2024-2025学年吉林省长春市二道区力旺实验中学九年级（上）期初
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式中是分式的是( )
A. B. C. D.
2.随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应是，用科学记数法表示是( )
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是( )
A. B. C. D.
4.若把分式中的、都扩大倍，则分式的值( )
A. 扩大为原来的倍 B. 不变 C. 缩小为原来的倍 D. 缩小为原来的倍
5.已知，是一次函数图象上的两个点，则，的大小关系是( )
A. B. C. D. 不能确定
6.如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，则的长为( )
A. B.
C. D.
7.如图，矩形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接，若矩形的周长是，则的周长是( )
A. B.
C. D.
8.某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值与该校参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最少的是( )
A. 甲 B. 乙
C. 丙 D. 丁
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.若分式的值为，则的值为______．
10.，，的最简公分母是______．
11.已知直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式的解集为______．
12.锐角为的两个平行四边形按如图所示的位置摆放若，则的大小为______度
13.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的顶点在轴上，垂直于轴，点、分别在函数和的图象上若的面积为，且，则的值为______．
14.如图，在中，点，，分别在边，，上，且，下列四种说法：
四边形是平行四边形；
如果，那么四边形是矩形；
如果平分，那么四边形是菱形；
如果，平分，那么四边形是正方形．
其中，正确的有______只填写序号．
三、解答题：本题共8小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：．
16.本小题分
先化简，再求值：，其中．
17.本小题分
某快递公司为提高配送效率，引进了甲、乙两种型号的“分拣机器人”，已知甲型号每小时分拣数量比乙型号每小时分拣数量多件，且甲型号分拣件与乙型号分拣件所用时间相同，求乙型号分拣机器人每小时分拣的数量．
18.本小题分
如图，在菱形中，，相交于点，，求证：四边形是矩形．
19.本小题分
图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为，点、均在格点上只用没有刻度的直尺按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法，保留必要的作图痕迹．
在图中以、为顶点画一个面积为的平行四边形；
在图中以、为顶点画一个面积为的平行四边形；
在图中以、为顶点画一个面积为的平行四边形正方形除外
20.本小题分
某物流公司引进、两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运，种机器人于某日时开始搬运，过了，种机器人也开始搬运两种机器人的搬运量与时间的函数图象如图所示．
种机器人每小时搬运量为______．
求种机器人的搬运量关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
如果、两种机器人分别连续搬运，那么种机器人比种机器人多搬运了______千克？
21.本小题分
【感知】如图，在矩形中，，为射线上一点，将沿直线翻折得到，点的对称点为点若点在边上，则的长为______．
【探究】如图，图中的点在矩形的内部，点在直线上，其它条件不变．
求证：≌．
的长为______．
【应用】如图，当图中的点在延长线上，且点在直线上时，其它条件不变直接写出四边形的面积．
22.本小题分
【模型探究】如图，等腰直角三角形中，，，过点作于点，过点作于点若，，求长．
【迁移应用】如图，在平面直角坐标系中直线：与轴、轴交于、两点．
的长为______，的长为______；
将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线所对应的函数表达式为______．
【拓展延伸】如图，直线：与轴、轴分别交于、两点，若点是第二象限内一点，在平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形为正方形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：
．
16.解：原式
，
当时，原式．
17.解：设乙型号分拣机器人每小时分拣件，则甲型号每小时分拣件，由题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解；
答：乙型号分拣机器人每小时分拣件．
18.证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
平行四边形是矩形．
19.解：如图：
即为所求答案不唯一；
如图：
即为所求答案不唯一；
如图：
即为所求．
20.千克；
设种机器人的搬运量关于的函数解析式为，
将、代入，
，
解得，
种机器人的搬运量关于的函数解析式为．
．
21.【感知】；
【探究】证明：四边形是矩形，
，，，
，
由折叠可得：，，
，，
≌；
；
【应用】解：将沿直线翻折得到，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形的面积．
22.【模型探究】证明：过点作于点，过点作于点．
，
，
，
，
，
，
≌
，，
；
【迁移应用】，；
；
【拓展延伸】解：存在，理由如下：
当正方形为时，如图，过点作轴于点，易证≌，
，，
，
，
当正方形为时，如图，
过点作轴于点，
同【模型探究】得≌，
，，
，
，
点在第二象限，以为对角线．
正方形为，如图，
过点作轴于点，
过点作轴，轴，交于点，
同【模型探究】得≌，
设，则，，，
，
，
，
综上，点的坐标为：、、．
第1页，共1页
