北师大版数学八年级上册 1.2一定是直角三角形吗同步训练
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一、选择题
1．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
2．在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各组长度的线段，不能组成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13 B． C．2，3，4 D．6，8，10
4．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，这样做的道理是( )
A．直角三角形两个锐角互余
B．三角形内角和等于180°
C．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
D．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
5．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是 （ ）
A．∠A＝∠C－∠B B．a2＝b2－c2
C．a：b：c＝2：3：4 D．a＝ ，b＝ ，c＝1
6．如图，图中小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
7．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B+∠C B．a：b：c＝5：12：13
C．a2＝（b+c）（b-c） D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
8．下列各组数中能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，8
二、填空题
9．在中，若，则 ．
10．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接AB、BC，则∠ABC的度数为 ．
11．如图，在△ABC中，D是BC上一点，已知AB=15，AD=12，AC=13，CD=5，则BC的长为 .
12．下列条件：①∠C＝∠A－∠B；②∠A：∠B：∠C＝5∶2∶3；③a＝c，b＝c；④a∶b∶c＝1∶2：，则能确定△ABC是直角三角形的条件有 个．
13．如图，在△ABC中，已知∠A为钝角，边AB，AC的中垂线分别交BC于点D，E．若BD2+CE2=DE2，则∠A= ．
三、解答题
14．如图，在四边形中，，BD平分，，E为上一点，，，求证：．
15．如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入．
（1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？
（2）在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长．
四、作图题
16．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形(涂上阴影)．
（1）在图1中画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数．
（2）在图2、图3中分别画两个不全等的直角三角形，使它的三边长都是无理数．
17．如图是一个6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，Rt△ABC的顶点都是图中的格点，其中点A、点B的位置如图所示，你能找到几个这样的C点？把它们都画出来。
五、综合题
18．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识解决下列问题．
（1）求△ABC的面积；
（2）判断△ABC是什么形状，并说明理由．
19．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5，求：
（1）△ABC的周长；
（2）△ABC是否是直角三角形？为什么？
20．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，△ABC 的三个顶点都在格点上.
（1）直接写出边 AB、AC、BC 的长．
（2）判断△ABC 的形状，并说明理由．
1．【答案】B
【解析】【分析】根据勾股定理逆定理：a2+b2=c2，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．
【解答】A、∵4 2+5 2≠6 2，∴不能构成直角三角形，故A错误；
B、∵12+12= ，∴能构成直角三角形，故B正确；
C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；
D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，要求学生熟练掌握这个逆定理．
2．【答案】C
【解析】【解答】解：A、三边长分别为，由，故该三角形不是直角三角形；
B、三边长分别为，由，故该三角形不是直角三角形；
C、三边长分别为，由，故该三角形是直角三角形；
D、三边长分别为，由，故该三角形不是直角三角形；
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理的逆定理判断各选项。
3．【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵，∴是直角三角形，A不符合题意；
B、∵，∴ 是直角三角形，B不符合题意；
C、∵，∴ 不是直角三角形，C符合题意；
D、∵，∴ 是直角三角形，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理的逆定理，逐一判断即可.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：设相邻两个结点之间的距离为m，
则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，
∵(3m)2+(4m)2=(5m)2，
∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形.
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理即可求解.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：A、由条件可得∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，可求得∠C=90°，故△ABC为直角三角形；
B、由条件可得到a2+c2=b2，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；
C、不妨设a=2，b=3，c=4，此时a2+b2=13，而c2=16，即a2+b2≠c2，故△ABC不是直角三角形；
D、由条件有a2+c2= ，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的判定方法：①有一个角是直角的三角形是直角三角形，②较小两边的平方和等于最大边长的平方的三角形是直角三角形，从而即可一一判断得出答案.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵AC2=42+22=20，BC2=12+22=5，AB2=42+32=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形.
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理先计算出AC2、BC2、AB2，再利用勾股定理的逆定理判断即可.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：A、，，是直角三角形，故A不符合题意；
B、，是直角三角形，故B不符合题意；，变形可得，是直角三角形，故C不符合题意；
C、，，，，，不是直角三角形，故D符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，逐一分析判断．
8．【答案】C
【解析】【解答】解：A、当三边为1，2，3时，1+2=3，不符合三角形三边关系中任意两边之和大于第三边，故不符合题意；
B、当三边为2，3，4时，假设直角边是2，3，斜边为4，，而，显然不符合勾股定理，故不符合提意思；
C、当三边为3，4，5时，假设直角边是3，4，斜边为5，，而，两式相等成立，显然符合勾股定理，故符合提意思；
D、当三边为4，5，8时，假设直角边是3，4，5，斜边为8，，而，显然不符合勾股定理，故不符合提意思；
故答案为：C.
【分析】 直角三角形，是一个几何图形，是有一个角为直角的三角形，有普通的直角三角形和等腰直角三角形两种，直角三角形的三边符合勾股定理；
勾股定理：指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；
三角形三边关系是三角形三条边关系的定则，具体内容是在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
9．【答案】（填或都可以）
【解析】【解答】解：∵，
∴，故满足勾股定理，
∴为的斜边，
∴，
故答案为：．
【分析】根据，可得到，根据勾股定理的逆定理可得到为三角形的斜边，所以．
10．【答案】45°
【解析】【解答】解：连接AC，由题意可得：
，，
∵，即
∴△ABC为等腰直角三角形
∴
故答案为：45°
【分析】连接AC，根据正方形性质结合勾股定理可求出三角形三边长，再根据勾股定理点逆定理可判断△ABC为等腰直角三角形，即可求出答案.
