09 分式方程及其应用
一．选择题（共17小题）
1．（2024 无锡）分式方程的解是
A． B． C． D．
2．（2024 广东）方程的解是
A． B． C． D．
3．（2024 济宁）解分式方程时，去分母变形正确的是
A． B． C． D．
4．（2024 德阳）分式方程的解是
A．3 B．2 C． D．
5．（2024 泸州）分式方程的解是
A． B． C． D．
6．（2024 遂宁）分式方程的解为正数，则的取值范围
A． B．且 C． D．且
7．（2024 黑龙江）已知关于的分式方程无解，则的值为
A．或 B． C．或 D．
8．（2024 齐齐哈尔）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是
A．且 B． C． D．且
9．（2024 达州）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工个零件，可列方程为
A． B．
C． D．
10．（2024 巴中）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校，一部分学生乘慢车先行，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快，求慢车的速度？设慢车的速度为 ，则可列方程为
A． B．
C． D．
11．（2024 宁夏）数学活动课上，甲、乙两位同学制作长方体盒子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍．设乙每小时做个盒子，根据题意可列方程
A． B． C． D．
12．（2024 广元）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”，现需要购买、两种绿植，已知种绿植单价是种绿植单价的3倍，用6750元购买的种绿植比用3000元购买的种绿植少50株．设种绿植单价是元，则可列方程是
A． B．
C． D．
13．（2024 新疆）某校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为 ，根据题意可列方程
A． B．
C． D．
14．（2024 临夏州）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是
A． B．
C． D．
15．（2024 绥化）一艘货轮在静水中的航速为，它以该航速沿江顺流航行所用时间，与以该航速沿江逆流航行所用时间相等，则江水的流速为
A． B． C． D．
16．（2024 山东）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为
A．200 B．300 C．400 D．500
17．（2024 内蒙古），两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运30千克，型机器人搬运900千克所用时间与型机器人搬运600千克所用时间相等．，两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？
A．60，30 B．90，120 C．60，90 D．90，60
二．填空题（共17小题）
18．（2024 牡丹江）若分式方程的解为正整数，则整数的值为 ．
19．（2024 达州）若关于的方程无解，则的值为 ．
20．（2024 重庆）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ．
21．（2024 重庆）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
22．（2024 辽宁）方程的解为 ．
23．（2024 通辽）分式方程的解是 ．
24．（2024 甘孜州）方程的解为 ．
25．（2024 武汉）分式方程的解是 ．
26．（2024 浙江）若，则 ．
27．（2024 北京）方程的解为 ．
28．（2024 湖南）分式方程的解为 ．
29．（2024 凉山州）方程的解是 ．
30．（2024 宜宾）分式方程的解为 ．
31．（2024 成都）分式方程的解是 ．
32．（2024 广元）若点满足，则称点为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标 ．
33．（2024 东营）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的，小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是24.5元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3米．设该市去年居民用水价格为元米，则可列分式方程为 ．
34．（2024 呼和浩特）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为 元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为 元．
三．解答题（共17小题）
35．（2024 呼和浩特）（1）计算：；
（2）解方程：．
36．（2024 南通）（1）计算：；
（2）解方程．
37．（2024 镇江）（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
38．（2024 广州）解方程：．
39．（2024 陕西）解方程：．
40．（2024 福建）解方程：．
41．（2024 宿迁）某商店购进、两种纪念品，已知纪念品的单价比纪念品的单价高10元．用600元购进纪念品的数量和用400元购进纪念品的数量相同．
（1）求纪念品、的单价分别是多少元？
（2）商店计划购买纪念品、共400件，且纪念品的数量不少于纪念品数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？
42．（2024 大庆）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时），用电低谷时段（简称谷时）次日，峰时电价比谷时电价高0.2元度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．
43．（2024 泰安）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人．甲组每天加工3000件农产品，乙组每天加工2700件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人？
