专题四 线段垂直平分线的性质与判定
一、单选题
1．已知点与点关于x轴对称，在中，边，的垂直平分线分别交于点M，G（如图），连，．若．则的周长为（ ）
A．28 B．30 C．32 D．34
2．如图，在中，，，点D、E分别在边上，连接，将沿折叠，点B的对应点刚好落在边上，若，，则的长是（ ）
A．10 B．12 C．13 D．14
3．在中，，的垂直平分线交于点E，交于点D，的垂直平分线交于点G，交于点F．当是等腰三角形时，与的不可能的数量关系是（ ）
B．
C． D．
4．中，，点M在的内部，BM、MC的垂直平分线分别交AB、AC于点P、Q，若连接PQ恰好经过点M，则（ ）（用含的代数式表示）．
A． B． C． D．
5．已知等腰中，，两腰的垂直平分线交于点P，已知，则等腰三角形的顶角为（ ）
A． B． C．或 D．或
6．如图，有三条公路两两相交，现要修建一个货栈，使它到三条公路的距离相等，则满足修建货栈条件的地点有（ ）
A．一处 B．三处 C．四处 D．无数处
7．如图，在中，，，．的垂直平分线交于点D，交于点E．的垂直平分线交于点G，交于点F．则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．如图，在中，的垂直平分线交于点，若，则的长度是 ．
9．如图，三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，的周长为 ．
10．如图，等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点C沿折叠与点O重合，则的度数是 ．
11．如图，中，是的垂直平分线，的周长为10，，则的周长为 ．
12．和关于直线L对称，若的周长为，，．则 ．
13．如图，在中，是的垂直平分线．若，的周长为13，则的周长为 ．
14．如图，三角形纸片中，，，过点A的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，若的周长为，则
15．如图，在中，分别是的垂直平分线，，则的大小是 ．
三、解答题
16．如图，，，的垂直平分线交于点，求的度数．
17．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，，求的度数．
18．如图1，在中，，点在上，且．
(1)求的度数；
(2)如图2，于点，于点，连接交于点．
①求证：垂直平分；
②若，，且．求的长（用含，的式子表示）．
19．如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE．
求证：OE垂直平分BD．
20．如图，，的垂直平分线交于点D，已知，求的度数．
21．我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.如图，四边形是一个筝形，，，对角线交与点O.
(1)请根据你学过的知识直接写出一组全等的三角形______；
(2)求证：.
22．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点．
(1)若，则的度数是________；
(2)连接，若，的周长是14．
①求的周长；
②若是直线上一个动点，则的最小值是________．
23．如图，中平分，垂直平分交于P，于E．
(1)当时，的度数是________；
(2)求证：．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 D B C D C C B
1．D
【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，线段垂直平分线的性质，解题的关键是先根据点与点关于x轴对称，求出m和n的值，即可求出的长，再根据线段垂直平分线的性质定理证明，，那么的周长就转化为的长．
【详解】解：∵点与点关于x轴对称，
∴，，
解得，，
∴，
∵边，的垂直平分线分别交于点M，G，
∴，，
∴，
∴的周长为34．
故选：D．
2．B
【分析】根据折叠的性质以及含角的直角三角形的性质得出即可求解．
【详解】解：∵将沿折叠，点的对应点为点，若点刚好落在边上，在中，，
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上性质是解题关键．
3．C
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，由等边对等角得到，利用三角形外角性质推出，再分三种情况分别得到与的关系进行判断，正确理解线段垂直平分线的性质及等边对等角的性质是解题的关键．
【详解】∵的垂直平分线交于点E，交于点D，的垂直平分线交于点G，交于点F．
∴，
∴，
∴，
∵是等腰三角形，
∴①当时，，
∴，得，故A正确，C错误；
②当时，，
∴，得，故B正确；
③当时，，∴，故D正确；
故选：C．
4．D
【分析】此题主要考查垂直平分线的性质和三角形的内角和，根据垂直平分线的性质，可得, ,即得,,即可求解.
【详解】解：∵BM、MC的垂直平分线分别交AB、AC于点P、Q.
∴, .
.
∵.
∴.
.
故选：D.
5．C
【分析】分两种情况：（1）当在的内部时，连接，根据垂直平分线性质可得，根据等边对等角可以求出相应角度，结合三角形内角和可以求出结果；（2）当在的外部，连接，根据垂直平分线性质，利用等边对等角，结合四边形内角和即可求出结果．
【详解】解：分两种情况：
当在的内部，如图1，连接
两腰的垂直平分线交于点P，
，
，，
，，
，
，
，
，
；
当在的外部，如图2，连接，
由题意得：，
，，
，
，
，
，
，
则等腰三角形的顶角为或，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直平分线性质，三角形内角和定理，四边形内角和，分两种情况求解是解题的关键．
6．C
【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点，把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．
【详解】解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处，
则共有四处，
故选C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质；这是一道生活联系实际的问题，解答此类题目时最直接的判断就是三角形的角平分线，很容易漏掉外角平分线，解答时一定要注意，不要漏解．
7．B
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，三角形外角；连接，先根据等腰对等边求出，再根据垂直平分线的性质得到，求出，进而求出，即可求解．
【详解】解：连接，如图，
∵，，
∴，
∵的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点G，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
8．4.5
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，以及角平分线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．连接，根据线段垂直平分线的性质得到，证明是的角平分线，得到，再根据含30度角的直角三角形的性质，得到，由此即可得解．
【详解】解：如图所示，连接，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
.
