广东省清远市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题
1．（2024高二下·清远期末）通过计算样本相关系数可以反映两个随机变量之间的线性相关程度，以下四个选项中分别计算出四个样本的相关系数，则反映样本数据成正相关，并且线性相关程度最强的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·清远期末）以下求导计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高二下·清远期末）某市高二数学统考，满分为150分.假设学生考试成绩，如果从高到低按照的比例将考试成绩分为四个等级，则等级分数线大概为（ ）（参考数据：若，则
A．134 B．120 C．116 D．110
4．（2024高二下·清远期末）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·清远期末）生活经验告诉我们，儿子身高与父亲身高是线性相关的.有人调查了5位学生的身高和其父亲的身高，得到的数据如表：
父亲身高 166 169 170 172 173
儿子身高 168 170 171 175 176
并利用相关知识得到儿子身高关于父亲身高的经验回归方程为.根据该经验回归方程，已知某父亲身高为，预测其儿子身高为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·清远期末）在数学试卷的单项选择题中，共有8道题，每道题有4个选项，其中有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，如果从四个选项中随机选一个，选对的概率是0.25.某同学8道单选题都不会做，只能在每道单选题的选项中随机选择一个作为答案，设他的总得分为，则的方差（ ）
A．1.5 B．7.5 C．20.5 D．37.5
7．（2024高二下·清远期末）甲、乙两选手进行象棋比赛，每局比赛相互独立，如果每局比赛甲获胜的概率均为，比赛没有和局的情况，比赛采用5局3胜制，则甲通过4局比赛获得胜利的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·清远期末）现要对三棱柱的6个顶点进行涂色，有4种颜色可供选择，要求同一条棱的两个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有（ ）
A．264种 B．216种 C．192种 D．144种
9．（2024高二下·清远期末）已知离散型随机变量的分布列如下表所示：
0 1 2
则下列选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高二下·清远期末）已知函数，则下列选项中正确的是（ ）
A．的值域为
B．在处取得极小值为2
C．在上是增函数
D．若方程有2个不同的根，则
11．（2024高二下·清远期末）现有数字下列说法正确的是（ ）
A．可以组成个没有重复数字的六位数
B．可以组成个没有重复数字的六位偶数
C．可以组成个六位数
D．可以组成个相邻两个数字不相同的八位数
12．（2024高二下·清远期末）函数的单调递减区间为 .
13．（2024高二下·清远期末）在的展开式中，含项的系数为 .
14．（2024高二下·清远期末）若函数有两个极值点，则实数的取值范围为 .
15．（2024高二下·清远期末）某医院用甲、乙两种疗法治疗某种疾病.采用简单随机抽样的方法从接受甲、乙两种疗法的患者中各抽取了100名，其中接受甲种疗法的患者中治愈的有65名；接受乙种疗法的患者中治愈的有85名.
（1）根据所给数据，完成以下两种疗法治疗数据的列联表（单位：人）
疗法 疗效 合计
未治愈 治愈
甲
乙
合计
并依据小概率值的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好；
（2）根据疗效按照分层抽样的方法，从这200名患者中抽取8名患者，再从这8名患者中随机抽取2名患者做进一步调查，记抽取到未治愈患者人数为，求的分布列及数学期望.
参考公式：，其中.
0.15 0.10 0.05 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 7.879 10.828
16．（2024高二下·清远期末）如图，在正四棱锥中.
（1）求证：；
（2）若，求平面CPD与平面PBD的夹角的余弦值.
17．（2024高二下·清远期末）在端午节吃“粽子”是我国的一个传统习俗，现在有一些形状、颜色和大小一致的“粽子”，其中甲同学有4个蛋黄馅的“粽子”和3个绿豆馅的“粽子”，乙同学有3个蛋黄馅的“粽子”和2个绿豆馅的“粽子”.
（1）若从甲同学的“粽子”中有放回依次随机抽取3次，每次任取1个“粽子”，记抽取到绿豆馅的“粽子”个数为，求的分布列及数学期望；
（2）若先从甲同学的“粽子”中任取2个送给乙同学，然后再从乙同学的“粽子”中任取1个，求取出的这个“粽子”是绿豆馅的概率.
18．（2024高二下·清远期末）设函数.
（1）当时，求在上的最大值；
（2）讨论的单调性；
（3）若，证明只有一个零点.
