2024-2025学年福建省泉州市部分地区高二上学期开学考试
数学试卷
【满分：150】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
1.复数在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知向量,满足,,则( )
A.-1 B.2 C.15 D.19
3.为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动.已知该班男生30人，女生20人.按照分层抽样的方法从该班共抽取10人，进行一轮答题.相关统计情况如下：男生答对题目的平均数为10，方差为1；女生答对题目的平均数为15，方差为0.5，则这10人答对题目的方差为( )
A.6.8 B.6.9 C.7 D.7.2
4.已知m，n是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是( )
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，，则 D.若，，则
5.为了加深师生对党史的了解,激发广大师生知史爱党,知史爱国的热情,某校举办了“学党史,育文化的党史知识竞赛,并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分,成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图,则下列说法错误的为( )
A.a的值为0.005
B.估计这组数据的众数为75分
C.估计这组数据的第85百分位数为85分
D.估计成绩低于60分的有250人
6.在中,,,M,N为线段上（不包含端点）不同的两个动点.若,则( )
A.3 B.4 C.6 D.7
7.某人抛掷一枚质地均匀的骰子一次,记事件“出现的点数为奇数”,“出现的点数不大于3”,事件“出现点数为3的倍数”,则下列说法正确的是( )
A.A与B互为对立事件 B.
C. D.
8.在正三棱柱中,,,O为BC的中点,M,N分别为线段,AM上的动点,且,则线段MN的长度的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得补部分分，有选错的得0分.
9.已知圆,直线,
直线l与圆C交于A,B两点,则( )
A.直线l恒过定点
B.当时,最长
C.当时,弦AB最短
D.最短弦长
10.已知向量，，则下列结论正确的是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则向量a与向量b的夹角的余弦值为
D.若，则向量b在向量a上的投影向量为
11.在菱形ABCD中,,,将沿对角线BD折起,使点A至点P（P在平面ABCD外）的位置,则( )
A.在折叠过程中,总有
B.存在点P,使得
C.当时,三棱锥的外接球的表面积为
D.当三棱锥的体积最大时,
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与所成角的余弦值为______.
13.已知互不相等的4个正整数从小到大排序为x，y，z，6.若这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数为________.
14.在圆台中,圆的半径是2,母线,圆是的外接圆,,,则三棱锥体积最大值为___________．
四、解答题：本题共5分，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）如图,在中,,点E为中点,点F为上的三等分点,且靠近点C,设.
(1)用,表示,;
(2)如果,,且,求.
16.（15分）甲,乙两人进行围棋比赛,采取积分制,规则如下:每胜1局得1分,负1局或平局都不得分,积分先达到2分者获胜;若第四局结束,没有人积分达到2分,则积分多的一方获胜;若第四周结束,没有人积分达到2分,且积分相等,则比赛最终打平.假设在每局比赛中,甲胜的概率为,负的概率为,且每局比赛之间的胜负相互独立.
（1）求第三局结束时乙获胜的概率;
（2）求甲获胜的概率.
17.（15分）如图,在三棱台中,,,,侧棱平面,点D是棱的中点.
（1）证明：平面;
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
18.（17分）某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.
（1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数：
（2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率：
（3）现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差.
19.（17分）在① ,
②,
③这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并加以解答.
已知的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若___________.
（1）求角B;
（2）若,点D在外接圆上运动,求的最大值.
答案以及解析
1.答案：D
解析：因为,
所以,
所以,复数z在复平面内所对应的点为,
所以,复数z在复平面内所对应的点位于第四象限.
故选:D.
2.答案：D
解析：因为,,
所以.
故选：D.
3.答案：A
解析：男生30人，女生20人，则抽取的时候分层比为.则10个人中男女分别抽取了6人和4人.这10人答对题目的平均数为.
所以这10人答对题目的方差为.
故选：A.
4.答案：D
解析：对于A，当时，过n作平面，使，则，因为，，所以，所以，故A正确；对于B，由线面垂直的性质知B正确；对于C，因为，，所以，又，所以，故C正确；对于D，当，时，n可能在平面内，故D错误.故选D.
5.答案：C
解析：根据频率分布直方图可知:,即,故A正确;
由图易得在区间,的人最多,故可估计这组数据的众数为75,故B正确;
,故成绩低于60（分）的有250人,即D正确;
由图中前四组面积之和为:,
图中前五组面积之和为:,
故这组数据的第85百分位数在第五组数据中,
设这组数据的第85百分位数为m,
则有,
故,即估计这组数据的第85百分位数为86分,故C错误.
故选:C.
6.答案：C
解析：因为,,所以,,
设,,
则
,
又,且,不共线,
则,
所以.
7.答案：C
解析：抛掷一枚质地均匀的骰子,出现的点数构成的样本空间为,
则,
对于A,事件A,B可同时发生,故不是对立事件,A错误,
对于B,,,,故B错误,
对于C,,C正确,
对于D,,,D错误,
故选:C
8.答案：D
解析：取的中点Q,连接OQ,如图,以O为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,
则,,,.
因为M是棱上一动点,设,且,
所以,.
因为,所以.
