2024-2025学年福建省部分优质高中高二（上）入学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为( )
A. B. C. D.
2.已知和是相互垂直的单位向量，则( )
A. B. C. D.
3.如图，在平行六面体中，点，分别为，的中点，则( )
A. B.
C. D.
4.已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D.
5.如图所示，正方体的棱长为，点，，分别为，，的中点，则下列说法正确的是( )
A. 直线与直线垂直 B. 直线与平面平行
C. 三棱锥的体积为 D. 直线与平面所成的角为
6.已知，分别是正四面体中棱，的中点，若点满足，则与夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.如图，在棱长为的正方体中，点，分别在线段和上，则下列结论中错误的结论( )
A. 的最小值为
B. 四面体的体积为
C. 有且仅有一条直线与垂直
D. 存在点，，使为等边三角形
8.在正四面体中，点在棱上，满足，点为线段上的动点，则( )
A. 存在某个位置，使得
B. 存在某个位置，使得
C. 存在某个位置，使得直线与平面所成角的正弦值为
D. 存在某个位置，使得平面与平面夹角的余弦值为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.直线的方向向量为，两个平面，的法向量分别为，则下列命题为真命题的是( )
A. 若，则直线平面
B. 若，则平面平面
C. 若，则平面，所成锐二面角的大小为
D. 若，则直线与平面所成角的大小为
10.下列说法错误的是( )
A. 若，，，是空间任意四点，则有
B. 若，则存在唯一的实数，使得
C. 若共线，则
D. 对空间任意一点与不共线的三点，，，若其中，，，则，，，四点共面
11.在棱长均为的三棱柱中，，点满足，其中，，，则下列说法一定正确的有( )
A. 当点为三角形的重心时，
B. 当时，的最小值为
C. 当点在平面内时，的最大值为
D. 当时，点到的距离的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设为实数，已知，，，若，则的值为______．
13.平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，数学中我们经常会用到类比的方法，把平面向量推广到空间向量，利用空间向量表示空间点、直线、平面等基本元素，经过研究发现，平面向量中的加减法、数乘与数量积运算法则同样也适用于空间向量在四棱锥中，已知是平行四边形，，，，且面，则向量在向量方向上的投影向量是______结果用表示
14.如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动设，，给出下列四个结论：
存在点，，使；
存在点，，使；
到直线和的距离相等的点有无数个；
若，则四面体体积的最大值为；
其中所有正确结论的序号是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点，点在线段上，且．
证明：平面．
求二面角的正弦值．
16.本小题分
在长方体中，点，分别在，上，且，．
求证：平面平面；
当，，求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，，平面平面．
求证：平面；
若，点在棱上，且二面角的大小为．
求证：；
设是直线上的点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
18.本小题分
瀑布图是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”图
埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为，定义正方形，，，的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为，，将极点，，分别与正方形的顶点连线，取其中点记为，，，，，，如图埃舍尔多面体可视部分是由个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图我们构造了其中两个四棱锥与
求异面直线与成角余弦值；
求平面与平面的夹角正弦值；
求埃舍尔体的表面积与体积直接写出答案．
19.本小题分
如图，在平行四边形中，，，为的中点将沿折起，连接与，如图．
当为何值时，平面平面？
设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径．
参考答案
1.
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.证明：平面平面，平面平面，，
平面，
在中，，，，
且，是等腰直角三角形，
，，
，，
又，为等腰直角三角形，，
∽，，
又，，
平面，平面，
平面．
解：由得平面，且，所以建立如图所示空间直角坐标系，
，，，
，．
设平面的法向量为，则，
令，则，，，
平面的法向量为，
设二面角的平面角为，
则，
则．
16.解：证明：为长方体，
平面 ， 平面 ，，
又 ，且，，平面，
平面， 平面，
平面平面；
建系如图， ，
，，，，，
，
设平面的法向量为，
则，即，取．
设平面的法向量为，
则，取，
设平面与平面的夹角为，
则，
平面与平面的夹角的余弦值为．
17.解：证明：在四棱锥中，
因为底面为矩形，所以．
因为平面平面，平面平面 ， 平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，，平面，且，
所以平面．
证明：以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，
因为点在棱上，所以设或显然不满足题设，
因为，所以，
所以，
设平面的一个法向量，
则，即，
取，则，
所以，是平面的一个法向量，
所以，
因为二面角的大小为，所以，
即，解得，
此时，，
，所以，
所以，即．
因为是直线上的点，所以设，
由可得，所以，平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则，
令，，则，
则，
当时，，
当时，，
令，则，则，
所以当，即，时，，
即直线与平面所成角的正弦值的最大值为．
18.解：由题意可知，，，两两垂直，且，
分别以的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则由题意可得：，，，，
，，，，
又，分别是，的中点，，．
，，
，
异面直线与成角余弦值为；
由可得，，，，
设是平面的一个法向量，
则，，取，
设是平面的一个法向量，
则，，取，
，
平面与平面的夹角正弦值为；
，，，
，，，
，
，且，
四边形为平行四边形，
又，，
四边形为菱形，又，，
，
设是平面的一个法向量，
则，取，
又，
点到平面的距离，
四棱锥的体积，
，，，
在方向上的投影为，
点到直线的距离，
同理可得点到直线的距离，
四棱锥的侧面积，
埃舍尔体的表面积为，体积为．
19.解：连接，由题意得，，，
则为等边三角形，，
在中，，，，
由余弦定理得，
所以，由，
则，故BE，
若平面平面，
由平面平面，平面，，
则平面，平面，则，
所以，
下面证明当时，平面平面，
证明：由，则，
所以，又，，，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，
故当时，平面平面；
由知，，则平面平面．
在平面内过作，
由平面平面，平面，
则平面，平面，则．
如图，以点为原点，以，，所在直线分别为，，轴，过垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
故，
由，
，
因为轴垂直平面，故可取平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
所以，
化简得，
解得或舍去，
故当时，存在，使直线与平面所成角的正弦值为；
设点到平面的距离为，
由，其中为定值，
则要使三棱锥的体积最大时，则点到平面的距离取最大，
取中点，连接，则，
当平面时，点到平面的距离最大，
此时，由平面，则平面平面，
由知，，为直角三角形，．
则，
，
，
在中，，，，取中点，
则，且，
所以，
设内切球球心为，内切球半径为，由等体积法知，
其中，，
故，
故当三棱锥的体积最大时，三棱锥的内切球的半径为．
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