11.1.1 平方根考点训练
班级： 姓名：
【考点一 求一个数的平方根】
例1．（20-21九年级下·湖北武汉·自主招生）的平方根是（ ）
A．4 B．4或 C．2 D．2或
变式1-1．（21-22七年级下·广西百色·期中）下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是 B．的算术平方根是
C．的平方根是 D．0的平方根与算术平方根都是0
变式1-2．（22-23八年级下·山东淄博·期中）计算： ．
【考点二 平方根的性质与数轴的综合】
例2．（23-24八年级上·辽宁朝阳·期末）已知实数a，b，c所对应的点在数轴上的位置如图所示．
化简： ．
变式2-1．（23-24八年级上·四川眉山·阶段练习）实数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，化简
变式2-2．（23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）如图，实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果．
【考点三 根据平方根的性质求字母的值】
例3．（22-23八年级下·四川南充·期末）若的值是3，那么a的值是（ ）
A．9 B．3 C．﹣3 D．±3
变式3-1．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）若一个正数的两个平方根分别是与，则m的值是 ．
变式3-2．（23-24八年级上·湖南郴州·阶段练习）若是x的一个平方根．则x的值是 ．
【考点四 根据非负性求解】
例4．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）若，求的值是 ．
变式4-1（22-23八年级下·江苏宿迁·阶段练习）若、为实数，且满足，则的值为 ．
变式4-2．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中），那么的值是 ．
变式4-3．（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）已知，求：
(1)x和y的值；
(2)的算术平方根．
【考点五 利用平方根的性质解方程】
例5．（23-24八年级上·北京东城·期中）若，则a的值为（ ）
A． B． C．6 D．3
变式5-1．（22-23八年级上·河南鹤壁·期中）若，则的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
变式5-2．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）求下列各式中x的值．
(1)；
(2)；
(3)．
【考点六 根据平方根与算术平方根的概念求值】
例6．（2023八年级上·全国·专题练习）已知正数的两个不同的平方根分别是 和， 的算术平方根是4．
(1)求a，b的值；
(2)求 的平方根．
变式6-1．（21-22七年级下·吉林长春·期中）已知．
(1)如果x的算术平方根为4，求a的值；
(2)如果x，y是同一个正数的两个不同的平方根，求这个正数．
变式6-2．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）已知的平方根为，的算术平方根为4．
(1)求，的值；
(2)若和是连续的整数，且，求的值．
【考点七 估算算术平方根的取值范围】
例7．（23-24八年级上·湖南郴州·阶段练习）若面积为5的正方形的边长为x，那么x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式7-1．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）估计的值（ ）
A．在和之间 B．在和之间 C．在和之间 D．在和之间
变式7-2．（22-23七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知a，b为两个连续的整数，且，则 ．
变式7-3．（21-22七年级下·福建厦门·阶段练习）已知，若是整数，则＝ ．
【考点八 求算术平方根的整数部分与小数部分】
例8．（20-21七年级上·山东泰安·阶段练习）的整数部分是 ．小数部分是 ．
变式8-1．（22-23八年级上·全国·单元测试）若的整数部分是，小数部分为，则 ．
变式8-2．（22-23八年级下·甘肃庆阳·期末）已知．
(1)求x，y的值；
(2)求的整数部分．
【考点九 与算术平方根有关的规律探究问题】
例9．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
变式9-1．（23-24八年级上·四川宜宾·阶段练习）已知，，则 ．
变式9-2．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）先填写表，通过观察后再回答问题：
a … 1 100 10000 …
… x 1 y 100 …
(1)表格中_______，________；
(2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面问题：已知，则________；
(3)试比较与a的大小．（提示：在的前提下分三种况讨论）
【考点十 平方根的应用】