19．（2024高二下·清远期末）若各项为正的无穷数列满足：对于，其中为非零常数，则称数列为指形数列；若数列满足：，且时，有，则称数列为凹形数列.
（1）若，判断数列是不是指形数列 若是，证明你的结论，若不是，说明理由；
（2）若，证明指形数列也是凹形数列；
（3）若指形数列是递减数列，令，求使得成立的最小正整数.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】线性相关；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：因为为正相关，而且
所以时，线性相关程度最强，且为正相关，
故选：A
【分析】利用相关系数的绝对值越大，线性相关程度越强，及为正相关进行分析判断.
2．【答案】C
【知识点】简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为，故选项A错误；
因为，故选项B错误；
因为，故选项C正确；
因为，故选项D错误；
故选：C
【分析】根据基本初等函数的求导公式以及复合函数的求导法则代入计算，即可得到结果.
3．【答案】D
【知识点】概率的应用
【解析】【解答】解：因为学生考试成绩 ，所以期望，方差，
因为，
所以等级分数线大概为分.
故选：D
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性计算得解.
4．【答案】B
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：因为，所以，则，
故所求切线方程为，即.
故选：B
【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义（在一点的导数值为函数在这一点的切线斜率）求出切线方程即可.
5．【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：根据图表可计算：，
，
因为 儿子身高关于父亲身高的经验回归方程为，
所以，解得，所以，当时，，
故选：C.
【分析】根据图表，先求出，进而得到，即可求出结果.
6．【答案】D
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：设答对题目个数为Y，因为某同学要么答对题目，要么答错，
总共8道题， 选对的概率是0.25 ，故，
则，
又.
故选：D
【分析】根据题意判断出某同学答对题目个数服从，的二项分布，由二项分布的的方差公式结合方差的性质即可求解.
7．【答案】B
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：因为比赛采用5局3胜制，则甲通过4局比赛获得胜利时前3局胜2局第4局胜共有种情况，
而且比赛没有和局的情况 ， 每局比赛相互独立 ，根据独立事件概率乘积公式
可得甲通过4局比赛获得胜利的概率是
故选：B.
【分析】应用独立事件概率乘积公式（若与相互独立）结合比赛的规则求解即可
8．【答案】A
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：求不同涂色方案问题，有用4种颜色和用3种颜色两种方案，
用4种颜色，先涂点有种方案，再在中选一点涂第4色，另两点有3种涂色方案，
因此不同涂色方法数为种方案；
用3种颜色，先涂点有种方法，再涂有2种方案，
因此不同涂色方法数为种方案，
所以不同的涂色方案有种方案.
故选：A
【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理及分步乘法计数原理，结合排列、组合计数问题列式计算即得.
9．【答案】B,C,D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；概率分布列
【解析】【解答】解：对于选项A和选项B，由题知，解得，故A错误，B正确，
对于C，，所以C正确，
对于D，因为，所以D正确，
故选：BCD.
【分析】利用分布列的性质，即可判断出选项A和B的正误；再利用期望(各个随机变量的取值乘以对应的概率再相加)和方差的计算公式，即可判断出选项C和D的正误.
10．【答案】A,B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：对于C，因为函数，所以，
令，即，解得或（舍），
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，故选项C错误；
则时，函数有极小值，极小值即为最小值，即，故选项B正确；
且，，所以函数值域为，故选项A正确；
对于D，由函数的单调性以及值域可得函数的大致图像，如图所示，
结合图像可知，若方程有2个不同的根，则，故选项D错误；
故选：AB
【分析】根据题意，对函数求导可得，即可得到函数的单调性以及值域，即可判断ABC，再结合函数图象即可判断D
11．【答案】A,C,D
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：对于选项A，由题意，可选取的数字为：0，1，2，3，4，5， 且首位不能为0，
第一步，先排首位有种不同排法，
第二步，再排其他5位数，有种排法，
故由分步乘法计数原理可知，
所以可以组成个没有重复数字的六位数，故选项A正确；
对于选项B，由题意，末位只能为：0，2，4，
因为当末位为0时，有种排法；
当末位为2时，有种排法；
当末位为4时，有种排法，
所以由分类加法计数原理可知，
故可以组成312个没有重复数字的六位偶数，故选项B错误；
对于选项C，由题意，六位数中可能有1个1，2个1，3个1三种情况.
