专题十六 线段上的动点问题
1．如图，，是数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，且．
(1)直接写出：___________，___________，线段中点对应的数为__________；
(2)点、分别从、出发同时向左匀速运动，的速度为1个单位长度每秒，的速度为3个单位长度每秒，设运动时间为秒，当时，求的值；
(3)在（2）的条件下，为线段的中点，为线段的中点，、在运动的过程中，当为何值时有最小值，最小值是多少？
2．如图，在数轴上点A表示的数a，点B表示数b，a和b满足，点O是数轴原点．
(1)点A表示的数为______，点B表示的数为______，线段的长为______．
(2)若点P从点A出发，以3个单位长度每秒的速度向点B运动，与此同时，点Q从点B出发，以2个单位长度每秒的速度向点A运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动．在两点运动过程中是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出此时点Q表示的数；若不存在，请说明理由．
(3)若数轴上表示和10的两点之间有一条可移动的线段（C，D均不与A，B重合），点C在点D左侧，且，点M为线段中点，点N为线段中点，试探究线段的长度．
3．已知，C，D为线段AB上两点，C在D的左边，AB＝a，CD＝b，
且a，b满足（a﹣120）2+|4b﹣a|＝0．
(1)a＝ ，b＝ ；
(2)如图1，若M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，求线段MN的长；
(3)线段CD在线段AB上从端点D与点B重合的位置出发，以3cm/s的速度沿射线BA的方向运动，同时点P以相同速度从点A出发沿射线AB的方向运动，当点P与点D相遇时，点P原路返回且速度加倍，线段CD的运动状态不变，直到点C到达点A时线段CD和点P同时停止运动，设运动时间为ts，在此运动过程中，当t为多少s时线段PC＝10cm？
4．如图（）所示，已知直线上有两点，，有一根木棒放在直线上，将木棒沿直线左右水平移动．当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置，当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置．
(1)直接写出木棒的长；
(2)木棒在射线上移动的过程中，当时，求的长；
(3)另一根木棒长为，和在直线上的位置如图（）所示，其中点与重合，点与重合．木棒以个单位长度/秒的速度向左移动，木棒以个单位长度/秒的速度向右移动，它们同时出发，设运动时间为秒，若式子的值为定值，请直接写出此时的取值范围，并写出这个定值．
5．已知，点O为数轴的原点，点A，B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为10，，点C是数轴上原点左侧一点．
(1)若．
①则点B表示的数是______，点C表示的数是______；
②点P，Q同时分别从点A、C出发向右运动，若点Q的速度比点P的速度的2倍少3个单位长度，运动3秒时，点O是线段的中点，求点P的速度．
(2)点P、Q、R同时分别从点A、B、C出发向右运动，点P的速度为1个单位长度/秒，点Q的速度为3个单位长度/秒，点R的速度为3个单位长度/秒．若从线段QR的右端点到达原点O起，直至线段的左端点与点P重叠止，共用时秒，请直接写出C点表示的数．
6．【阅读理解】我国著名数学家华罗庚曾经用诗句“数形结合百般好，割裂分家万事非”表达了数形结合的重要性．点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离．
【理解应用】如图1，已知数轴上的点分别表示有理数，其中是最大的负整数，且满足．
（1）请你直接写出的值，______，______，______．
（2）若为数轴上的一个动点，且，求点在数轴上表示的数．
【拓展延伸】（3）若点分别从点同时出发在数轴上运动，点每秒4个单位的速度向左运动，点以每秒5个单位的速度向右运动，点以每秒3个单位的速度朝某个方向运动，若的值不随时间的变化而变化，请求出的值．
7．A，B在数轴上，分别表示数m，n，且．
(1)直接写出m的值是_______，n的值是_______，线段的长度是________；
(2)如图1，是一条定长的线段（点P在点Q的左侧），它在数轴上从左向右匀速运动，在运动过程中，线段完全经过点A（即点A在线段上的这段过程）所需的时间为4秒，线段完全经过线段（即线段与线段有公共点的这段过程）所需的时间为20秒．
①求线段的长；
②直接写出线段运动的速度为______个单位长度/秒；
③如图2，当动线段运动到Q点与A点重合时，与此同时，点C从P点出发，在动线段上，以1个单位长度/秒的速度向Q点运动，遇到Q点后，点C立即原速返回，向P点运动，遇到P点后也立即原速返回，向Q点运动．设动线段，以及点C同时运动的时间为t秒（），当时，求t的值．