例10．（22-23七年级上·云南·期末）勤俭节约是中国人民的传统美德，涛涛的爷爷是能工巧匠，他先做了一张边长为的正方形桌子，结果涛涛说桌子太大，想让爷爷做成面积为的桌子，于是爷爷在原有桌子的基础上，在两边等距消去宽为的阴影部分，于是空白部分成为了涛涛想要的为的桌子，请问的长度为多少？
变式10-1．（23-24八年级上·吉林长春·期末）一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若，则或．
(1)根据上述平方根的意义，试求方程的解．
(2)自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系是，若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间．
变式10-2．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期中）物体自由下落的高度（单位：）与下落时间t（单位：）的关系是．如果有一个物体从高的建筑物上自由落下，到达地面需要多长时间？
参考答案
【考点一 求一个数的平方根】
例1．（20-21九年级下·湖北武汉·自主招生）的平方根是（ ）
A．4 B．4或 C．2 D．2或
【答案】D
【详解】解：∵，
∴的平方根是，
故选：D．
变式1-1．（21-22七年级下·广西百色·期中）下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是 B．的算术平方根是
C．的平方根是 D．0的平方根与算术平方根都是0
【答案】D
【详解】解：A、负数没有平方根，故原说法错误，不符合题意；
B、负数没有算术平方根，故原说法错误，不符合题意；
C、，的平方根是，故原说法错误，不符合题意；
D、0的平方根与算术平方根都是0，故原说法正确，符合题意；
故选：D．
变式1-2．（22-23八年级下·山东淄博·期中）计算： ．
【答案】
【详解】解：，
故答案为：．
【考点二 平方根的性质与数轴的综合】
例2．（23-24八年级上·辽宁朝阳·期末）已知实数a，b，c所对应的点在数轴上的位置如图所示．
化简： ．
【答案】a
【详解】解：由题中数轴可知，，，，且，
∴，，，
∴，
故答案为：．
变式2-1．（23-24八年级上·四川眉山·阶段练习）实数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，化简
【答案】
【详解】解：由数轴可知：，
，
，
，，
变式2-2．（23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）如图，实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果．
【答案】
【详解】解：观察数轴得：，
．
【考点三 根据平方根的性质求字母的值】
例3．（22-23八年级下·四川南充·期末）若的值是3，那么a的值是（ ）
A．9 B．3 C．﹣3 D．±3
【答案】A
【详解】解：，
，
故选：A．
变式3-1．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）若一个正数的两个平方根分别是与，则m的值是 ．
【答案】1
键．根据平方根的定义可得，求解即可获得答案．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与，
∴，
解得：，
故答案为：1．
变式3-2．（23-24八年级上·湖南郴州·阶段练习）若是x的一个平方根．则x的值是 ．
【答案】
【详解】解：∵是x的一个平方根，
∴，
故答案为：．
【考点四 根据非负性求解】
例4．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）若，求的值是 ．
【答案】7
【详解】解：由题可得且，
即且，
∴，
即=1，
∴，
故答案为：7．
变式4-1（22-23八年级下·江苏宿迁·阶段练习）若、为实数，且满足，则的值为 ．
【答案】1
【详解】解：∵
又∵，，
∴可有，解得，
∴．
故答案为：1．
变式4-2．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中），那么的值是 ．
【答案】
【详解】解：∵，
又∵，，，
∴，，，
∴，，，
∴．
故答案为：．
变式4-3．（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）已知，求：
(1)x和y的值；
(2)的算术平方根．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵，
，
∴；
（2）∵
∴，
∴的算术平方根是．
【考点五 利用平方根的性质解方程】
例5．（23-24八年级上·北京东城·期中）若，则a的值为（ ）
A． B． C．6 D．3
【答案】A
【详解】解：∵，
∴，即，
∴；
故选A
变式5-1．（22-23八年级上·河南鹤壁·期中）若，则的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【详解】解：，
，
移项、合并同类项得，
直接开平方得，
故选：C．
变式5-2．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）求下列各式中x的值．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【详解】（1）
解得；
（2）
解得；
（3）
或
