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动
男
女
合计
（2）以样本的频率作为概率的值，在全校的男生中任取4人，记其中课间经常进行体育活动的人数为X﹐求X的分布列、数学期望和方差．
附表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
附：，其中．
18．（本小题满分17分）已知椭圆的左、右焦点别为，，离心率为，过点的动直线l交E于A，B两点，点A在x轴上方，且l不与x轴垂直，的周长为，直线与E交于另一点C，直线与E交于另一点D，点P为椭圆E的下顶点，如图．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点．
19．（本小题满分17分）定义运算：，已知函数，．
（1）若函数的最大值为0，求实数a的值；
（2）若函数存在两个极值点，，证明：；
（3）证明：．
成都外国语学校2023-2024学年度下期期末考试
高二数学试卷 参考答案：
1．A
【分析】利用复数的运算性质求出共辄复数，再求模即可．
【详解】因为，所以，
所以，，故C正确．故选：A．
2．D
【分析】对函数求导，根据导函数的正负，确定函数的单调递增递减区间即得．
【详解】由求导得，，
则当时，，即函数在上单调递增；
当时，，即函数在上单调递减，
故函数的单调递增区间为．故选：D．
3．C
【分析】根据回归直线方程的性质，相关系数、决定系数及随机误差平方和的意义判断各项的正误即可．
【详解】对于①，回归直线一定经过样本点的中心，故①正确；
对于②，相关系数r的绝对值越接近于1，线性相关性越强，故②错误；
对于③，决定系数R越接近1拟合效果越好，故③正确；
对于④，随机误差平方和越小，拟合效果越好，故④正确．故选：C．
4．C
【分析】利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质判断即可．
【详解】，
，，
因为在上单调递增，所以，故．故选：C．
5．B
【详解】在空间直角坐标系中，，，，，
三角形ABC重心为G，所以，，，
所以在上的投影为：，
所以点P到直线AG的距离为：．故选：B．
6．B
【分析】结合坐标运算和焦半径公式，转化，再利用数形结合求最值．
【详解】已知抛物线上有一点，则，即．
又，故在抛物线的外部，
则，
因为抛物线的焦点为，准线方程为，则，
故．
由于，当A，P，F三点共线（P在A，F之间）时，
取到最小值，
则的最小值为．故选：B．
7．A
【分析】根据录用的人数，结合组合和排列的定义分类讨论进行求解即可．
【详解】若5人中有且仅有3人被录用，满足条件的录用情况有种，
若5人中有且仅有4人被录用，满足条件的录用情况有种，
若5人都被录用，满足条件的录用情况有种，
由分类加法计数原理可得符合要求的不同的录用情况种数是390．故选：A．
8．D
【分析】根据给定条件，求出，结合几何图形及双曲线定义可得的面积得解．
【详解】由双曲线的离心率为，得，解得，
令直线交的延长线交于Q，直线交于N，则，，
由PA平分，且，得，
则，，，
显然A，B分别为线段，的中点，而O是的中点，
于是，，，
即，，
所以的面积．故选：D．
【点睛】关键点点睛：本题求出面积的关键是作出点Q，借助几何图形的特征，结合双曲线定义求得．
9．ABC
【分析】根据条件，将问题转化成即在恒成立，令，利用其单调性，求出的最大值，即可求解．
【详解】因为“，”为假命题，所以，恒成立，
即在恒成立，所以且．
令，易知在上是增函数，
所以，所以．故选：ABC．
10．AC
【分析】对A，根据样本中心在回归直线上即可求解；对B，从表格数据看，y随x的增大而增大，即可判断；对C，因为y与x正相关，所以y与x的相关系数为正数，故可判断；对D，将月份编号代入到回归直线即可求解判断．
【详解】对A，，，
因为点在回归直线上，所以，解得，所以选项A正确；
对C，从表格数据看，y随x的增大而增大，所以y与x正相关，所以选项C正确；
对B，因为y与x正相关，所以y与x的相关系数为正数，所以选项B错误；
对D，2022年7月对应的月份编号，当时，，
所以2022年7月该手机商城的5G手机销量约为320部，所以选项D错误．故选：AC．
11．AD
【分析】首先利用函数的奇偶性得到函数的对称轴和对称中心，结合关系式的变换得到函数周期判断B，利用特殊值代入判断A，根据导函数判断函数单调性结合关系式和偶函数定义判断C，根据函数的关系式和单调性判断D．
【详解】因为为偶函数，
