专题十 整式乘法与因式分解计算
1．（1）计算：； （2）因式分解：．
2．计算：
(1)； (2)．
3．分解因式：
(1)； (2)．
4．因式分解：
(1)； (2)．
5．计算：
(1)； (2)．
6．因式分解：
(1)； (2)
7．计算：
(1)； (2)．
8．计算：
(1) (2)
9．因式分解：
(1) (2)
10．因式分解
(1)； (2)
11．整式乘法：
(1) (2)
12．计算：
(1) (2)
13．阅读下面的材料：常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：
．
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．
利用分组分解法解决下面的问题：
（1）分解因式：；
（2）已知的三边长，，满足，判断的形状并说明理由．
14．（1）计算：； （2）分解因式：．
15．计算：
(1)； (2)．
16．分解因式：
(1)； (2)．
17．因式分解：
（1） （2）
18．计算：
(1)； (2)；
19．因式分解：
（1）2x3﹣8x； （2）（x+y）2﹣14（x+y）+49
20．化简：
21．计算
(1)； (2)；
22．计算：
(1)； (2)．
23．分解因式：
(1)； (2)．
24．（1）计算：； （2）因式分解：．
25．（1）计算：； （2）因式分解：．
26．因式分解：
(1)； (2)．
27．计算：
(1)； (2)．
28．因式分解：
(1)； (2)．
参考答案
1．（1）；（2）
【分析】（1）直接根据多项式乘以多项式计算即可；
（2）先根据平方差公式化简，再合并同类项即可．
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式和公式法因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．(1)
(2)
【分析】（1）直接根据多项式乘以多项式计算即可；
（2）先计算积的乘方，再根据同底数幂的乘法计算即可．
【详解】（1）解：原式，
；
（2）解：原式，
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，再用平方差公式分解.
（2）先提公因式，再用完全平方公式分解.
【详解】（1）解：原式，
；
（2）原式
【点睛】本题主要考查了分解因式.分解因式时首先观察是否有公因式，如果有公因式，先提公因式，然后再用公式法分解.掌握分解因式的方法及熟记公式是解题的关键.
4．(1)
(2)
【分析】（1）把看做一个整体，利用完全平方公式进行求解即可；
（2）先提取公因式2，然后利用平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
5．(1)
(2)
【分析】（1）先计算积的乘方，再根据多项式除以单项式的计算法则求解即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了整式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
6．(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式分解即可；
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
7．(1)
(2)
【分析】（1）根据单项式乘多项式运算法则即可求出答案；
（2）根据整式的除法运算法则即可求出答案．
【详解】（1）解：
=
=；
（2）
【点睛】本题考查了整式的除法以及单项式乘多项式运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
8．(1)
(2)
【分析】（1）根据多项式乘多项式的运算法则求解即可；
（2）根据多项式除以单项式的运算法则求解即可．
【详解】（1）原式
（2）原式
【点睛】本题考查了整式的乘除．解题的关键在于熟练掌握多项式乘多项式，多项式除以单项式的运算法则．
9．(1)
(2)
【分析】（1）根据平方差公式进行因式分解即可；
（2）先提取公因数，然后根据完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
【点睛】本题考查了用公式法进行因式分解．解题的关键在于熟练掌握平方差公式与完全平方公式．
10．(1)
(2)
【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）先提取公因式法，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：，
，
．
【点睛】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，掌握“因式分解的常用方法：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法”是解本题的关键．
11．(1)
(2)
【分析】（1）根据多项式与单项式的乘法法则计算即可；
（2）根据多项式与单项式的除法法则计算即可．
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题考查了多项式与单项式的乘法，以及多项式与单项式的除法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
12．(1)
(2)2mn
【分析】（1）直接根据单项式与多项式的乘法法则计算即可；
（2）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再合并同类项．
【详解】（1）解：
=
=
（2）解：
=
=
【点睛】本题考查了单项式与多项式的乘法法、平方差公式和完全平方公式、以及整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
13．（1）；（2）为等腰三角形，理由见解析
【分析】（1）前三项符合完全平方公式，最后一项用提公因式法进行分解因式，最后再提公因式（x-y）即可．
（2）通过因式分解 ，因为，所以得，则，那么为等腰三角形．
【详解】解：（1）原式
．
（2）结论：为等腰三角形
理由：∵
又∵
∴
∴
∴为等腰三角形．
【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
14．（1）；
（2）
【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方，因式分解：
（1）先算同底数幂相乘、幂的乘方，再合并同类项，即可作答．
（2）先提公因式，得，再根据平方差公式进行分解因式，即可作答．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
15．(1)
(2)
【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，多项式与单项式的除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）根据多项式与多项式的乘法法则计算即可；
（2）根据多项式与单项式的除法法则计算即可．
【详解】（1）
（2）
16．(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．
（1）用平方差公式分解即可；
（2）先提取公因式，再用完全平方公式分解．
【详解】（1）
（2）
17．（1）；（2）
【分析】（1）先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
（2） 直接提取公因式（a-b），再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法则是解题关键.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用单项式乘以多项式的法则计算，即可得到结果；
（2）利用多项式乘以多项式的法则计算，即可得到结果．
【详解】（1）原式＝；
（2）原式＝
＝．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
19．（1）2x（x+2）（x﹣2）；（2）（x+y﹣7）2．
【分析】（1）首先提取公因式2x，再利用平方差公式完全平方公式分解因式得出答案；
（2）直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
【详解】解：（1）原式＝2x（x2﹣4）
＝2x（x+2）（x﹣2）；
（2）原式＝（x+y﹣7）2．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
20．
【分析】本题考查了幂的相关运算，涉及了同底数幂的乘除法、幂的乘方，合并同类项法则，掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】原式
21．(1)
(2)
【分析】本题考查整式的运算．
（1）根据同底数幂乘法和幂的乘方进行计算即可；
（2）根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
22．(1)
(2)
【分析】此题主要考查整式的乘法运算，乘法公式的应用，解题的关键是熟知整式的乘法运算法则．
（1）根据单项式乘多项式的运算法则即可求解；
（2）根据完全平方公式与平方差公式即可求解．
【详解】（1）解：
．
（2）
．
23．(1)
(2)
【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
（1）利用提取公因式即可；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）原式．
24．（1）；（2）
【分析】
本题考查了多项式乘多项式法则和分解因式，熟练掌握运算法则是解题的关键；
（1）根据多项式乘多项式法则进行计算即可．
（2）先提公因式，再根据完全平方公式分解．
【详解】（1）
；
（2）
．
25．（1）；（2）
【分析】（1）本题考查整式的运算，根据积的乘方，幂的乘方，单项式乘单项式，单项式除以单项式的法则，进行计算即可；
（2）本题考查因式分解．先提公因式，再利用平方差公式法，进行因式分解即可．掌握因式分解的方法，是解题的关键．
【详解】解：（1）原式；
（2）．
26．(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的常见方法是解题的关键．
（1）先提取公因式，再运用完全平方公式因式分解即可；
（2）先提取公因式，再运用平方差公式因式分解即可．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）原式 ．
27．(1)；
(2)．
【分析】（1）先算积的乘方和幂的乘方，再算乘法；
（2）根据多项式除以单项式法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
28．(1)
(2)
【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有项，可采用平方差公式继续分解；
此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有项，可采用完全平方公式继续分解．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
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