专题十四 全等三角形压轴训练（期末）
1．【问题提出】如图1，在中，，是延长线上的点．连，以为边作（、在同侧），使、，连．若，判断与的位置关系，并说明理由．
(1)【问题探究】先将问题特殊化．如图2，当在线段上，时，直接写出的度数__________；
(2)再探究具体情形、如图1，判断与的位置关系，并说明理由．
(3)如图3，在中，．点为外一点，于，，，．则的长为____________．
2．在中，，．
(1)直线经过点，于，于．
①如图1，求证：；
②如图2，猜想、、之间的数量关系，并给出证明．
(2)如图3，点在上，点在上，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，求证：．
3．如图，在等边中，点D、E分别为、边上的点，．连接、相交于点F．
(1)求证：；
(2)过A作于点H，当，时，求线段的长度．
4．已知D是等边三角形中AB边上一点，将CB沿直线CD翻折得到CE，连接并延长交直线于点F．
(1)如图1，若，直接写出∠CFE的度数；
(2)如图1，若，求AE的长；
(3)如图2，连接BF，当点D在运动过程中，请探究线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明．
5．问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质．在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在中，，则．
探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．
(1)如图1，作边上的中线，得到结论；
①为______三角形；②与之间的数量关系为_______．
(2)如图2，是的中线，点D是边上任意一点，连接，作等边，且点P在的内部，连接．试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．
(3)当点D为边延长线上任意一点时，按照（2）中的其它条件，在图3上画出图形，并判断线段与之间存在怎样的数量关系？直接写出答案即可．
6．如图（1），，，，垂足为A、，，点在线段上以每秒的速度由点A向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．连接，，设它们运动的时间为．
(1)___________，__________；（用含的代数式表示）
(2)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，判断线段和线段的数量关系和位置关系，并请说明理由；
(3)如图（2），将图（1）中的“，”，改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，当为何值时，与全等，请求出的值．
7．在等边中，点，分别在边，上．
（1）如图，若，以为边作等边，交于点，连接．
求证：①；
②平分．
（2）如图，若，作，交的延长线于点，求证：．
8．已知是的外角平分线，连接.
(1)如图1:①若平分，且，求的度数；
②若与A不重合，请判断与的大小关系，并证明你的结论；
(2)如图2,若过点作，交的延长线于点，且，则
9．问题提出：如图1，在锐角等腰中，， ，K是动点，满足，将线段绕点A逆时针旋转至，连接并延长，交于点M，探究点M的位置．
特例探究：（1）如图2，当点K在上时，连接，求证：；
（2）如图3，当点K在上时，求证：M是的中点．
问题解决：再探究一般化情形，如图1，求证：M是的中点．
10．（1）问题背景如图（1），在中，是角平分线．求证：；
（2）在中，，，是角平分线，，．
①应用探究如图（2），若，求证：；
②迁移拓展如图（3），P为线段上一点，绕C点逆时针旋转得到，使，连接，当最小时，直接写出的值（用含m，n的式子表示）．
11．已知：中，点D是的中点．
(1)如图1，，．垂足分别为E、F．求证：；
(2)若．点E在的延长线上．且
①如图2，若点F（恰好在上），求证：；
②如图3，若点F在的延长线上，，，直接写出的长．
12．（1）如图，点、分别在正方形的边、上，，求证：；
（2）如图，四边形中，，，，点、分别在边、上，则当与满足什么关系时，仍有，说明理由．
13．以线段、为底按顺时针方向在平面内构造等腰与等腰，，，，，且．
(1)如图1，当点A、B、C三点共线时，求证：；
(2)如图2，当点A、B、C三点不共线时，连接，点为中点，连接、，求证：；
(3)如图3，当点B在线段上运动时（点B与A、D不重合），请直接写出与的数量关系．（直接填写答案）
14．问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1________图2________；（用字母a，b表示）
数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题
（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值．
拓展运用：如图3，点C是线段上一点，以，为边向两边作正方形和正方形，面积分别是和．若，，则直接写出的面积．（用S，m表示）．
15．如图，在等腰中，，，点为线段上一动点（不与点B重合），且．
(1)连接交于点，设．
①当时，如图1，则______．
②当时，如图2，若，求的长．
(2)如图3，作交的延长线于点，交于点，连接，求证：．
16．（1）如图1，在中，，，平分，，，求的长；
（2）如图2，在中，，，平分，，，求的长；
（3）如图3，在中，，，，则的长为__________．
参考答案
1．(1)60°
(2)；理由见解析；
(3)5
【分析】（1）根据题意可得、为等边三角形即可知，，证明，得；
（2）过作，交的延长线于，根据证明可得，从而可得绪论；
（3）过作，交的延长线于，分别证明和可得绪论
【详解】（1）∵，
∴为等边三角形
∴
∵
∴
∵
∴是等边三角形，
∴
∴
∴
又
∴，
∴；
（2）过作，交的延长线于，如图所示：则，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
（3）过作，交的延长线于，如图所示：则，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，判断出是解本题的关键．
2．(1)①见解析；②，见解析
(2)见解析
【分析】(1)①根据全等三角形的判定找出相等的边或者角即可得到结论；②根据全等三角形的判定和性质即可倒出结论；
(2)根据全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定即可求得结论．
【详解】（1）证明：①∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
②.