因为当六位数中有1个1时，由A选项知有600种排法；
当六位数中有2个1时，分为有0与无0两种情况，
有0时，有种排法，
无0时，有种排法；
当六位数中有3个1时，分为有0与无0两种情况，
有0时，有种排法，
无0时，有种排法，
所以由分类加法计数原理可知，
故可以组成个六位数，故选项C错误；
对于选项D，因为相邻两个数字不相同，即3个1不能相邻，故用插空法：
第一步，先排，除1外的5个数字，有，每种排法留出6个空位，
第二步，再将3个1插入6个空位，有种排法，
所以由分步乘法计数原理可知，共有2400种排法，
又因为0不能在首位，而0在首位时，有种排法，
所以可以组成个相邻两个数字不相同的八位数，故选项D正确.
故选：ACD.
【分析】对于选项A，根据分步乘法计数原理即可求解；对于选项B，根据分类加法计数原理即可求解；对于选项C，分析出六位数中可能有1个1，2个1，3个1三种情况，再根据分类加法计数原理即可求解；对于选项D，利用插空法和分步乘法计数原理，并减去0在首位的情况即可求解.
12．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为R，求导得，
由，得，解得，
所以函数的单调递减区间为.
故填：
【分析】求出函数的导数，再列出不等式，利用不等式的性质（不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变）求解.
13．【答案】10
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为展开式的通项公式为，
令，得到，所以含项的系数为，
故填：.
【分析】根据二项展开式的通项，可得展开式的通项公式为，将代入展开式的通项公式，即可得出答案.
14．【答案】
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：的定义域为，
，
令，得.
令，则.
令，则，即，即.
当时，单调递增；当时，单调递减.
，
又当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0，
作出的草图如图，
由图可知，当时，方程有两个正根，从而函数有两个极值点.
【分析】根据对数函数的定义判断函数的定义域，对函数求导，将导数方程参变分离，转化为与由两个交点的问题，利用导数正负与函数单调性的关系讨论的单调性，观察变化趋势，作出草图，由图象即可得解.
15．【答案】（1）解：因为 从接受甲、乙两种疗法的患者中各抽取了100名，其中接受甲种疗法的患者中治愈的有65名；接受乙种疗法的患者中治愈的有85名，故列联表如下
疗法 疗效 合计
未治愈 治愈
甲 35 65 100
乙 15 85 100
合计 50 150 200
假设：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异，
根据列联表中的数据可得，
根据小概率值的独立性检验，乙种疗法的效果比甲种疗法好.
（2）解：由分层抽样可得，从200名患者中抽取8名患者，
其中抽取到未治愈的人数为人，
抽取到治愈的人数为人，
且抽取到未治愈患者人数为，则，
则，，，
则分布列为
0 1 2
则期望.
【知识点】分层抽样方法；实际推断原理和假设检验
【解析】【分析】（1）根据题意，根据已知条件可完善列联表，再由的计算公式代入计算，再与临界值进行比较即可得到结果；
（2）根据题意，由分层抽样的公式可得抽取到未治愈的人数为2人，治愈的人数为6人，再由超几何分布的概率公式代入计算，即可得到分布列，从而得到期望.
（1）
疗法 疗效 合计
未治愈 治愈
甲 35 65 100
乙 15 85 100
合计 50 150 200
假设：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异，
根据列联表中的数据可得，
根据小概率值的独立性检验，乙种疗法的效果比甲种疗法好.
（2）由分层抽样可得，从200名患者中抽取8名患者，
其中抽取到未治愈的人数为人，
抽取到治愈的人数为人，
且抽取到未治愈患者人数为，则，
则，，，
则分布列为
0 1 2
则期望.
16．【答案】（1）证明：在正四棱锥中，连接，连接，
则平面，而平面，则，
由正方形，得，又平面，
因此平面，而平面，
所以.
（2）解：由（1）知，直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，而，
则，，
设平面的法向量为，则，令，得，
显然平面的法向量，设平面CPD与平面PBD的夹角为，
则，
所以平面CPD与平面PBD的夹角的余弦值为.
【知识点】空间直角坐标系；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【分析】（1）连接，连接，利用线面垂直的性质（如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的所有直线）、判定推理（如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面）即得.
