第七周 数列的概念—高二数学人教A版（2019）选择性必修第一、二册每周一测
1.已知数列满足，若，则( )
A. B. C. D.
2.在数列中，已知，则“”是“为单调递减数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个数中，被2除余1，且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则( )
A.161 B.171 C.181 D.191
4.已知数列满足：，设，则( )
A.4048 B.8096 C. D.
5.已知等比数列的前n项和为，且，则“数列递增是“数列递增”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知数列是递增数列，则其通项公式可以是( )
A. B.
C. D.
7.已知数列的前n项和，则( )
A.9 B.10 C.11 D.12
8.数列，，，，，…的一个通项公式为( )
A. B. C. D.
9.（多选）数列的前n项和为，已知，则下列说法正确的是( )
A.是递增数列 B.
C.当时， D.当或4时，取得最大值
10.（多选）已知数列满足，，记数列的前n项和为，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
11.设数列的前n项和为，若，则__________.
12.已知数列的通项公式为，则的最小项的值为______________.
13.已知数列满足，且对任意，有，则______.
14.已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
15.已知数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
答案以及解析
1.答案：D
解析：因为数列满足，，所以，，，，，，，所以数列是周期为4的数列，所以.故选：C
2.答案：B
解析：已知为单调递减数列，所以恒成立，即对任意的恒成立，因为函数在上单调递减，故，故.因为 ，因此“”是“为单调递减数列”的必要不充分条件.
3.答案：B
解析：根据题意，数列中的数被2除余1，且被5除余1，则既是2的倍数，也是5的倍数，即是10的倍数，则，变形可得，故.故选：B.
4.答案：A
解析：因为数列满足：，且，对任意的，为偶数，则，所以，，所以，.故选：A.
5.答案：B
解析：因为，若数列递增，则，因此，所以数列递增，
所以“数列递增”是“数列递增”的必要条件；
若数列递增，则，所以，又，所以对成立，即，则，但是的符号不确定，所以数列不一定递增，
所以“数列递增”是“数列递增”的不充分条件；因此“数列递增”是“数列递增”的必要不充分条件.
6.答案：A
解析：对于选项A，，是递增数列，A正确.对于选项B，，，不是递增数列，B不正确.对于选项C，，，不是递增数列，C不正确.对于选项D，，不是递增数列，D不正确.
7.答案：C
解析：当时，，解得，当时，故，故.故选：C.
8.答案：A
解析：分子为偶数，即为，分母为，则数列，，，，，的一个通项公式为.故选：A.
9.答案：CD
解析：当时，，又，所以，则是递减数列，故A错误；，故B错误；当时，，故C正确；
因为的对称轴为，开口向下，而n是正整数，且或4距离对称轴一样远，所以当或4时，取得最大值，故D正确.故选：CD.
10.答案：BD
解析：因为，所以，因为，即，所以，，故A错误；因为，所以，所以，即，故B正确；由可知，数列的周期为3，又，所以.故C错误；，所以，故D正确.故选BD.
11.答案：9
解析：因为，所以.
12.答案：-20
解析：因为函数的对称轴是，时取得最小值，而中，，时，，时，，所以中的最小项的值为-20.
故答案为：-20.
13.答案：
解析：依题意，，，，，……，，
上述个式子相加得.
故答案为：.
14.答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意，得
当
当，适合上式.
（2）
所以
.
15.答案：（1）
（2）
解析：（1）当时，；
当且时，；
经检验：满足，
.
（2）由（1）得：，
当时，；当时，；
当时，；
.