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
（2）解：过点作，过点作，垂足为，.
由（1）中②的证明可得，
∴，，
在中，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定等相关知识点，根据题意做出辅助线是解题的关键．
3．(1)见解析
(2)14
【分析】（1）由等边三角形的性质得出，，可证明；
（2）由（1）得，由全等三角形的性质得出，，求出，由直角三角形性质得出，进而即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，．
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：由（ 1）得：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
4．(1)
(2)2
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据等边三角形及翻折的性质可求出的值以及，在根据三角形内角和定理求出的值，然后在中根据三角形内角和定理求解的值即可；
（2）方法同（1）先求出，然后在上截取，使，连接，如图1，可知是等边三角形，根据，，得到，证明，最后根据计算求解即可；
（3）由（2）可得，证明过程同（2）．
【详解】（1）解：由等边三角形及翻折的性质得，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴的度数为．
（2）解：由（1）可得，
∵，，
∴，
∴，
如图1，在上截取，使，连接，
由题意知，
∴是等边三角形，
∵，，
∴，
在和中
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为2．
（3）解：；
证明如下：由（2）可得，点D在运动过程中，是定值，
如图2，在上截取，使，连接，
∴同理（2）可知是等边三角形，
∵，，
∴，
在和中
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角的性质，翻折的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定与性质．熟练掌握知识并正确的作辅助线是解题的关键．
5．(1)等边，
(2)，证明见解析
(3)图见解析，
【分析】（1）先证明是等边三角形，然后等量代换可得．
（2）结论：．连接，证明，可得，由线段垂直平分线的性质可证，再利用等量代换可得．
（3）当点D为边延长线上任意一点时，，与（2）同样的方法可证．
【详解】（1）如图1中，
∵，
∴，．
∵，
∵是的中线，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故答案为∶等边，．
（2）结论：．
理由：如图2中，是中线，连接．
∵都是等边三角形，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（3）当点D为边延长线上任意一点时，如图3，
连接，与（2）同样的方法可证．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
6．(1)，
(2)，
(3)或
【分析】（1）由距离、速度及时间的关系即可求得，从而可求得；
（2）当时，可得，，则可证明，则易得结论；
（3）分两种情况：若，则，，从而可得关于x与t的方程组，解方程组即可；若，则，，与前一种情况同理可求得x与t，最后可得x的值．
【详解】（1）解：，；
故答案为：，；
（2）解：，，
理由如下：
当时，则，，
，
，
，，
，
，
即，
；
即与的数量关系是，位置关系是；
（3）解：若，则，，
，，，
，
解得：，
即当时，与全等；
若，则，，
，，，
，
解得：，
即当时，与全等；
综上，当或时，与全等．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解方程组，注意分类讨论，关键是全等三角形的判定与性质的应用．
7．（1）①见解析；②见解析；（2）见解析
【分析】（1）①利用SAS即可证出△ABF≌△CAE，再根据全等三角形的性质即可证出结论；
②过点D作DM⊥AF于M，作DN⊥EC交EC延长线于N，利用AAS证出△ADM≌△CDN，即可得出DM=DN，然后根据角平分线的判定定理即可证出结论；
（2）在CB上截取一点G，使CF=FG，连接AG，利用SAS证出△EAC≌△GCA，可得CE=AG，∠AEC=∠CGA，然后利用ASA证出△AGF≌△PCF，可得AG=CP，从而证出结论．
【详解】解：（1）①△ABC为等边三角形
∴AB=CA，∠B=∠CAE=∠BAC=60°
在△ABF和△CAE中
∴△ABF≌△CAE
∴
②过点D作DM⊥AF于M，作DN⊥EC交EC延长线于N
∵△ABF≌△CAE
∴∠BAF=∠ACE
∴∠AOC=180°－∠ACE－∠OAC=180°－∠BAF－∠OAC=180°－∠BAC=120°
∴∠MDN=360°－∠AOC－∠DMO－∠DNO=60°
∵△ACD为等边三角形
∴DA=DC，∠ADC=60°
∴∠ADC=∠MDN