（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面CPD与平面PBD的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得.
（1）在正四棱锥中，连接，连接，
则平面，而平面，则，
由正方形，得，又平面，
因此平面，而平面，
所以.
（2）由（1）知，直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，而，
则，，
设平面的法向量为，则，令，得，
显然平面的法向量，设平面CPD与平面PBD的夹角为，
则，
所以平面CPD与平面PBD的夹角的余弦值为.
17．【答案】（1）解：依题意，抽取到绿豆馅的“粽子”的概率，
因为表示抽取到绿豆馅的“粽子”个数， 总共有放回依次随机抽取3次 ，一次一个，而甲同学有3个绿豆馅的“粽子”，
所以的可能取值是，，
，，
，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
数学期望.
（2）解：记甲同学取出的 “粽子”是2个蛋黄馅的“粽子”、 蛋黄馅的和绿豆馅的“粽子”各1个，2个绿豆馅的“粽子”的事件分别为，乙同学取出1个绿豆馅的“粽子”的事件为，
，
，
因此，
所以取出的这个“粽子”是绿豆馅的概率.
【知识点】二项分布；全概率公式
【解析】【分析】（1）求出取出1个“粽子”是绿豆馅的概率，再求出的可能值，利用二项分布概率求出分布列及期望.
（2）根据给定条件，利用全概率公式计算得解.
（1）依题意，抽取到绿豆馅的“粽子”的概率，
的可能取值是，，
，，
，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
数学期望.
（2）记甲同学取出的 “粽子”是2个蛋黄馅的“粽子”、 蛋黄馅的和绿豆馅的“粽子”各1个，
2个绿豆馅的“粽子”的事件分别为，乙同学取出1个绿豆馅的“粽子”的事件为，
，
，
因此，
所以取出的这个“粽子”是绿豆馅的概率.
18．【答案】（1）解：当时， ，
当所以在上单调递增 ，
当所以在上单调递减 ，
所以在上的最大值为.
（2）解：，定义域为，
当时，所以 在上单调递增 .
时，时，有，
所以 在上单调递减，在上单调递增 ；
当时，在上单调递增 ，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增 .
（3）证明：当时，
当时， ，
所以有且仅有一个零点；
时，单调递增，，所以有且仅有一个零点；
时，，
所以有且仅有一个零点；
综上，时只有一个零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）先代入a的值，再求导函数，利用导数正负与函数单调性的关系（如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减）得出单调性求出最大值；
（2）先求导函数，再根据判别式分类讨论得出单调性即可；
（3）先判断函数值正负，再应用零点存在定理判断零点个数.
（1）当时， ，
当所以在上单调递增 ，
当所以在上单调递减 ，
所以在上的最大值为.
（2），定义域为，
当时，所以 在上单调递增 .
时，时，有，
所以 在上单调递减，在上单调递增 ；
当时，在上单调递增 ，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增 .
（3）当时，
当时， ，
所以有且仅有一个零点；
时，单调递增，，所以有且仅有一个零点；
时，，
所以有且仅有一个零点；
综上，时只有一个零点.
19．【答案】（1）解：数列是指形数列，理由如下：
因为当时，，
所以，
故判断数列是指形数列.
（2）证明：如果是指形数列，且，那么，
此时数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
所以
当，且时，
所以
因为，所以等号不成立，所以，即若，
则指形数列也是凹形数列.
（3）解：若是指形数列，且，则，
此时数列是以为首项，为公差的等差数列，
，.
该指形数列是递减数列，
，即，得，
.
.
，，
，.
令等于不大于的最大正整数，
当时，；
当时，，以上.
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据对数运算得，即证明其为指形数列；
（2）根据指形数列的概念求得，再计算，结合基本不等式即可证明其为凹形数列；
（3）根据指形数列的定义得，再利用其为递减数列得，从而求得，再利用等比数列求和公式得，最后引入高斯函数，分类讨论即可.
（1）数列是指形数列.
当时，，
，
即数列是指形数列.
（2）若是指形数列，且，则，
此时数列是以为首项，为公差的等差数列，
，
当，且时，
等号不成立，，即若，
则指形数列也是凹形数列.
（3）若是指形数列，且，则，
此时数列是以为首项，为公差的等差数列，
，.
该指形数列是递减数列，
，即，得，
.
