2024-2025学年湖北省黄冈中学高一实验班上学期第一次练习
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，则满足的集合的个数为( )
A. B. C. D.
2.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.若函数的值域是，则函数的值域是( )
A. B. C. D.
4.已知函数定义域为，则定义域是( )
A. B. C. D.
5.设函数，则( )
A. B. C. D.
6.已知命题，命题：不等式的解集为，则成立是成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.若函数的值域为，则实数的取值范围是 ．
A. B.
C. D.
8.已知定义在上的函数，在上单调递减，且对任意的，总有，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题，其中正确的命题是( )
A. 函数的最小值为
B. 若，则的值为
C. 函数的减区间是
D. 已知在上是增函数，若，则
10.定义运算，设函数，则下列命题正确的有( )
A. 的值域为
B. 的值域为
C. 不等式成立的的取值范围是
D. 不等式成立的的取值范围是
11.已知正数，，满足，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数是定义在区间上的奇函数，则
13.函数的值域为 ．
14.设、分别是方程与的根，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，全集
若，求；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
若的定义域为，求实数的取值范围；
若的值域为，求实数的取值范围．
17.本小题分
某企业现有，两条生产线，根据市场调查，生产线的利润单位：万元与投入金额单位：万元的关系式为，，生产线的利润单位：万元与投入金额单位：万元的关系式为，假定且．
求实数，，的值；
该企业现有万元资金全部投入，两条生产线中，问：怎样分配资金，才能使企业获得最大利润？并求出最大利润．
18.本小题分
已知函数为对数函数，并且它的图象经过点，函数在区间上的最小值为，其中．
求函数的解析式；
求函数的最小值的表达式；
是否存在实数同时满足以下条件：；当的定义域为时，值域为若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19.本小题分
若在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”．
函数是否有“飘移点”？请说明理由；
证明函数在上有“飘移点”；
若函数在上有“飘移点”，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：当 时， ，
所以 或 ，又 ，
所以 ．
由题可得：当 时，有 ，
解得的取值范围为 ，此时满足题意 ；
当 时，根据，有 ，解得的取值范围为 ，
综上所述的取值范围为 ．
16.解：函数的定义域为，
即在上恒成立，
当时，得或．
当时，显然在上不能恒成立，故舍去；
当时，恒成立；
当，即时，需满足方程无实数解且，
则解得或．
综上可得，实数的取值范围为．
设的值域为，
的函数值要取遍所有的正数，
即是值域的子集．
当时，得或．
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，函数为二次函数，
即函数的图象与轴有交点且开口向上，
即方程有实数解且，
则，解得．
综上可知，实数的取值范围为．
17.解：因为，，
，，
所以，，，
所以，
所以， ；
设生产线投入万元，则生产线投入万元，设企业获得利润为，
则
，，
所以，
所以，
所以，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以生产线投资万元，生产线投资万元时，企业获得利润最大，利润的最大值为为万元．
18.解：设且，
的图象经过点，
即，
所以，，
解得，
所以；
设，，
在上单调递增，
，
即，所以，
则
，
对称轴为，
当时，在上单调递增，
；
当时，在上单调递减，在上单调递增，；
当时，在上单调递减，
，
综上所述，；
不存在，理由如下：
， ，
的定义域为，值域为，
且为减函数，
两式相减得，
，，
得，
但这与“”矛盾，
故满足条件的实数不存在．
19.解：假设函数有“飘移点”，则，
即由此方程无实根，与题设矛盾，
所以函数没有飘移点；
令，
所以，所以，
所以在上至少有一个实根，
即函数在 上有“飘移点”；
若在上有飘移点，
所以成立，
即，
整理得，
从而关于的函数在上应有实数根，
当时，方程的根为，不符合要求；
当时，由于函数的对称轴，
可知只需，
所以，即；
当时，由于函数的对称轴，
可知，只需，即，，这样的不存在；
综上，的范围是
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