44．（2024 雅安）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务．
（1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？
（2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元．该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
45．（2024 赤峰）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．
（1）求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；
（2）为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？
46．（2024 威海）某公司为节能环保，安装了一批型节能灯，一年用电16000千瓦时．后购进一批相同数量的型节能灯，一年用电9600千瓦时．一盏型节能灯每年的用电量比一盏型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦时．求一盏型节能灯每年的用电量．
47．（2024 扬州）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进、两种机器，型机器比型机器每天多处理40吨垃圾，型机器处理500吨垃圾所用天数与型机器处理300吨垃圾所用天数相等．型机器每天处理多少吨垃圾？
48．（2024 云南）某旅行社组织游客从地到地的航天科技馆参观，已知地到地的路程为300千米，乘坐型车比乘坐型车少用2小时，型车的平均速度是型车的平均速度的3倍，求型车的平均速度．
49．（2024 重庆）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．
（1）为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？
（2）经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？
50．（2024 重庆）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用、两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要、两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知种外墙漆每千克的价格比种外墙漆每千克的价格多2元．
（1）求、两种外墙漆每千克的价格各是多少元？
（2）已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？
51．（2024 自贡）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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09 分式方程及其应用
一．选择题（共17小题）
1．（2024 无锡）分式方程的解是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】解分式方程
【解答】解：，
，
，
检验，当时，，
是原分式方程的解，
故选：．
2．（2024 广东）方程的解是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】解分式方程
【解答】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根，
故选：．
3．（2024 济宁）解分式方程时，去分母变形正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】解分式方程
【解答】解：原方程两边同乘得，
即
故选：．
4．（2024 德阳）分式方程的解是
A．3 B．2 C． D．
【答案】
【考点】解分式方程
【解答】解：原方程去分母得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
故选：．
5．（2024 泸州）分式方程的解是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】解分式方程
【解答】解：，
去分母，得，
整理，得，
．
经检验，是原方程的解．
所以原方程的解为：．
故选：．
6．（2024 遂宁）分式方程的解为正数，则的取值范围
A． B．且 C． D．且
【答案】
【考点】解一元一次不等式；分式方程的解
【解答】解：去分母得：，
解得：，
由方程的解为正数，得到，且，
则的范围为且．
故选：．
7．（2024 黑龙江）已知关于的分式方程无解，则的值为
A．或 B． C．或 D．
【答案】
【考点】分式方程的解
【解答】解：，
，
，
，
关于的分式方程无解，
，解得：，，
且，
解得：或2，
故选：．
8．（2024 齐齐哈尔）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是
A．且 B． C． D．且
【答案】
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式
【解答】解：，
，
，
，
，
关于的分式方程的解是负数，
且，
解得：且，
故选：．
9．（2024 达州）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工个零件，可列方程为
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】由实际问题抽象出分式方程
【解答】解：设乙每小时加工个零件，则甲每小时加工个零件，
根据题意得．
故选：．
10．（2024 巴中）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校，一部分学生乘慢车先行，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快，求慢车的速度？设慢车的速度为 ，则可列方程为
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】由实际问题抽象出分式方程
【解答】解：设慢车的速度为 ，则快车的速度为，
根据题意可得：．