，
故函数图象关于直线对称，为奇函数，
，函数图象关于对称，
对于D，，，故2是函数的周期，函数为周期函数，故D正确；
对于A，，令，，故，
又，故A正确；
对于C，，当时，，即函数在上递增，函数图象关于对称，故函数在上递减，故函数在上递增，所以，故函数不是偶函数，故C错误；
对于B，，故B错误，故选：AD．
【点睛】抽象函数的判断一般会从函数奇偶性、周期性和对称性的定义推得相关的函数性质；
12．【详解】由，得，
因为“”是“”的充分不必要条件，
所以集合是集合的真子集，
所以（不同时取等号），解得，
所以实数m的取值范围为．故答案为：．
13．128
【详解】令，得．
14．2
【分析】根据调和数列，可得为等差数列，即可根据等差数列求和公式得，进而利用不等式即可求解．
【详解】数列为调和数列，故，所以为等差数列，
由，所以，
故，所以，故，故，
由于．
当且仅当时等号成立，故的最大值为2．故答案为：2．
15．【详解】（1）
．
因为，所以，
所以当，即时，有最小值．
（2）因为，所以，所以，，
因为，所以．
由正弦定理，，所以，．
又因为，所以，得，
由余弦定理有：，所以．所以．
16．【详解】（1）如图所示，连接EF．
因为E，F分别是棱PB，PC的中点，所以，．
因为，，所以，，
所以四边形ADFE是平行四边形，则．
因为平面ACE，平面ACE，所以平面ACE．
（2）因为平面PAB，PA、平面PAB，所以，，
又因为，所以AB，AP，AD两两垂直，
以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题中数据可得，，，，．
设平面ACE的法向量为，则
令，得．
因为，，，所以平面PAD．
平面PAD的一个法向量为．
设平面ACE与平面PAD的夹角为，
则．故，
即平面ACE与平面PAD的夹角的正弦值为．
17．【详解】（1）依题意，列出列联表如下：
课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动 合计
男 30 20 50
女 40 10 50
合计 70 30 100
零假设为：性别与课间经常进行体育活动相互独立，即性别与课间是否经常进行体育活动无关，
因为，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为性别与课间是否经常进行体育活动有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．
（2）由题意得，经常进行体育活动者的频率为，
所以在本校中随机抽取1人为经常进行体育活动者的概率为，
由题意得，则，，
可得，
，，
，，
X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
X的数学期望为，X的方差为．
18．【分析】（1）利用椭圆的第一定义和离心率，求解椭圆方程；
（2）设点，，，，的方程为，联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理求出点的坐标，同理得到点的坐标，进而得到直线的方程，根据对称性，如果直线CD过定点，则该定点在x轴上，即可得到定点坐标；
【详解】（1）由椭圆定义可知，，
所以的周长为，所以，
又因为椭圆离心率为，所以，所以，
又，所以椭圆的方程：．
（2）（ⅰ）设点，，，，
则直线的方程为，则，
由得，，
所以，
因为，所以，所以，故，
又，
同理，，，
由A，，B三点共线，得，所以，
直线CD的方程为，
由对称性可知，如果直线CD过定点，则该定点在x轴上，
令得，
，故直线CD过定点．
19．【分析】（1）求导后，分类讨论单调性，进而得到最值，求出a的值即可；
（2）条件等价于有两个不等的正根，结合判别式非负，以及韦达定理求出a的范围，要证，即证，令求导确定函数的单调性，证明结论．
（3）利用（1）结论可得则当时，，进而利用裂项相消求和证明结论．
【详解】（1）由题意知：，，
①当时，，在单调递减，不存在最大值．
②当时，由得，
当，；，，
函数的增区间为，减区间为．
，．
（2），，
“函数存在两个极值点，”等价于
“方程有两个不相等的正实数根”；
故，解得．
，
要证，即证，
，不妨令，故，
由得，
令，在恒成立，
所以函数在上单调递减，故．成立．
（3）由（1）知，，即，
当时，，
，
．
【点睛】知识点点睛：本题以新定义为载体，考查了利用导数研究函数单调性和最值，考查了不等式的放缩，裂项相消求和知识，属于难题．
