2024-2025学年古田一中高三第一次模拟考试
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数在R上单调递减，且为奇函数.若，则满足的x的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.命题“，”的否定为( )
A.， B.不存在，
C.， D.，
4.设，，，则a，b，c的大小关系为( ).
A. B. C. D.
5.定义，若关于x的不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是( )
A. B. 或
C. D. 或
7.甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：，，，然后他们三人各用一句话来
()
正确描述“”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：是的必要不充分条件；丙：是的充分不必要条件.则“”表示的数字是( )
A.3或4 B.2或3 C.1或2 D.1或3
8.若对任意的，且，，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知命题，，命题，，若命题p与命题q一真一假，则实数a的可能值为( )
A.5 B. C. D.4
10.对于集合M，N，我们把属于集合M但不属于集合N的元素组成的集合叫作集合M与N的“差集”，记作，即，且；把集合M与N中所有不属于的元素组成的集合叫作集合M与N的“对称差集”，记作，即，且.下列选项正确的有( )
A.若，则 B.若，则
C. D.
11.设函数，则( )
A.当时，有三个零点
B.当时，是的极大值点
C.存在a，b，使得为曲线的对称轴
D.存在a，使得点为曲线的对称中心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.写出一个定义域不为R的奇函数 .
13.已知不等式的解集是，则不等式的解集是__________.
14.已知表示不超过x的最大整数，例如，，.若，，是的充分不必要条件，则m的取值范围是__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）
已知集合，或.
（1）若，求实数m的取值范围；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，且，求实数m的取值范围.
16.（15分）
已知函数f(x)=a。
(1)求f(0);
(2)探究f(x)的单调性,并用函数的单调性定义证明你的结论;
(3)若f(x)为奇函数,求满足f(ax)
已知函数.
（1）若是函数的极值点，求在处的切线方程；
（2）若，求在区间上的最大值.
18.（17分）
为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元.
（1）要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？
（2）是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
19.（17分）
约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为.
（1）当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
（2）当时，若构成等比数列，求正整数；
（3）记，求证：.2024-2025学年古田一中高三第一次模拟考试
数学答案以及解析
二选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B A D D C B C D AC ACD AD
三、填空题
12．（答案不唯一） 13．或 14．
1.答案：B
解析：由题意可得，，则.
2.答案：A
解析：因为函数为奇函数，所以.由，得.又函数在R上单调递减，所以，解得.
3.答案：D
解析：命题“，”的否定为“，”.
4.答案：D
解析：因为，所以，因为，所以.
因为，所以，所以.
5. .答案：C
解析：方法一：等价于，即，所以，解得.
()
方法二：等价于，即.因为，所以，所以.
6.答案：B
解析：由两个正实数x，y满足，得，则，当且仅当，即时取等号.由不等式有解，得，解得或.
7.答案：C
解析：因为此数为小于5的正整数，所以.因为是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，所以，，故且，解得，故“”表示的数字是1或2.故选C.
8.答案：D
解析：由题可知，，因为，且，
所以，
两边同时除以得，即.
设函数，其中，
因为当时，，所以在上单调递减，因为，令，得，当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减，所以.故选D.
9.答案：AC
解析：若p为真q为假，对于，，有，，为假命题，则，为真命题，即，得，所以当p为真q为假时，.若p为假q为真，则，，即，命题q为真命题，则，，所以.综上，若命题p和命题q一真一假，则或.故选AC.
10.答案：ACD
解析：若，则，故A正确.若，则，故B错误.，且，故C正确.和均表示如图所示的阴影部分，故D正确.
11.答案：AD
解析：由题可知，.
对于A，当时，由得，由得或，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且当时，，，，当时，，故有三个零点，A正确；对于B，当时，由得，由得或，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点，B错误；
对于C，当时，，当时，，故曲线必不存在对称轴，C错误；
对于D，解法一：，令，则
可转化为，由为奇函数，且其图象关于原点对称，可知的图象关于点对称，则的图象关于点对称，故存在，使得点为曲线的对称中心，D正确.故选AD.
解法二：任意三次函数的图象均关于点成中心对称，D正确.故选AD.
12．（答案不唯一）
13.答案：或
解析：因为不等式的解集是，所以，且2和3是方程的两个根，
由根与系数的关系，得
解得
因为不等式，所以，即，解得或.
14.答案：
解析：因为表示不超过x的最大整数，所以，，即.因为是的充分不必要条件，所以.又，所以，即m的取值范围是.
四、解答题
15.解析：（1）由，得，
则. 3分
因为，所以解得， 5分
即实数m的取值范围为. 6分
（2）由或，得. 7分
若“”是“”的充分不必要条件，则A是的真子集，
又，所以，
11分
解得，所以实数m的取值范围为. 13分
16．解 (1)f(0)=a-=a-1。 3分
(2)f(x)在R上单调递增。证明如下:
因为f(x)的定义域为R,所以任取x1,x2∈R且x1
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)
所以f(ax)
17．解：（1），又是函数的极值点，
，即 2分
在处的切线方程为，即， 5分
所以在处的切线方程是 6分
（2），令，得，
在单调递减，在单调递增 8分
而 10分
①当，即时， 12分
②当，即时， 14分
综上，当时，；当时， 15分
18.解析：（1）依题意可得调整后研发人员的人数为，年人均投入为万元，
2分
则，解得， 6分
又，，所以调整后的技术人员最多有75人. 7分
（2）假设存在实数m满足条件.
由条件①，得，解得. 9分
又，，所以当时，取得最大值7，所以. 10分
由条件②，得，不等式两边同除以ax， 12分
得，整理得，
因为，当且仅当，
即时等号成立，所以.
综上，得. 16分
故存在实数m满足条件，且实数m的值为7. 17分
19. 解：（1）当时正整数的4个正约数构成等比数列，
比如为8的所有正约数，即. 3分
（2）由题意可知，
因为，依题意可知，所以， 5分
化简可得，所以，
因为，所以，
因此可知是完全平方数. 7分
由于是整数的最小非1因子，是的因子，且，所以，
所以为，
所以. 10分
（3）证明：由题意知，
所以， 11分
因为， 13分
所以
， 15分
因为，所以，
所以，即. 17分