.
，，
，.
令等于不大于的最大正整数，
当时，；
当时，，以上.
广东省清远市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题
1．（2024高二下·清远期末）通过计算样本相关系数可以反映两个随机变量之间的线性相关程度，以下四个选项中分别计算出四个样本的相关系数，则反映样本数据成正相关，并且线性相关程度最强的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线性相关；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：因为为正相关，而且
所以时，线性相关程度最强，且为正相关，
故选：A
【分析】利用相关系数的绝对值越大，线性相关程度越强，及为正相关进行分析判断.
2．（2024高二下·清远期末）以下求导计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为，故选项A错误；
因为，故选项B错误；
因为，故选项C正确；
因为，故选项D错误；
故选：C
【分析】根据基本初等函数的求导公式以及复合函数的求导法则代入计算，即可得到结果.
3．（2024高二下·清远期末）某市高二数学统考，满分为150分.假设学生考试成绩，如果从高到低按照的比例将考试成绩分为四个等级，则等级分数线大概为（ ）（参考数据：若，则
A．134 B．120 C．116 D．110
【答案】D
【知识点】概率的应用
【解析】【解答】解：因为学生考试成绩 ，所以期望，方差，
因为，
所以等级分数线大概为分.
故选：D
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性计算得解.
4．（2024高二下·清远期末）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：因为，所以，则，
故所求切线方程为，即.
故选：B
【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义（在一点的导数值为函数在这一点的切线斜率）求出切线方程即可.
5．（2024高二下·清远期末）生活经验告诉我们，儿子身高与父亲身高是线性相关的.有人调查了5位学生的身高和其父亲的身高，得到的数据如表：
父亲身高 166 169 170 172 173
儿子身高 168 170 171 175 176
并利用相关知识得到儿子身高关于父亲身高的经验回归方程为.根据该经验回归方程，已知某父亲身高为，预测其儿子身高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：根据图表可计算：，
，
因为 儿子身高关于父亲身高的经验回归方程为，
所以，解得，所以，当时，，
故选：C.
【分析】根据图表，先求出，进而得到，即可求出结果.
6．（2024高二下·清远期末）在数学试卷的单项选择题中，共有8道题，每道题有4个选项，其中有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，如果从四个选项中随机选一个，选对的概率是0.25.某同学8道单选题都不会做，只能在每道单选题的选项中随机选择一个作为答案，设他的总得分为，则的方差（ ）
A．1.5 B．7.5 C．20.5 D．37.5
【答案】D
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：设答对题目个数为Y，因为某同学要么答对题目，要么答错，
总共8道题， 选对的概率是0.25 ，故，
则，
又.
故选：D
【分析】根据题意判断出某同学答对题目个数服从，的二项分布，由二项分布的的方差公式结合方差的性质即可求解.
7．（2024高二下·清远期末）甲、乙两选手进行象棋比赛，每局比赛相互独立，如果每局比赛甲获胜的概率均为，比赛没有和局的情况，比赛采用5局3胜制，则甲通过4局比赛获得胜利的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：因为比赛采用5局3胜制，则甲通过4局比赛获得胜利时前3局胜2局第4局胜共有种情况，
而且比赛没有和局的情况 ， 每局比赛相互独立 ，根据独立事件概率乘积公式
可得甲通过4局比赛获得胜利的概率是
故选：B.
【分析】应用独立事件概率乘积公式（若与相互独立）结合比赛的规则求解即可
8．（2024高二下·清远期末）现要对三棱柱的6个顶点进行涂色，有4种颜色可供选择，要求同一条棱的两个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有（ ）
A．264种 B．216种 C．192种 D．144种
【答案】A
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：求不同涂色方案问题，有用4种颜色和用3种颜色两种方案，
用4种颜色，先涂点有种方案，再在中选一点涂第4色，另两点有3种涂色方案，
因此不同涂色方法数为种方案；
用3种颜色，先涂点有种方法，再涂有2种方案，
因此不同涂色方法数为种方案，
所以不同的涂色方案有种方案.
故选：A
【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理及分步乘法计数原理，结合排列、组合计数问题列式计算即得.
9．（2024高二下·清远期末）已知离散型随机变量的分布列如下表所示：
0 1 2
则下列选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；概率分布列
【解析】【解答】解：对于选项A和选项B，由题知，解得，故A错误，B正确，
对于C，，所以C正确，
对于D，因为，所以D正确，
故选：BCD.