11．【答案】14
【解析】【解答】解：∵
∴三角形ADC是直角三角形，∠ADC=
∴∠ADB=∠ADC=
∴BD==9
∴BC=BD+DC=9+5=14
故答案为：14.
【分析】根据勾股定理的逆应用，三角形三条边a、b、c满足s时，该三角形是直角三角形；根据勾股定理，可得BD的长，进而可以求出BC的值.
12．【答案】4
【解析】【解答】解：①∵∠C=∠A-∠B，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝90°，故△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝5：2：3，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝90°，故△ABC是直角三角形；
③∵a= c，b= c，∴a2+b2=c2，∴∠c=90°，故△ABC是直角三角形；
④∵a：b：c＝1：2：，∴a2＋c2＝b2，∴∠B=90°，故△ABC是直角三角形.
故答案为：4.
【分析】根据三角形的内角和定理，结合已知找出最大内角的度数，根据最大内角是90°，即可判断该三角形是直角三角形，据此判断①与②；根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边满足较小两边两边的平方和等于最大边长的平方，该三角形就是直角三角形，据此判断③④.
13．【答案】
【解析】【解答】解：连接AD和AE，如下图：
∵边AB，AC的中垂线分别交BC于点D，E
∴BD=AD，AE=EC，∠B=∠DAB，∠C=∠EAC
∵BD2+CE2=DE2
∴ AD2+AE2=DE2 ∴三角形ADE是直角三角形，∠DAE= 90°
∴∠B+∠DAB+∠C+∠EAC+90° = 180°
∴2（∠B+∠C）=90° ∴∠B+∠C=
∴∠A=180° -=
故答案为：.
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得BD=AD，AE=EC，∠B=∠DAB，∠C=∠EAC；根据勾股定理的逆定理，可得三角形ADE是直角三角形；根据三角形内角和定理，可得∠B+∠C的值，进而求出∠A的值.
14．【答案】证明：，，，
，
是直角三角形，，
又，平分，
【解析】【分析】根据给定的三角形的三边长分别为3、4、5，是非常熟悉的符合勾股定理的数，可判定垂直，，根据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，可推导出 AD=CD 。
15．【答案】（1）解：由题意得
，，，
如图，过作，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
解得：，
答：山地C距离公路的垂直距离为；
（2）解：公路有危险需要暂时封锁，理由如下：
如图，以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，，
则，
，
，
由（1）可知，，
，
有危险需要暂时封锁，
在中，
，
，
即需要封锁的公路长为．
【解析】【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用；
（1）过作，因为，利用勾股定理的逆定理可证明是直角三角形，再利用等面积法可列出式子，代入数据可求出答案；
（2）以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，，由等腰三角形的性质可得：，比较与的大小可判断是否有危险需要暂时封锁 ，再利用勾股定理得，可求出 需要封锁的公路长．
16．【答案】（1）解：答案不唯一，如图所示.
（2）
【解析】【解答】解：（1）3、4、5都是正数，且，所以在直角坐标系中直接画图即可；
（2）都是无理数，且，，在直角坐标系中直接画图即可.
【分析】（1）有理数包括正数和分数，所以直角三角形的三边分别是正数，且满足两个直角边的平方和等于斜边的平方即可；
（2）无理数是指无限不循环的小数，所以直角三角形的三边分别是最简根式根式，且满足两个直角边的平方和等于斜边的平方即可.
17．【答案】解：如图所示：
【解析】【分析】分别以A、B、C为直角顶点，分类三种情况：当点C为直角顶点，AB为斜边；点A为直角顶点，BC为斜边；点B为直角顶点，AC为斜边；根据勾股定理分别构造直角三角形，如图共有9种情况，画出图形即可．
18．【答案】（1）解：△ABC的面积=4×4﹣1×2÷2﹣4×3÷2﹣2×4÷2=16﹣1﹣6﹣4=5，
故△ABC的面积为5
（2）解：∵小方格边长为1，
∴AB2=12+22=5，AC2=22+42=20，BC2=32+42=25，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形
【解析】【分析】（1）观察图形，可知△ABC的面积=矩形的面积减去三个直角三角形的面积，计算可解答。
（2）利用勾股定理求出△ABC的三边的平方，再求出较小两边的平方和，然后看较小两边的平方和是否等于最大边的平方，即可解答。
19．【答案】（1）解：∵AD⊥BC，AD＝12，BD＝16
∴AB=
同理：AC=
∴△ABC的周长为AC+BC+AB=AC+BD+DC+AB=13+16+5+20=54；
（2）解：∵BC2=（BD+DC）2=212=441， AB2=202=400，AC2=132=169
∴BC2≠AB2+ AC2
∴△ABC不是直角三角形．
【解析】【分析】（1）在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，得出AB、AC的值，由此得出△ABC的周长；
（2）由BC2=（BD+DC）2=212=441， AB2=202=400，AC2=132=169，得出BC2≠AB2+ AC2，由此得出△ABC不是直角三角形．
20．【答案】（1）解：AB＝ ，AC＝ = ，BC＝ ；
（2）解：△ABC 是等腰直角三角形，理由如下：
∵AB2+AC2＝5+5＝10＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
又∵AB＝AC，
∴△ABC 是等腰直角三角形．
【解析】【分析】(1)利用勾股定理进行求解即可得到结论；(2)根据勾股定理的逆定理进行判断即可得到结论．
