三角形的外角
【A层 基础夯实】
知识点1 三角形的外角性质
1.如图,∠A=40°,∠CBD是△ABC的外角,∠CBD=120°,则∠C的大小是 (B)
A.90° B.80° C.60° D.40°
2.如果将一副三角板按如图的方式叠放,则∠1的度数为 (A)
A.105° B.120° C.75° D.45°
3.如图,在△ABC中,BE是角平分线,∠ABC=62°,CD是高,CD与BE交于点O.求∠BOC的度数.
【解析】∵CD是△ABC的高,∴∠CDB=90°,
∵∠ABC=62°,BE是△ABC的角平分线,
∴∠ABE=∠ABC=×62°=31°,
∴∠BOC=∠CDB+∠ABE=90°+31°=121°.
4.如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,点D,E分别在边BC,AC上.若∠ADE=∠B,求证:∠BAD=∠CDE.
【证明】∵∠ADC是△ABD的外角,
∴∠ADC=∠B+∠BAD,
∴∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD,
又∵∠ADE=∠B,∴∠BAD=∠CDE.
知识点2 三角形外角性质与其他知识的综合应用
5.(2023·重庆期中)如图,将一副三角板按如图方式叠放,则角α等于 (A)
A.165° B.135° C.105° D.75°
6.(2024·北京期中)如图,BD是△ABC的角平分线,过点D作DE∥BC交AB于点E.若∠A=36°,∠BDC=76°,则∠BDE= 40 °.
7.如图,在△ABC中,∠ABC=110°,点D在AC上,将△ABD沿BD折叠,点A落在BC上的点E处,若∠EDC=25°,则∠C的度数为 22.5° .
8.(教材再开发·P17T8变式)如图,已知D是△ABC边BC延长线上一点,DF交AC于点E,∠A=35°,∠ACD=83°.
(1)求∠B的度数;
【解析】(1)∵∠ACD是△ABC的一个外角,
∠A=35°,∠ACD=83°,
∴∠B=∠ACD-∠A=48°.
(2)若∠D=42°,求∠AFE的度数.
【解析】(2)∵∠AFE是△BDF的一个外角,∠B=48°,∠D=42°,
∴∠AFE=∠B+∠D=48°+42°=90°.
【B层 能力进阶】
9.(生活情境)如图为商场某品牌椅子的侧面图,∠DEF=120°,DE与地面平行,∠ABD=50°,则∠ACB= (A)
A.70° B.65° C.60° D.50°
10.如图,AB∥CD,则下列各式子计算结果等于180°的是 (D)
A.∠1+∠2+∠3 B.∠2-∠1+∠3
C.∠1-∠2+∠3 D.∠1+∠2-∠3
11.如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,将其折叠,使点A落在边BC上A1处,折痕为CD,则∠A1DB的度数为 10 °.
12.如图,在由线段AB,CD,DF,BF,CA组成的平面图形中,∠D=28°,则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为 208° .
13.在△ABC中,∠BAC=60°,∠ACB=2∠B,AD平分∠BAC交BC于点D,
(1)求∠B的度数;
【解析】(1)∵∠BAC=60°,
∴∠B+∠ACB=180°-60°=120°,
∵∠ACB=2∠B,
∴∠B+2∠B=120°,即3∠B=120°,
∴∠B=40°;
(2)如图①,若CE⊥AD于点F,交AB于点E,求∠ECD的度数;
【解析】(2)∵AD平分∠BAC,∠BAC=60°,
∴∠BAD=∠CAD=30°,
∵CE⊥AD,
∴∠AFC=∠AFE=90°,
∴∠AEC=∠ACE=60°,
∴∠B+∠ECB=60°,
∵∠B=40°,
∴∠ECD=60°-40°=20°;
(3)如图②,若CE平分∠ACB交AB于点E,交AD于点F,求∠AFC的度数.
【解析】(3)∵AD平分∠BAC,∠BAC=60°,
∴∠BAD=∠CAD=30°,
∵∠B=40°,∠ACB=2∠B,
∴∠ADC=∠B+∠BAD=40°+30°=70°,∠ACB=80°,
∵CE平分∠ACB,
∴∠BCE=∠ACB=40°,
∴∠AFC=∠ADC+∠BCE=70°+40°=110°.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(几何直观、推理能力、模型观念)如图,∠MON=90°,点A,B分别在射线OM,ON上运动,BE平分∠NBA,BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C.
