（5）计数原理—高二数学北师大版(2019)选择性必修一单元检测卷（A卷）
【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知，则x等于( )
A.6 B.13 C.6或13 D.12
2.有3本不同的科技类书，2本不同的文艺类书.若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一类别的书都不相邻的概率是( )
A. B. C. D.
3.在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则的系数为( )
A.50 B.70 C.90 D.120
4.某学校在校门口建造一个花圃，花圃分为9个区域（如图）.现要在每个区域栽种一种不同颜色的花，其中红色、白色两种花被随机地分别种植在不同的小三角形区域，则它们在不相邻（没有公共边）区域的概率为( )
A. B. C. D.
5.若的展开式中各项的二项式系数之和为512,且第6项的系数最大,则a的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有( )
A.144个 B.120个 C.96个 D.72个
7.如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是( )
A.480 B.720 C.1080 D.1200
8.若，且，则实数m的值可以为( )
A.1或-3 B.-1 C.-1或3 D.-3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.某学校为迎接校园艺术节的到来，决定举行文艺晚会，节目单中有A，B，C，D，E，F，G共7个节目，则下列结论正确的是( )
A.若节目A与节目B相邻，则共有1440种不同的安排方法
B.若节目E与节目F不相邻，则共有3600种不同的安排方法
C.若节目C在节目D之前表演（可以不相邻），则共有2520种不同的安排方法
D.若决定在已经排好的节目单中临时添加3个节目，现有节目次序不变，则共有336种不同的安排方法
10.下列关于排列数与组合数的等式，正确的是( )
A. B. C. D.
11.已知，则( )
A.展开式中所有项的二项式系数和为
B.展开式中系数最大项为第1350项
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，先要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则共有__________种摆放方法.
13.的展开式中，项的系数是__________.（用数字作答）
14.从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成__________个没有重复数字的四位数的偶数.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）在二项式的展开式中，二项式系数最大的项只有一项，且是第4项.
（1）求n的值；
（2）求展开式中所有有理项的系数之和；
（3）把展开式中的项重新排列，求有理项互不相邻的排法种数.
16.（15分）为了某次的航天飞行，现准备从9名预备队员（其中男5人，女4人）中选4人参加航天任务.
（1）若男甲和女乙同时被选中，则共有多少种选法？
（2）若至多2名男航天员参加此次航天任务，则共有几种选法？
（3）若将选中的4名航天员分配到A、B、C三个实验室去，其中每个实验室至少1名航天员，则共有多少种分配方法？
17.（15分）已知的展开式中只有第五项的二项式系数最大.
（1）求该展开式中有理项的项数；
（2）求该展开式中系数最大的项.
18.（17分）求证：
（1）能被7整除；
（2）是64的倍数.
19.（17分）第18届亚洲杯足球赛在卡塔尔举行，已知此次亚洲杯甲裁判组有6名裁判，分别是A，B，C，D，E，F.（以下问题用数字作答）
（1）若亚洲杯组委会邀请甲裁判组派裁判去参加一项活动，必须有人去，去几人由甲裁判组自行决定，问甲裁判组共有多少种不同的安排方法？
（2）若亚洲杯组委会安排这6名裁判担任6场比赛的主裁判，每场比赛只有1名主裁判，每名裁判只担任1场比赛的主裁判，根据回避规则，其中A不担任第一场比赛的主裁判，C不担任第三场比赛的主裁判，问共有多少种不同的安排方法？
（3）若亚洲杯组委会将这6名裁判全部安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判，每名裁判只参加1项活动，问共有多少种不同的安排方法？
答案以及解析
1.答案：A
解析：因为，所以，所以，解得或（不合题意，舍去）.故选A.
2.答案：B
解析：先将5本书全排列，有种排法.若同一类别的书都不相邻，则先将3本科技类书排序，然后将2本文艺类书插入中间的2个空，有种排法，所以同一类别的书都不相邻的概率.故选B.
3.答案：C
解析：在中，令得，即展开式中各项系数和为.又展开式中的二项式系数和为，由题意得，解得.故的展开式的通项为.令，得，则，所以的系数为90.故选C.
4.答案：D
解析：将每个区域种不同颜色的花，有种方法，这9个区域中相邻的区域有9组（1与3，2与3，3与4，2与6，4与8，5与6，6与7，7与8，8与9），所以红色、白色种在相邻区城有种方法，所以红色、白色在不相邻（没有公共边）区域的概率为.故选D.
5.答案：C
解析：,,,,,
第6项的系数最大, ,则.
6.答案：B
解析：根据题意，符合条件的五位数的首位数字必须是4，5中的1个，末位数字是0，2，4中的1个.分2种情况讨论：
①首位数字为5时，末位数字有3种情况，再在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有（种）情况，此时有（个）满足条件的偶数；②首位数字为4时，末位数字有2种情况，再在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有（种）情况，此时有（个）满足条件的偶数.综上可知，共有（个）符合题意的偶数.故选B.
7.答案：D
解析：先给O涂色，有种方法，接着给A涂色，有种方法，接着给B涂色，有种方法.
①若C与A同色，则有1种涂色方法，接着给D涂色，有3种涂色方法，最后E有2种涂色方法.
②若C与A不同色，则有2种涂色方法，接着给D涂色，
若D与A同色，则有1种涂色方法，最后E有3种涂色方法；
若D与A不同色，则有2种涂色方法，最后E有2种涂色方法.