解得，．
【考点六 根据平方根与算术平方根的概念求值】
例6．（2023八年级上·全国·专题练习）已知正数的两个不同的平方根分别是 和， 的算术平方根是4．
(1)求a，b的值；
(2)求 的平方根．
【详解】（1）解：正数的两个不同的平方根分别是 和，
，
解得：，
则，
那么，
的算术平方根是4，
，
解得：；
（2）解：
，
那么其平方根为．
变式6-1．（21-22七年级下·吉林长春·期中）已知．
(1)如果x的算术平方根为4，求a的值；
(2)如果x，y是同一个正数的两个不同的平方根，求这个正数．
【详解】（1）解：∵的算术平方根是4，
∴，
∴．
（2）∵，是同一个数的两个不同的平方根，
∴，
解得：，
∵．
∴这个数是25．
变式6-2．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）已知的平方根为，的算术平方根为4．
(1)求，的值；
(2)若和是连续的整数，且，求的值．
【详解】（1）解：的平方根为，的算术平方根为4，
，，
，；
（2）解：，，
，
，
，
，
，，
．
【考点七 估算算术平方根的取值范围】
例7．（23-24八年级上·湖南郴州·阶段练习）若面积为5的正方形的边长为x，那么x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：面积为5的正方形的边长为x，
，
，
，
，
故选A．
变式7-1．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）估计的值（ ）
A．在和之间 B．在和之间 C．在和之间 D．在和之间
【答案】B
【详解】解：，
，
估计的值在和之间，
故选：B．
变式7-2．（22-23七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知a，b为两个连续的整数，且，则 ．
【答案】5
【详解】解：∵，
∴，
∵a，b为两个连续的整数，
∴，
∴，
故答案为：5．
变式7-3．（21-22七年级下·福建厦门·阶段练习）已知，若是整数，则＝ ．
【答案】-1，2，-2.
【详解】解：∵是整数，
∴m是整数，
∵，
∴m2≤4，
∴-2≤m≤2，
∴m=-2，-1，0，1，2
当m=±2或-1时，是整数，
故答案为：-1，2，-2
【考点八 求算术平方根的整数部分与小数部分】
例8．（20-21七年级上·山东泰安·阶段练习）的整数部分是 ．小数部分是 ．
【详解】解：∵，
∴，
∴的整数部分为3，
∴的小数部分为；
故答案为3，．
变式8-1．（22-23八年级上·全国·单元测试）若的整数部分是，小数部分为，则 ．
【详解】∵
∴
∴，
∴
故答案为：．
变式8-2．（22-23八年级下·甘肃庆阳·期末）已知．
(1)求x，y的值；
(2)求的整数部分．
【详解】（1）解：，
，，
，；
（2）解：，
∵
∴，
∴的整数部分是3．
【考点九 与算术平方根有关的规律探究问题】
例9．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵，
∴，
故选：B．
变式9-1．（23-24八年级上·四川宜宾·阶段练习）已知，，则 ．
【详解】∵，
∴，
故答案为：．
变式9-2．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）先填写表，通过观察后再回答问题：
a … 1 100 10000 …
… x 1 y 100 …
(1)表格中_______，________；
(2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面问题：已知，则________；
(3)试比较与a的大小．（提示：在的前提下分三种况讨论）
【详解】（1）解：根据题意得：，，
故答案为：，10；
（2）根据题意得：当扩大100倍时，扩大10倍，
∵，
∴，
故答案为：；
（3）当时，，此时；
当时，根据与数位规律得：；
当时，根据与数位规律得：；
综上所述，当时，；当时，；当时，．
【考点十 平方根的应用】
例10．（22-23七年级上·云南·期末）勤俭节约是中国人民的传统美德，涛涛的爷爷是能工巧匠，他先做了一张边长为的正方形桌子，结果涛涛说桌子太大，想让爷爷做成面积为的桌子，于是爷爷在原有桌子的基础上，在两边等距消去宽为的阴影部分，于是空白部分成为了涛涛想要的为的桌子，请问的长度为多少？
【详解】解：根据题意，得，
解得（不符合题意，舍去）．
故的长度为．
变式10-1．（23-24八年级上·吉林长春·期末）一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若，则或．
(1)根据上述平方根的意义，试求方程的解．
(2)自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系是，若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间．
【详解】（1）解：，
，
∴或；
（2）根据题意，得：，
∴，
∴或（负值不符合题意，舍去），
答：这个物体到达地面所需的时间为秒．
变式10-2．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期中）物体自由下落的高度（单位：）与下落时间t（单位：）的关系是．如果有一个物体从高的建筑物上自由落下，到达地面需要多长时间？
【详解】解：由题意得，
把代入，得，
∵，
∴
∴到达地面需要．