(1)当A,B移动后,∠BAO=45°时,则∠C= ;
【解析】本题考查三角形外角和角平分线性质相结合.
(1)根据三角形的外角性质,∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+45°=135°,
∵BE平分∠NBA,AC平分∠BAO,
∴∠ABE=∠ABN=67.5°,∠BAC=∠BAO=22.5°,
∴∠C=∠ABE-∠BAC=45°;
答案:45°
(2)当A,B移动后,∠BAO=60°时,则∠C= ;
【解析】本题考查三角形外角和角平分线性质相结合.
(2)根据三角形的外角性质,∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+60°=150°,
∵BE平分∠NBA,AC平分∠BAO,
∴∠ABE=∠ABN=75°,∠BAC=∠BAO=30°,
∴∠C=∠ABE-∠BAC=75°-30°=45°;
答案:45°
(3)由(1)(2)猜想∠C是否随A,B的移动而发生变化 并说明理由.
【解析】本题考查三角形外角和角平分线性质相结合.
(3)∠C不会随A,B的移动而发生变化.
理由如下:根据三角形的外角性质,∠ABN=∠AOB+∠BAO,
∵BE平分∠NBA,AC平分∠BAO,
∴∠ABE=∠ABN,∠BAC=∠BAO,
∴∠C=∠ABE-∠BAC=(∠AOB+∠BAO)-∠BAO=∠AOB,
∵∠MON=90°,∴∠AOB=∠MON=90°,∴∠C=45°.三角形的外角
【A层 基础夯实】
知识点1 三角形的外角性质
1.如图,∠A=40°,∠CBD是△ABC的外角,∠CBD=120°,则∠C的大小是 ( )
A.90° B.80° C.60° D.40°
2.如果将一副三角板按如图的方式叠放,则∠1的度数为 ( )
A.105° B.120° C.75° D.45°
3.如图,在△ABC中,BE是角平分线,∠ABC=62°,CD是高,CD与BE交于点O.求∠BOC的度数.
4.如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,点D,E分别在边BC,AC上.若∠ADE=∠B,求证:∠BAD=∠CDE.
知识点2 三角形外角性质与其他知识的综合应用
5.(2023·重庆期中)如图,将一副三角板按如图方式叠放,则角α等于 ( )
A.165° B.135° C.105° D.75°
6.(2024·北京期中)如图,BD是△ABC的角平分线,过点D作DE∥BC交AB于点E.若∠A=36°,∠BDC=76°,则∠BDE= °.
7.如图,在△ABC中,∠ABC=110°,点D在AC上,将△ABD沿BD折叠,点A落在BC上的点E处,若∠EDC=25°,则∠C的度数为 .
8.(教材再开发·P17T8变式)如图,已知D是△ABC边BC延长线上一点,DF交AC于点E,∠A=35°,∠ACD=83°.
(1)求∠B的度数;
(2)若∠D=42°,求∠AFE的度数.
【B层 能力进阶】
9.(生活情境)如图为商场某品牌椅子的侧面图,∠DEF=120°,DE与地面平行,∠ABD=50°,则∠ACB= ( )
A.70° B.65° C.60° D.50°
10.如图,AB∥CD,则下列各式子计算结果等于180°的是 ( )
A.∠1+∠2+∠3 B.∠2-∠1+∠3
C.∠1-∠2+∠3 D.∠1+∠2-∠3
11.如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,将其折叠,使点A落在边BC上A1处,折痕为CD,则∠A1DB的度数为 °.
12.如图,在由线段AB,CD,DF,BF,CA组成的平面图形中,∠D=28°,则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为 .
13.在△ABC中,∠BAC=60°,∠ACB=2∠B,AD平分∠BAC交BC于点D,
(1)求∠B的度数;
(2)如图①,若CE⊥AD于点F,交AB于点E,求∠ECD的度数;
(3)如图②,若CE平分∠ACB交AB于点E,交AD于点F,求∠AFC的度数.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(几何直观、推理能力、模型观念)如图,∠MON=90°,点A,B分别在射线OM,ON上运动,BE平分∠NBA,BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C.
(1)当A,B移动后,∠BAO=45°时,则∠C= ;
(2)当A,B移动后,∠BAO=60°时,则∠C= ;
(3)由(1)(2)猜想∠C是否随A,B的移动而发生变化 并说明理由.