综上，涂色方法种数为.故选D.
8.答案：A
解析：在中，
令可得，即，
令，可得.
，，，
整理得，解得或.故选A.
9.答案：ABC
解析：若节目A与节目B相邻，共有种不同的安排方法，故A正确；
若节目E与节目F不相邻，共有种不同的安排方法，故B正确；
因为节目C在节目D之前表演与节目D在节目C之前表演的情况是一样的，
所以共有种不同的安排方法，故C正确；
添加第一个节目有8种情况，添加第二个节目有9种情况，添加第三个节目有10种情况，
共有种不同的安排方法，故D错误.
故选：ABC.
10.答案：ABD
解析：对于A项，.，故正确；对于B项，，，，.，故正确；对于C项，，故错误；对于D项，，故正确.选ABD.
11.答案：AD
解析：易知的展开式中所有项的二项式系数和为，故A正确；
由二项展开式的通项，知，所以第1350项的系数为，所以第1350项不是系数最大的项，故B错误；
当时，①，
当时，②，
，可得，故C错误；
当时，，当时，，所以，故D正确.故选AD.
12.答案：16
解析：由于红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则红色菊花两边各一盆白色菊花和黄色菊花，故有（种）摆放方法.
13.答案：-25
解析：因为，其展开式的通项为.
所以当，即时，求展开式的项，故此时的系数是；
当，即时，求展开式的常数项，故此时的系数是.
综上可得，项的系数是.
14.答案：198
解析：当选0时，0只能排在个位、十位、百位三个位置之一.当个位为0时，从2，4，6中再取1个数字，有3种方法，然后从1，3，5中任取2个数字，即排除1个数字，有3种方法，将取得的3个数字在十、百、千位上任意排列，共有6种不同的排列方式，故根据分步乘法计数原理，有（种）方法.
当十位或百位为0时，有2种方法，从2，4，6中再取1个数字放置在个位，有3种方法，然后从1，3，5中任取2个数字，即排除1个数字，有3种方法，将这2个数字在其余两位上任意排列，共有2种排列方式，故根据分步乘法计数原理，有（种）方法.
当没有选0时，从2，4，6中任取1个数字放置在个位，有3种方法，再从其余的2个非零偶数中任取1个数字，有2种方法，从1，3，5中任取2个数字，有3种方法，将这3个数字在除个位之外的十、百、千位三个位置上任意排列，有6种不同的方法，故根据分步乘法计数原理，有（种）方法.
根据分类加法计数原理，一共可以组成（个）没有重复数字的四位数的偶数.
15.答案：（1）
（2）32
（3）144种
解析：（1）由题意知，所以.
（2）二项式的展开式的通项为，
当时，x的次数为整数，对应的项为有理项.
于是展开式中有理项共有四项，分别为第1项、第3项、第5项、第7项，
所以展开式中所有有理项的系数之和为（或）.
（3）展开式共有7项，其中4项为有理项，3项为无理项.
将无理项排列，有种排法，
将有理项插空排列，有种排法，
故有理项互不相邻的排法共有（种）.
16.答案：（1）21种
（2）81种
（3）4536种
解析：（1）若男甲和女乙同时被选中，从其余7人中任选2人，则共有种选法.
（2）若没有男航天员参加此次航天任务，则有种选法；
若恰有1名男航天员参加此次航天任务，则有种选法；
若恰有2名男航天员参加此次航天任务，则有种选法.
所以共有种选法.
（3）先从9名航天员中任选4人，有种选法，
将选出的4人按照分成三组，有种分法，
将三组航天员分到A、B、C三个实验室去，有种方法，
所以一共有种分配方法.
17.答案：（1）5项
（2）和
解析：（1）由题意可得，解得，
则的展开式的通项为，，.
求展开式中的有理项，需令，所以，所以有理项共有5项.
（2）设第项的系数最大，则
即解得，
因为，所以或.
当时，，
当时，，
所以展开式中系数最大的项为和.
18.答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）证明：，
易知除了以外的各项都能被7整除.
又
，
显然上式能被7整除，能被7整除.
（2）证明：
，
是64的倍数.
19.答案：（1）63种
（2）504种
（3）540种
解析：（1）由题意知，可去1，2，3，4，5，6名裁判，
所以共有（种）不同的安排方法.
（2）这6名裁判担任6场比赛的主裁判，每场比赛只有1名主裁判，每名裁判只担任1场比赛的主裁判，共有种方法，
A担任第一场比赛的主裁判的方法数为；
C担任第三场比赛的主裁判的方法数为；
A担任第一场比赛的主裁判的同时C担任第三场比赛的主裁判的方法数为.
所以A不担任第一场比赛的主裁判且C不担任第三场比赛的主裁判，共有（种）不同的安排方法.
（3）亚洲杯组委会将这6名裁判全部安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判，每名裁判只参加1项活动，则分类如下：
①这6名裁判分为1人，1人，4人这三组，共有（种）不同的安排方法；
②这6名裁判分为1人，2人，3人这三组，共有（种）不同的安排方法；
③这6名裁判分为2人，2人，2人这三组，共有（种）不同的安排方法.
综上所述，组委会将这6名裁判全部安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判，每名裁判只参加1项活动，共有（种）不同的安排方法.