∴∠ADC－∠MDC=∠MDN－∠MDC
∴∠ADM=∠CDN
在△ADM和△CDN中
∴△ADM≌△CDN
∴DM=DN
∴平分
（2）在CB上截取一点G，使CF=FG，连接AG
∵AE=2CF，CG=CF＋FG=2CF
∴AE=CG
∵△ABC为等边三角形
∴∠EAC=∠GCA=60°
在△EAC和△GCA中
∴△EAC≌△GCA
∴CE=AG，∠AEC=∠CGA
∵∠AEC=∠BCP
∴∠CGA=∠BCP，即∠AGF=∠PCF
在△AGF和△PCF中
∴△AGF≌△PCF
∴AG=CP
∴CE=CP
【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质和角平分线的判定，掌握等边三角形的性质、构造全等三角形的方法、全等三角形的判定及性质和角平分线的判定定理是解决此题的关键．
8．(1)①②
(2)
【分析】（1）①根据三角形的角平分线的定义和三角形外角的性质即可得到结论；②在射线AD上取一点H，是的，连接．则，根据三角形的三边关系即可得到结论．
（2）过P作于N，根据角平分线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论．
【详解】（1）解：①∵平分，平分，
∴， ，
∵，
∴；
②．
理由如下：
如图1﹣1，在射线上取一点H，使，连接．
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴．
（2）解：过点P作于N，
∵平分，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，，
，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，角平分线的定义和性质，三角形的外角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
9．（1）见解析；（2）见解析
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质；熟练掌握各性质及判定是解题的关键．
特例探究：（1）根据旋转的性质证明，依据为等腰三角形且，即可解答；
（2）根据，表示出，依据线段绕点A逆时针旋转至，表示出 ，由证出，，即可得结论；
问题解决：连接，过点C作于E，过点B作，根据旋转性质得，在证，，即可的结论
【详解】解：特例探究
（1）证明：线段绕点A逆时针旋转至，
．
在和中，
，
，
．
又，，
，
（2）在中，，
，
线段绕点A逆时针旋转至，
，
，
，
所以，
，
，，
，即M是的中点．
问题解决
如图，连接，过点C作于E，过点B作，交的延长线于F．
线段绕点A逆时针旋转至，
∴同（1）可证得，
，
，
，
．
在和中，
，
，
在和中，
，
，
，
即M是的中点．
10．（1）见解析；（2）①见解析；（3）．
【分析】（1）作点到、边的垂线，根据三角形面积公式即可得出结论；
（2）①在上取点，使，再构造角平分线模型，作的角平分线，由可证明、、都是等腰三角形，，，结合（1）的结论即可解题．
②连接，易证，继而可得，由此可得点在直线运动，再根据将军饮马模型作点D关于直线BQ的对称点，连接交于点，当Q在点时， 最小，再由（1）的结论得出答案．
【详解】（1）作点D到AC、BC边的垂线，垂足分别为、N，
∵是角平分线．
∴，
又∵ ，
∴，
又∵，
∴．
（2）①在上取点，使，作的角平分线交于F点，
∵在中，，，
∴，
∴是角平分线，即：，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
又∵是角平分线，．
∴．
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∵是角平分线，
∴，即，
∴即．
②连接，作点D关于直线BQ的对称点，连接交于点，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴是定直线，
∴，
当Q在点时， 最小，
又对称性质可知：，，
∴，
当最小时，
【点睛】本题主要考查了三角形的综合；涉及了角平分线性质，等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、将军饮马模型等知识点，（1）利用角平分线性质结合三角形面积公式即可证明；（2）①通过构造等腰三角形转化线段关系并构造角平分线分线段成比例模型是解题关键；②由旋转全等得出点Q在定直线上运动，从而将转化为将军饮马问题，求正好是造角平分线分线段成比例模型．
11．(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②
【分析】本题考查的是等面积法的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质：
（1）如图1，由点是的中点． 可得 结合，从而可得答案；
（2）①如图2，先证明为等边三角形，过作交于 证明为等边三角形，证明 可得 从而可得结论；②如图3，由①同理可得： 为等边三角形， 可得 再求解 从而可得答案．
【详解】（1）证明：如图1，连接
点是的中点．
，
（2）解：①如图2，
为等边三角形，