令,,则,.又函数在上为增函数,所以线段MN的长度的取值范围为.
9.答案：AC
解析：直线方程可化为,当,,
故直线l恒过定点,A正确;
易知圆心,半径,
显然当直线l过圆心时,最长,则,
故B错误;
当时,此时弦AB最短,即,
故C正确;
当时,则弦长,故D错误.
故选:AC
10.答案：AC
解析：若，则，解得，故A正确；若，则，解得，故B错误；若，则.又，所以向量a与向量b的夹角的余弦值为，故C正确；若，则.又，所以向量b在向量a上的投影向量为，故D错误.故选AC.
11.答案：AC
解析：如图所示,取PC的中点E,连接BE,DE,则,,
因为,BD,平面BDE,所以平面BDE,又平面BDE,
所以,A项正确;
在菱形ABCD中,,,所以,当沿对角线BD折起时,,所以不存在点P,使得,B项错误;
当PC=1时,将正四面体补成正方体,根据正方体的性质可知,
三棱锥的外接球就是该正方体的外接球,因为正方体的各面的对角线长为1.
所以正方体的棱长为,设外接球的半径为R,则,
所以三棱锥的外接球的表面积,C项正确;
当三棱锥的体积最大时,取BD的中点O,连接PO,OC,易知平面BCD,则,
又,
所以,D项错误.
故选:AC.
12.答案：
解析：因为，，所以，所以直线与所成角的余弦值为.
13.答案：/
解析：易知这4个数据的极差为，中位数为，
即可得，所以；
又因为正整数x，y，z互不相等且，可得，，；
由为正数，因此这4个数据的第75百分位数为第三个数和第四个数的平均数，即，则这4个数据的第75百分位数为4.5.
故答案为：4.5
14.答案：
解析：如图,设圆,半径分别为,,则,
由正弦定理,,解得,
设圆台的高为h,则,
在中,取,,由余弦定理,,
即得,即得,当且仅当时取等号.
因三棱锥的体积为,
即时,三棱锥的体积的最大值为.
故答案为：
15.答案：(1),
(2)
解析：(1)因为,
所以,
;
(2)因为,所以,
所以,由,可得,
又,所以,
所以.
16.答案：（1）
（2）
解析：（1）设事件A为“第三局结束乙获胜”
由题意知,乙每局获胜的概率为,不获胜的概率为.
若第三局结束乙获胜,则乙第三局必定获胜,总共有2种情况:(胜,不胜,胜),(不胜,胜,胜).
故
（2）设事件B为“甲获胜”.
若第二局结束甲获胜,则甲两局连胜,此时的概率.
若第三局结束甲获胜,则甲第三局必定获胜,总共有2种情况:(胜,不胜,胜),(不胜,胜,胜).
此时的概率.
若第四局结束甲以积分获胜,则甲第四局必定获胜,前三局为1胜2平或1胜1平1负,总共有9种情
况:(胜,平,平,胜),(平,胜,平,胜),(平,平,胜,胜),(胜,平,负,胜),(胜,负,平,胜),(平,胜,负,胜),(负,胜,平,胜),(平,负,胜,胜),(负,平,胜,胜).
此时的概率
若第四局结束甲以积分获胜,则乙的积分为0分,总共有4种情况:(胜,平,平,平),(平,胜,平,平),(平,平,胜,平),(平,平,平,胜).
此时的概率
故
17.答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：以A为坐标原点,以,,所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
根据题意可得,,,,,,
,,
设平面的法向量为,
则,令,即,,则,
, , 平面.
（2）由（1）知,,设平面的法向量为,
则,令,即,,即,
由（1）知,,,设平面的法向量为,
则,令,即,.即,
设平面与平面的夹角为,则,
平面与平面的夹角的余弦值为.
18.答案：（1），85；
（2）；
（3）得分在内的平均数为81，方差为26.8.
解析：（1）由题意得：，解得，
设第60百分位数为x，则，
解得，第60百分位数为85.
（2）由题意知，抽出的5位同学中，得分在的有人，设为A、B，在的有人，设为a、b、c.
则样本空间为，.
设事件“两人分别来自和，则，，
因此，
所以两人得分分别来自和的概率为.
（3）由题意知，落在区间内的数据有个，
落在区间内的数据有个.
记在区间的数据分别为，，，，平均分为，方差为；
在区间的数据分别为为，，，，平均分为，方差为；
这20个数据的平均数为，方差为.
由题意，，，，，且，，则.
根据方差的定义，
由，
可得
故得分在内的平均数为81，方差为26.8.
19.答案：（1）
（2）
解析：（1）选①,由正弦定理得,
,,即,
,,,.
选②,,,
由正弦定理可得,,,
,.
选③,,
由已知结合正弦定理可得,
,,
,.
（2）,,,根据余弦定理,
,外接圆的直径,
过D作,垂足为G,而,
若取到最大值,则取最大值,
故可设为锐角,故此时,
当取最大值时,DG与圆相切且G在BC的延长线上（如图所示）,
设此时切点为H,垂足为F,取BC的中点E,外接圆圆心为O,连接OE,OH,
则且,故四边形OHFE为矩形,
故,故,
.