故选：．
11．（2024 宁夏）数学活动课上，甲、乙两位同学制作长方体盒子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍．设乙每小时做个盒子，根据题意可列方程
A． B． C． D．
【答案】
【考点】由实际问题抽象出分式方程
【解答】解：由题意可得，
，
故选：．
12．（2024 广元）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”，现需要购买、两种绿植，已知种绿植单价是种绿植单价的3倍，用6750元购买的种绿植比用3000元购买的种绿植少50株．设种绿植单价是元，则可列方程是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】由实际问题抽象出分式方程
【解答】解：种绿植单价是种绿植单价的3倍，种绿植单价是元，
种绿植单价是元．
根据题意得：．
故选：．
13．（2024 新疆）某校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为 ，根据题意可列方程
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】由实际问题抽象出分式方程
【解答】解：设甲车的速度为 ，则乙车的速度为 ，
由题意得：，
即，
故选：．
14．（2024 临夏州）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】由实际问题抽象出分式方程
【解答】解：由题意可得，
，
故选：．
15．（2024 绥化）一艘货轮在静水中的航速为，它以该航速沿江顺流航行所用时间，与以该航速沿江逆流航行所用时间相等，则江水的流速为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】分式方程的应用
【解答】解：设江水的流速为 ，则沿江顺流航行的速度为，沿江逆流航行的速度为，
根据题意得：，
解得：，
江水的流速为．
故选：．
16．（2024 山东）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为
A．200 B．300 C．400 D．500
【答案】
【考点】分式方程的应用
【解答】解：设改造后每天生产的产品件数为，则改造前每天生产的产品件数为，
根据题意，得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，且符合题意，
答：改造后每天生产的产品件数300．
故选：．
17．（2024 内蒙古），两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运30千克，型机器人搬运900千克所用时间与型机器人搬运600千克所用时间相等．，两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？
A．60，30 B．90，120 C．60，90 D．90，60
【答案】
【考点】分式方程的应用
【解答】解：设型机器人每小时搬运千克化工原料，则型机器人每小时搬运千克化工原料，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，
型机器人每小时搬运90千克化工原料，型机器人每小时搬运60千克化工原料．
故选：．
二．填空题（共17小题）
18．（2024 牡丹江）若分式方程的解为正整数，则整数的值为 ．
【答案】．
【考点】分式方程的解
【解答】解：，
化简得：，
去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
由方程的解是正整数，得到为正整数，即或，
解得：或（舍去，会使得分式无意义）．
故答案为：．
19．（2024 达州）若关于的方程无解，则的值为 2或 ．
【答案】2或．
【考点】分式方程的解
【解答】解：方程去分母得：
解得：，
①当时分母为0，方程无解，
即，
时方程无解；
②当即时，方程无解；
故答案为：2或．
20．（2024 重庆）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 16 ．
【答案】16．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解
【解答】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
该不等式组的解集为，
该不等式组至少有2个整数解，
，
解得；
解分式方程得，
，
解为非负整数，
，即且为偶数，
由题意得，当时，；
当时，；
当时，（不合题意，舍去）；
当时，，
所有满足条件的整数的值为8、6和2，
，
所有满足条件的整数的值之和为16，
故答案为：16．
21．（2024 重庆）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 12 ．
【答案】所有满足条件的整数的值之和是12．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组
【解答】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
由题意得，
解得；
解方程得，
，
当时，；
当时，（不合题意，舍去）；
当时，，
符合条件的有8，4，
，
即所有满足条件的整数的值之和是12．
22．（2024 辽宁）方程的解为 ．
【答案】．
【考点】解分式方程
【解答】解：，
方程的两边同乘，得
，
解得：，
经检验是分式方程的解，
所以原分式方程的解为．
故答案为：．
23．（2024 通辽）分式方程的解是 ．
【考点】解分式方程
【解答】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故答案为：
24．（2024 甘孜州）方程的解为 ．
【答案】．
【考点】解分式方程
【解答】解：，
方程两边同时乘得：
，
，
检验：把代入，
是原方程的解，
故答案为：．
25．（2024 武汉）分式方程的解是 ．
【答案】．
【考点】解分式方程
【解答】解：原方程去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为，
故答案为：．
26．（2024 浙江）若，则 3 ．
【答案】3．
【考点】解分式方程
【解答】解：两边都乘以，得
，
解得，
经检验是原方程的解，
所以原方程的解为．
故答案为：3．
27．（2024 北京）方程的解为 ．
【答案】．
【考点】解分式方程
【解答】解：