过作交于
为等边三角形，
点是的中点，
②如图3，由①同理可得： 为等边三角形，
为的中点，
故答案为：
12．（1）见解析；（2），见解析
【分析】（1）根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF=BE+FD，只要再证明△AFG≌△AFE得出GF=EF即可．
（2）延长CB至M，使BM=DF，连接AM，证，再证△FAE≌△MAE得出EF=EM即可得出答案；
【详解】（1）证明：把绕点逆时针旋转90°至，连结，如图所示：
则．
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）．理由如下：
如图所示，延长至，使，连接．
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识；作出合适的辅助线构建全等三角形是解决问题的关键．
13．(1)见解析
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）利用三角形的内角和表示出，再结合条件，即可得证；
（2）延长至Q，使，连接，，易证，得到，利用三角形的内角和并通过角的转化证明，进而证明，得到，再利用等腰三角形的“三线合一”证明；
（3）分“点E在上方”和“点E在下方”两种情况分别画出相应图形进行分析，利用三角形的内角和并结合角的转化即可得到与的数量关系．
【详解】（1）解：，，
，，
，
，
，
．
（2）证明：如图，延长至Q，使，连接，，
在与中，
，
，
，，
，
，
根据（1）可设，，则，
，
，
在中，，
，
在与中，
，
，
，
，
．
（3）解：取的中点F，连接，由（2）知，
，
，
，
设，
情况1，当点E在上方，
，
，
即；
情况2，如图，当点E在下方，
，
．
综上所述，或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和外角性质、线段垂直平分线的性质等，也用到了分类讨论的数学思想，解决问题的关键是作出适当的辅助线构造全等三角形和画出相应的图形进行分析．
14．问题呈现：；．或；数学思考：（1）；（2）；拓展运用：
【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式的几何背景，准确熟练地进行计算是解题的关键．
问题呈现：利用面积法进行计算，即可解答；
数学思考：（1）利用完全平方公式进行计算，即可解答；
（2）设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答；
拓展运用：设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答．
【详解】解：问题呈现：利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1:；图2:；
故答案为：；；
数学思考：
（1），，
，
的值为25；
（2）设，，
，
，
，
，
的值为4050；
拓展运用：的面积，
理由：设，，
，
，
，
，
的面积
．
15．(1)①；②
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据条件作辅助线构造全等三角形是解题关键．
（1）①证即可求解；②过点作于，证，再证，可求．
（2）在上截取，连证，再证，即可求证．
【详解】（1）解：①∵，，，
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：
②过点作于，如图所示：
∵，，
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴，
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴
（2）解：在上截取，连，如图所示：
∵，，，
∴
∴，
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
16．（1）；（2）；（3）5
【分析】（1）在线段上截取，连接，证明，推出，，再证明，即可求解；
（2）在边上取点，使，连接，得到，在边上取点，使，连接，得到，据此计算即可得出结论；
（3），作于点，在的延长线上取点，使得，连接，根据垂直平分线的性质得到，，根据题意、三角形内角和定理得到，根据勾股定理列式计算即可．
【详解】解：（1）在线段上截取，连接，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）中，，，
，
平分，
，，
在边上取点，使，连接，
在和中，
，
，
，
，
，
在边上取点，使，连接，
同理得，
，，
，
，
，
，
．
（3）如图，作于点，在的延长线上取点，使得，连接，
则是的垂直平分线，
，，
，，
，
，
，
，
，
设，
，
，
．
在和中，
由勾股定理得到：，即，
解得，，即，
故答案为：5；
【点睛】本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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