第八周 等差数列—高二数学人教A版（2019）选择性必修第一、二册每周一测
1.已知等差数列和等差数列的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数n的个数为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
2.记为等差数列的前n项和.若，则( )
A.140 B.150 C.160 D.180
3.记为等差数列的前n项和，已知，，则取最小值时，n的取值为( )
A.6 B.7 C.7或8 D.8或9
4.记为数列的前n项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列.则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
5.两个等差数列和的前n项和分别为、，且，则等于( )
A. B. C. D.
6.已知等差数列，，...，则该数列的前n项和( )
A.无最大值，有最小值 B.有最大值，无最小值
C.有最大值，有最小值 D.无最大值，无最小值
7.已知是等差数列的前n项和，且，，则下列选项正确的是( )
A.数列为递减数列 B.
C.的最大值为 D.
8.已知数列的前n项和，则是( )
A.公差为2的等差数列 B.公差为3的等差数列
C.公比为2的等比数列 D.公比为3的等比数列
9.（多选）已知是等差数列，其前n项和为，若，则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
10.（多选）已知无穷等差数列的前n项和为，，，则( )
A.在数列中，最大 B.在数列中，或最大
C. D.当时，
11.和都是等差数列，其前n项和分别为和，若，则______.
12.已知数列的前n项和为，满足，设，则数列的前2021项和___________.
13.已知数列满足，数列满足，且，则________.
14.已知数列，，.求：
（1）数列的通项公式；
（2）数列的前n项和的最大值.
15.已知是等差数列的前n项和，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求n的最小值.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由于，所以，要使为整数，则为24的因数，由于，故可以为，故满足条件的正整数n的个数为7个，故选：B.
2.答案：B
解析：，，，，
，，.故选：B.
3.答案：C
解析：根据等差数列的性质可得，所以，所以，所以，，当时，，当时，，所以当n的取值为7或8时，取最小值.故选：C.
4.答案：C
解析：若为等差数列，设其公差为d，则，所以，所以，所以，为常数，所以为等差数列，即甲乙；若为等差数列，设其公差为t，则，
所以，所以当时，，当时，也满足上式，所以，所以，为常数，所以为等差数列，即甲乙.所以甲是乙的充要条件，故选C.
5.答案：A
解析：两个等差数列和的前n项和分别为、，且，所以.
故选：A.
6.答案：A
解析：易得该等差数列首项为负，公差为正，故该数列的前n项和，故当或时取得最小值，无最大值.故选：A
7.答案：D
解析：A：，在数列中，，且，，公差，数列为递增数列，故A错误；
B：由A选项的分析知，，，得，故B错误；
C：当时，，当时，，所以的最小值为，故C错误；
D：，故D正确，
故选：D.
8.答案：A
解析：因为，所以当，时，有，
，得，当时，适合上式，因为，所以该数列是以2为公差的等差数列，故选：A
9.答案：AC
解析：因为是等差数列，，所以，即，即，故A正确；
所以，的值无法确定，故B错误；
，则，故C正确；
，故D错误.故选：AC.
10.答案：ACD
解析：设等差数列的公差为d，由可得：，又由可得：，
即，故数列单调递减，最大，即A项正确，B项错误；
对于C项，由，由A项可知故，故C项正确；
对于D项，由上分析知，则，故，因，，故有，即D项正确.故选：ACD.
11.答案：或
解析：由等差数列的性质及求和公式可得：
.故答案为：
12.答案：
解析：因为，所以，时，，
也适合上式，所以，，
所以．
故答案为：．
13.答案：10
解析：依题意，由两边同时乘以，可得，即，
故数列是以3为公差的等差数列，
解得.
故答案为：10.
14.答案：（1）；
（2）28.
解析：（1）由，可知，
所以数列是以13为首项，以-4为公差的等差数列，
所以；
（2）由（1）可知，
令，解得，
令，解得，
即数列从第5项开始小于0，所以数列的前4项和最大，
最大值为.
15.答案：（1）；
（2）12
解析：（1）设数列的公差为d，因为，
所以.解得.
所以
（2）由（1）可知：
所以.
令，得，解得：(舍去)
因为，所以n的最小值是12.