【分析】利用分布列的性质，即可判断出选项A和B的正误；再利用期望(各个随机变量的取值乘以对应的概率再相加)和方差的计算公式，即可判断出选项C和D的正误.
10．（2024高二下·清远期末）已知函数，则下列选项中正确的是（ ）
A．的值域为
B．在处取得极小值为2
C．在上是增函数
D．若方程有2个不同的根，则
【答案】A,B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：对于C，因为函数，所以，
令，即，解得或（舍），
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，故选项C错误；
则时，函数有极小值，极小值即为最小值，即，故选项B正确；
且，，所以函数值域为，故选项A正确；
对于D，由函数的单调性以及值域可得函数的大致图像，如图所示，
结合图像可知，若方程有2个不同的根，则，故选项D错误；
故选：AB
【分析】根据题意，对函数求导可得，即可得到函数的单调性以及值域，即可判断ABC，再结合函数图象即可判断D
11．（2024高二下·清远期末）现有数字下列说法正确的是（ ）
A．可以组成个没有重复数字的六位数
B．可以组成个没有重复数字的六位偶数
C．可以组成个六位数
D．可以组成个相邻两个数字不相同的八位数
【答案】A,C,D
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：对于选项A，由题意，可选取的数字为：0，1，2，3，4，5， 且首位不能为0，
第一步，先排首位有种不同排法，
第二步，再排其他5位数，有种排法，
故由分步乘法计数原理可知，
所以可以组成个没有重复数字的六位数，故选项A正确；
对于选项B，由题意，末位只能为：0，2，4，
因为当末位为0时，有种排法；
当末位为2时，有种排法；
当末位为4时，有种排法，
所以由分类加法计数原理可知，
故可以组成312个没有重复数字的六位偶数，故选项B错误；
对于选项C，由题意，六位数中可能有1个1，2个1，3个1三种情况.
因为当六位数中有1个1时，由A选项知有600种排法；
当六位数中有2个1时，分为有0与无0两种情况，
有0时，有种排法，
无0时，有种排法；
当六位数中有3个1时，分为有0与无0两种情况，
有0时，有种排法，
无0时，有种排法，
所以由分类加法计数原理可知，
故可以组成个六位数，故选项C错误；
对于选项D，因为相邻两个数字不相同，即3个1不能相邻，故用插空法：
第一步，先排，除1外的5个数字，有，每种排法留出6个空位，
第二步，再将3个1插入6个空位，有种排法，
所以由分步乘法计数原理可知，共有2400种排法，
又因为0不能在首位，而0在首位时，有种排法，
所以可以组成个相邻两个数字不相同的八位数，故选项D正确.
故选：ACD.
【分析】对于选项A，根据分步乘法计数原理即可求解；对于选项B，根据分类加法计数原理即可求解；对于选项C，分析出六位数中可能有1个1，2个1，3个1三种情况，再根据分类加法计数原理即可求解；对于选项D，利用插空法和分步乘法计数原理，并减去0在首位的情况即可求解.
12．（2024高二下·清远期末）函数的单调递减区间为 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为R，求导得，
由，得，解得，
所以函数的单调递减区间为.
故填：
【分析】求出函数的导数，再列出不等式，利用不等式的性质（不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变）求解.
13．（2024高二下·清远期末）在的展开式中，含项的系数为 .
【答案】10
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为展开式的通项公式为，
令，得到，所以含项的系数为，
故填：.
【分析】根据二项展开式的通项，可得展开式的通项公式为，将代入展开式的通项公式，即可得出答案.
14．（2024高二下·清远期末）若函数有两个极值点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：的定义域为，
，
令，得.
令，则.
令，则，即，即.
当时，单调递增；当时，单调递减.
，
又当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0，
作出的草图如图，
由图可知，当时，方程有两个正根，从而函数有两个极值点.
【分析】根据对数函数的定义判断函数的定义域，对函数求导，将导数方程参变分离，转化为与由两个交点的问题，利用导数正负与函数单调性的关系讨论的单调性，观察变化趋势，作出草图，由图象即可得解.