，
经检验，是原方程的解．
28．（2024 湖南）分式方程的解为 ．
【答案】
【考点】解分式方程
【解答】解：方程的两边同乘，得
，
解得．
检验：把代入．
原方程的解为：．
29．（2024 凉山州）方程的解是 ．
【考点】解分式方程
【解答】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
故答案为：
30．（2024 宜宾）分式方程的解为 ．
【答案】．
【考点】解分式方程
【解答】解：去分母得：，
解得，
检验：当时，，
是原方程的解．
故答案为：．
31．（2024 成都）分式方程的解是 ．
【答案】．
【考点】解分式方程
【解答】解：去分母得：，
去括号得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故答案为：．
32．（2024 广元）若点满足，则称点为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标 （答案不唯一，满足且， ．
【答案】（答案不唯一，满足且，．
【考点】解分式方程
【解答】解：根据题意得：，即，
当，时，“美好点”的坐标为（答案不唯一，满足且，．
故答案为：（答案不唯一，满足且，．
33．（2024 东营）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的，小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是24.5元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3米．设该市去年居民用水价格为元米，则可列分式方程为 ．
【答案】．
【考点】由实际问题抽象出分式方程
【解答】解：该市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的，且该市去年居民用水价格为元米，
该市今年居民用水价格为元米．
根据题意得：．
故答案为：．
34．（2024 呼和浩特）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为 55 元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为 元．
【答案】55，1260．
【考点】分式方程的应用
【解答】解：设小号“龙辰辰”的单价为元，则大号“龙辰辰”的单价为元，
根据题意得，
，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
所以，
即大号“龙辰辰”的单价为55元．
设该网店购进大号“龙辰辰” 个，则购进小号“龙辰辰” 个，
由题知，
，
解得．
因为小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多，
所以大号“龙辰辰”的售价为（元．
令该网店获得的利润记为，
则，
又因为，
所以当时，取得最大值为1260，
所以该网店所获最大利润为1260元．
故答案为：55，1260．
三．解答题（共17小题）
35．（2024 呼和浩特）（1）计算：；
（2）解方程：．
【考点】特殊角的三角函数值；零指数幂；解分式方程；实数的运算
【解答】解：（1）
；
（2），
，
，
，
，
，
经检验，是原方程的解．
36．（2024 南通）（1）计算：；
（2）解方程．
【考点】解分式方程；单项式乘多项式
【解答】解：（1）
；
（2），
，
，
，
经检验，是原方程的解．
37．（2024 镇江）（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组；解分式方程
【解答】解：（1），
方程两边同乘，得，
解得，
检验：当时，，
所以原分式方程的解是；
（2），
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是．
38．（2024 广州）解方程：．
【考点】解分式方程
【解答】解：原方程去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为．
39．（2024 陕西）解方程：．
【考点】解分式方程
【解答】解：方程两边都乘，
得，
解得，
检验：当时，，
所以分式方程的解是．
40．（2024 福建）解方程：．
【考点】解分式方程
【解答】解：原方程两边都乘，去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为．
41．（2024 宿迁）某商店购进、两种纪念品，已知纪念品的单价比纪念品的单价高10元．用600元购进纪念品的数量和用400元购进纪念品的数量相同．
（1）求纪念品、的单价分别是多少元？
（2）商店计划购买纪念品、共400件，且纪念品的数量不少于纪念品数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的应用
【解答】解：（1）设纪念品的单价为元，则纪念品的单价为元，
根据题意得：，
解得，
经检验是原方程的根，
，
答：纪念品的单价为30元，纪念品的单价为20元；
（2）设总费用为元，计划购买纪念品件，则纪念品件，
根据题意，，
与的函数关系式为；
纪念品的数量不少于纪念品数量的2倍，
，
解得，
为整数，
最小值取267；
在中，随的增大而增大，
当时，取最小值，最小值为（元，
，符合题意，
此时，
购买纪念品267件，纪念品133件，才能使总费用最少，最少费用为10670元．
42．（2024 大庆）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时），用电低谷时段（简称谷时）次日，峰时电价比谷时电价高0.2元度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．
【考点】分式方程的应用
【解答】解：设该市谷时电价为元度，则该市峰时电价为元度，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：该市谷时电价为0.3元度．
43．（2024 泰安）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人．甲组每天加工3000件农产品，乙组每天加工2700件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人？
【考点】分式方程的应用
【解答】解：设甲组有名工人，则乙组有名工人，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：甲组有20名工人，乙组有15名工人．