是的角平分线，
又，
.
在中，，，，
，
．
故答案为：．
9．7
【分析】
先根据折叠的性质可得，，再求出的长，然后根据的周长进行计算．
【详解】解：由折叠的性质得：，，
∴，
∴的周长，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，翻折变换保留原有图形的性质，而且可以使得原有的分散条件相对集中，从而有利于问题的解决．
10．100°
【分析】连接OB，OC，先求出∠BAO=25°，进而求出∠OBC=40°，求出∠COE=∠OCB=40°，最后根据等腰三角形的性质，问题即可解决．
【详解】解：如图，连接OB，
由题意得∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO=∠BAC=×50°=25°．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°．
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=25°，
∴∠OBC=∠ABC∠ABO=65°25°=40°．
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴直线AO垂直平分BC，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE．
∴∠COE=∠OCB=40°；
在△OCE中，∠OEC=180°∠COE∠OCB=180°40°40°=100°；
故答案为：100°．
【点睛】该题主要考查了等腰三角形的性质以及翻折变换及其应用，解题的关键是根据翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系，灵活运用有关定理来分析、判断．
11．16
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，先根据是的垂直平分线得出，，再根据的周长为10即可得出结论．
【详解】解：∵是的垂直平分线，，
∴，，
∴，
∵的周长为10，
∴
∴．
故答案为：16．
12．12
【分析】根据和关于直线L对称可知，故的周长为，据此得出结论．
本题考查的是轴对称的性质，熟知关于轴对称的两个图形全等是解题的关键．
【详解】∵和关于直线L对称，的周长为，
∴，
∴的周长为，
·∵．
故答案为：12．
13．
【分析】由线段的垂直平分线的性质可得，从而可得答案．
【详解】解： 是的垂直平分线．，
的周长
故答案为：
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
14．6
【分析】本题考查的是翻折变换的知识，掌握翻折变换的性质“折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等”、找准对应关系是解题的关键．
根据翻折的性质得出，进而利用三角形的周长解答即可．
【详解】由翻折可得：
的周长，
∴，
∴．
故答案为：6．
15．/40度
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得，又由，即可求得，则可得度数，继而求得．
【详解】解：∵在中，分别是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解决问题的关键．
16．的度数是．
【分析】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，线段的垂直平分线等知识点的应用．根据线段垂直平分线得出，求出，根据，推出，根据三角形的内角和定理求出，根据，代入求出即可．
【详解】
解：是的垂直平分线，
，
，
，
设，则，
即，
解得：，
，
，
答：的度数是．
17．．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形外角性质的应用，根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出，求出，根据三角形外角性质得出，再根据等腰三角形的性质即可求解，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．
【详解】∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴,
∴．
18．(1)
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，结合三角形内角和性质列式，得，即可求解；
（2）①由角平分线的性质和线段垂直平分线的性质即可求解；
②在上截取，连接．证明，由全等三角形的性质得出，由等腰三角形的性质可解答．
【详解】（1）解：
设
则
在中
解得：，
的度数为；
（2）①由（1）得：，，
，
即：平分，
于点，于点，
，，
，
，两点均在的垂直平分线上，
垂直平分；
②在上截取，连接．
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
19．证明见解析
【分析】先利用ASA证明△AOB≌△COD，得出OB=OD，根据线段垂直平分线的判定可知点O在线段BD的垂直平分线上，再由BE=DE，得出点E在线段BD的垂直平分线上，即O，E两点都在线段BD的垂直平分线上，从而可证明OE垂直平分BD．
【详解】在△AOB与△COD中，
∠A＝∠C，OA＝OC，∠AOB＝∠COD，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB=OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上，
∵BE=DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定：到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，同时考查了全等三角形的判定与性质．
20．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，三角形内角和定理．根据垂直平分线的性质，得到，根据等边对等角可得，结合图根据角之间的等量关系，等腰三角形性质，三角形内角和即可求出结果．
【详解】解：的垂直平分线交于点D，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
．
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；熟记等腰三角形的三线合一是解本题的关键.
（1）直接利用证明即可；
（2）由可得，再结合等腰三角形的性质可得结论.
【详解】（1）解：，理由如下：
在和中，
，
；
（2）∵，
∴，
∵，
∴.
22．(1)
(2)①22；②8
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和求出，根据，求出；
（2）①根据垂直平分线的性质得出，得出，根据，求出，根据求出结果即可；
②根据垂直平分线的性质得出，求出，根据当、A、C在同一直线上时，最小，且最小值为，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）解：①∵的周长是，
∴，
∵为的垂直平分线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
②∵为的垂直平分线，
∴，
∴，
∴当、A、C在同一直线上时，最小，且最小值为，
∴的最小值为8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质．
23．(1)124°
(2)证明见解析
【分析】（1）根据垂直平分线的性质推出，即可得出结果；
（2）过点作与点，利用证明得出，，再利用证明得出，即可推出结论．
【详解】（1）解：垂直平分，
，
，
，
故答案为：；
（2）证明：如图，过点作于点，
是的平分线，
，
，，
．
在和中，
，
，
，，
在与中，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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