15．（2024高二下·清远期末）某医院用甲、乙两种疗法治疗某种疾病.采用简单随机抽样的方法从接受甲、乙两种疗法的患者中各抽取了100名，其中接受甲种疗法的患者中治愈的有65名；接受乙种疗法的患者中治愈的有85名.
（1）根据所给数据，完成以下两种疗法治疗数据的列联表（单位：人）
疗法 疗效 合计
未治愈 治愈
甲
乙
合计
并依据小概率值的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好；
（2）根据疗效按照分层抽样的方法，从这200名患者中抽取8名患者，再从这8名患者中随机抽取2名患者做进一步调查，记抽取到未治愈患者人数为，求的分布列及数学期望.
参考公式：，其中.
0.15 0.10 0.05 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 7.879 10.828
【答案】（1）解：因为 从接受甲、乙两种疗法的患者中各抽取了100名，其中接受甲种疗法的患者中治愈的有65名；接受乙种疗法的患者中治愈的有85名，故列联表如下
疗法 疗效 合计
未治愈 治愈
甲 35 65 100
乙 15 85 100
合计 50 150 200
假设：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异，
根据列联表中的数据可得，
根据小概率值的独立性检验，乙种疗法的效果比甲种疗法好.
（2）解：由分层抽样可得，从200名患者中抽取8名患者，
其中抽取到未治愈的人数为人，
抽取到治愈的人数为人，
且抽取到未治愈患者人数为，则，
则，，，
则分布列为
0 1 2
则期望.
【知识点】分层抽样方法；实际推断原理和假设检验
【解析】【分析】（1）根据题意，根据已知条件可完善列联表，再由的计算公式代入计算，再与临界值进行比较即可得到结果；
（2）根据题意，由分层抽样的公式可得抽取到未治愈的人数为2人，治愈的人数为6人，再由超几何分布的概率公式代入计算，即可得到分布列，从而得到期望.
（1）
疗法 疗效 合计
未治愈 治愈
甲 35 65 100
乙 15 85 100
合计 50 150 200
假设：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异，
根据列联表中的数据可得，
根据小概率值的独立性检验，乙种疗法的效果比甲种疗法好.
（2）由分层抽样可得，从200名患者中抽取8名患者，
其中抽取到未治愈的人数为人，
抽取到治愈的人数为人，
且抽取到未治愈患者人数为，则，
则，，，
则分布列为
0 1 2
则期望.
16．（2024高二下·清远期末）如图，在正四棱锥中.
（1）求证：；
（2）若，求平面CPD与平面PBD的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：在正四棱锥中，连接，连接，
则平面，而平面，则，
由正方形，得，又平面，
因此平面，而平面，
所以.
（2）解：由（1）知，直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，而，
则，，
设平面的法向量为，则，令，得，
显然平面的法向量，设平面CPD与平面PBD的夹角为，
则，
所以平面CPD与平面PBD的夹角的余弦值为.
【知识点】空间直角坐标系；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【分析】（1）连接，连接，利用线面垂直的性质（如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的所有直线）、判定推理（如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面）即得.
（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面CPD与平面PBD的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得.
（1）在正四棱锥中，连接，连接，
则平面，而平面，则，
由正方形，得，又平面，
因此平面，而平面，
所以.
（2）由（1）知，直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，而，
则，，
设平面的法向量为，则，令，得，
显然平面的法向量，设平面CPD与平面PBD的夹角为，
则，
所以平面CPD与平面PBD的夹角的余弦值为.
17．（2024高二下·清远期末）在端午节吃“粽子”是我国的一个传统习俗，现在有一些形状、颜色和大小一致的“粽子”，其中甲同学有4个蛋黄馅的“粽子”和3个绿豆馅的“粽子”，乙同学有3个蛋黄馅的“粽子”和2个绿豆馅的“粽子”.
（1）若从甲同学的“粽子”中有放回依次随机抽取3次，每次任取1个“粽子”，记抽取到绿豆馅的“粽子”个数为，求的分布列及数学期望；
（2）若先从甲同学的“粽子”中任取2个送给乙同学，然后再从乙同学的“粽子”中任取1个，求取出的这个“粽子”是绿豆馅的概率.
【答案】（1）解：依题意，抽取到绿豆馅的“粽子”的概率，
因为表示抽取到绿豆馅的“粽子”个数， 总共有放回依次随机抽取3次 ，一次一个，而甲同学有3个绿豆馅的“粽子”，
所以的可能取值是，，
，，
，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
数学期望.