44．（2024 雅安）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务．
（1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？
（2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元．该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用
【解答】解：（1）设原计划每天铺设管道米，则实际每天铺设管道米，
根据题意得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，且符合题意，
，
则原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米；
（2）设该公司原计划应安排名工人施工，（天，
根据题意得：，
解得：，
不等式的最大整数解为8，
则该公司原计划最多应安排8名工人施工．
45．（2024 赤峰）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．
（1）求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；
（2）为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？
【考点】一次函数的应用；分式方程的应用
【解答】解：（1）由题意，设甲队平均每天修复公路千米，则乙队平均每天修复公路千米，
则，
．
经检验，是原方程的解．
．
答：甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米．
（2）设甲队工作时间为天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路千米，
由题意得，．
又，
．
又，
随的增大而减小．
当时，有最大值，最大值为．
答：15天的工期，两队最多能修复公路105千米．
46．（2024 威海）某公司为节能环保，安装了一批型节能灯，一年用电16000千瓦时．后购进一批相同数量的型节能灯，一年用电9600千瓦时．一盏型节能灯每年的用电量比一盏型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦时．求一盏型节能灯每年的用电量．
【考点】分式方程的应用
【解答】解：设一盏型节能灯每年的用电量为千瓦时，则一盏型节能灯每年的用电量为千瓦时，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（千瓦时）．
答：一盏型节能灯每年的用电量为160千瓦时．
47．（2024 扬州）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进、两种机器，型机器比型机器每天多处理40吨垃圾，型机器处理500吨垃圾所用天数与型机器处理300吨垃圾所用天数相等．型机器每天处理多少吨垃圾？
【考点】分式方程的应用
【解答】解：设型机器每天处理吨垃圾，则型机器每天处理吨垃圾，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：型机器每天处理60吨垃圾．
48．（2024 云南）某旅行社组织游客从地到地的航天科技馆参观，已知地到地的路程为300千米，乘坐型车比乘坐型车少用2小时，型车的平均速度是型车的平均速度的3倍，求型车的平均速度．
【考点】分式方程的应用
【解答】解：设型车的平均速度是千米小时，则型车的平均速度是千米小时，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：型车的平均速度是100千米小时．
49．（2024 重庆）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．
（1）为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？
（2）经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？
【考点】二元一次方程组的应用；分式方程的应用
【解答】解：（1）设该企业有条甲类生产线，条乙类生产线，
根据题意得；，
解得：．
答：该企业有10条甲类生产线，20条乙类生产线；
（2）设购买更新1条乙类生产线的设备需投入万元，则购买更新1条甲类生产线的设备需投入万元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：还需投入1330万元资金更新生产线的设备．
50．（2024 重庆）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用、两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要、两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知种外墙漆每千克的价格比种外墙漆每千克的价格多2元．
（1）求、两种外墙漆每千克的价格各是多少元？
（2）已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？
【考点】二元一次方程组的应用；分式方程的应用
【解答】解：（1）设种外墙漆每千克的价格是元，种外墙漆每千克的价格是元，
根据题意得：，
解得：．
答：种外墙漆每千克的价格是26元，种外墙漆每千克的价格是24元；
（2）设甲每小时粉刷外墙的面积是平方米，则乙每小时粉刷外墙的面积是方米，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米．
51．（2024 自贡）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．
【考点】分式方程的应用
【解答】解：设乙组同学平均每小时包个粽子，则甲组同学平均每小时包个粽子，
根据题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，
．
答：甲组同学平均每小时包100个粽子，乙组同学平均每小时包80个粽子．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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