（2）解：记甲同学取出的 “粽子”是2个蛋黄馅的“粽子”、 蛋黄馅的和绿豆馅的“粽子”各1个，2个绿豆馅的“粽子”的事件分别为，乙同学取出1个绿豆馅的“粽子”的事件为，
，
，
因此，
所以取出的这个“粽子”是绿豆馅的概率.
【知识点】二项分布；全概率公式
【解析】【分析】（1）求出取出1个“粽子”是绿豆馅的概率，再求出的可能值，利用二项分布概率求出分布列及期望.
（2）根据给定条件，利用全概率公式计算得解.
（1）依题意，抽取到绿豆馅的“粽子”的概率，
的可能取值是，，
，，
，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
数学期望.
（2）记甲同学取出的 “粽子”是2个蛋黄馅的“粽子”、 蛋黄馅的和绿豆馅的“粽子”各1个，
2个绿豆馅的“粽子”的事件分别为，乙同学取出1个绿豆馅的“粽子”的事件为，
，
，
因此，
所以取出的这个“粽子”是绿豆馅的概率.
18．（2024高二下·清远期末）设函数.
（1）当时，求在上的最大值；
（2）讨论的单调性；
（3）若，证明只有一个零点.
【答案】（1）解：当时， ，
当所以在上单调递增 ，
当所以在上单调递减 ，
所以在上的最大值为.
（2）解：，定义域为，
当时，所以 在上单调递增 .
时，时，有，
所以 在上单调递减，在上单调递增 ；
当时，在上单调递增 ，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增 .
（3）证明：当时，
当时， ，
所以有且仅有一个零点；
时，单调递增，，所以有且仅有一个零点；
时，，
所以有且仅有一个零点；
综上，时只有一个零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）先代入a的值，再求导函数，利用导数正负与函数单调性的关系（如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减）得出单调性求出最大值；
（2）先求导函数，再根据判别式分类讨论得出单调性即可；
（3）先判断函数值正负，再应用零点存在定理判断零点个数.
（1）当时， ，
当所以在上单调递增 ，
当所以在上单调递减 ，
所以在上的最大值为.
（2），定义域为，
当时，所以 在上单调递增 .
时，时，有，
所以 在上单调递减，在上单调递增 ；
当时，在上单调递增 ，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增 .
（3）当时，
当时， ，
所以有且仅有一个零点；
时，单调递增，，所以有且仅有一个零点；
时，，
所以有且仅有一个零点；
综上，时只有一个零点.
19．（2024高二下·清远期末）若各项为正的无穷数列满足：对于，其中为非零常数，则称数列为指形数列；若数列满足：，且时，有，则称数列为凹形数列.
（1）若，判断数列是不是指形数列 若是，证明你的结论，若不是，说明理由；
（2）若，证明指形数列也是凹形数列；
（3）若指形数列是递减数列，令，求使得成立的最小正整数.
【答案】（1）解：数列是指形数列，理由如下：
因为当时，，
所以，
故判断数列是指形数列.
（2）证明：如果是指形数列，且，那么，
此时数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
所以
当，且时，
所以
因为，所以等号不成立，所以，即若，
则指形数列也是凹形数列.
（3）解：若是指形数列，且，则，
此时数列是以为首项，为公差的等差数列，
，.
该指形数列是递减数列，
，即，得，
.
.
，，
，.
令等于不大于的最大正整数，
当时，；
当时，，以上.
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据对数运算得，即证明其为指形数列；
（2）根据指形数列的概念求得，再计算，结合基本不等式即可证明其为凹形数列；
（3）根据指形数列的定义得，再利用其为递减数列得，从而求得，再利用等比数列求和公式得，最后引入高斯函数，分类讨论即可.
（1）数列是指形数列.
当时，，
，
即数列是指形数列.
（2）若是指形数列，且，则，
此时数列是以为首项，为公差的等差数列，
，
当，且时，
等号不成立，，即若，
则指形数列也是凹形数列.
（3）若是指形数列，且，则，
此时数列是以为首项，为公差的等差数列，
，.
该指形数列是递减数列，
，即，得，
.
.
，，
，.
令等于不大于的最大正整数，
当时，；
当时，，以上.