8．点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，且．我们将A，B两点间的距离记为．
(1)______，______，______；
(2)若点C在数轴上，且，求点C表示的有理数；
(3)M，P，Q三点在数轴上，点O为原点，点M表示的数为12．P，Q两点分别从A，B两点同时出发，沿数轴的正方向运动，在到达点O前，P，Q两点的运动速度分别为4个单位长度/秒和2个单位长度/秒，点P经过点O后的速度变为原速度的一半，点Q经过点O后的速度变为原速度的2倍．设运动时间为t秒，当时，求t的值．
9．如图，A，B，C，D四点在数轴上，点A表示的数为20，点B表示的数为16，，．
(1)点A与点B的距离是_________，点C与点D的距离是_________，点D在数轴上表示的数是_________．
(2)线段以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时，线段AB以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，运动时间为t秒，
①若线段AB沿数轴负方向运动，当t满足_________时，点A，B同时在线段上；
②若线段AB沿数轴正方向运动，当t满足_________时，点A，B．同时在线段上．
(3)一条4个单位长度的大毛毛虫的头从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，9秒后，一条2个单位长度的小毛毛虫的头从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴负方向运动到点C时，立即调头改变方向保持原速度沿着数轴正方向运动．设大毛毛虫运动的时间为t秒．
①当两条毛毛虫头和头相遇时，求t的值；
②当两条毛毛虫尾和尾相遇时，直接写出t的值．
10．数轴上有、、三点，如图1，点、表示的数分别为，点在点的右侧，．
(1)若，，点是的中点．
①则点表示的数为______．
②如图2，线段（在的左侧，），线段从点出发，以1个单位每秒的速度向点运动（点不与点重合），点是的中点，是的中点，在运动过程中，的长度始终为1，求的值；
(2)若，点是的中点，若，试求线段的长．
11．已知点C在线段上，，点D，E在直线上，点D在点E的左侧．
(1)若，，线段在线段上移动，
①当点E是线段的中点时，求的长；
②当点C是线段的三等分点时，求的长；
(2)若，点E在线段上移动，且满足关系式，则 （直接写出结果）．
12．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示20，我们称点A和点C在数轴上相距32个长度单位，记为．动点M从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点N从点C出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在水平轴，上的速度都是2单位/秒，在O，B之间的上行速度为1单位/秒，下行速度为3单位秒．设运动的时间为t秒．
(1)当秒时，M，N两点在数轴上相距多少个单位长度？
(2)当M，N两点相遇时，求运动时间t的值．
(3)若“折线数轴”上定点P与O，B两点相距的长度相等，且存在某一时刻t，使得两点M，N与点P相距的长度之和等于6，请直接写出t的值为____________．
13．已知，，点为线段的三等分点（），点在点左侧，点在点左侧．
(1)若线段在线段上运动．
如图，当点为线段的中点时， ；（直接写出结果）
为线段上一点，且，，求线段的长；
(2)若线段在射线上运动，且，求线段的长．
14．如图1，已知直线l上线段，线段（点A在点B的左侧，点C在点D的右侧），．
(1)求图1中所有线段的条数为______条：
(2)若线段从点B开始以2个单位/秒的速度向右运动，同时线段从点D开始以1个单位/秒的速度向左运动，当时间t在什么范围内，线段所有的点都在线段上？（含端点）
(3)若线段从点B开始以2个单位/秒的速度一直向右运动，同时，线段从点C开始以1个单位/秒的速度向右运动，当端点B与D初次相遇时，线段立即以原来速度的2倍向左运动，当端点C与端点A初次相遇时，线段的速度变为初始速度的方向继续向左，问在整个运动过程中，时间t为何值时．
15．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于A点左侧一点，且AB＝14．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒．
(1)写出数轴上点B表示的数______，点P表示的数______（用含t的式子表示）；
(2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，且点P，Q同时出发．
①问点P运动多少秒时，BQ＝BP？
②若M为AP的中点，在点P，Q运动的过程中，的值在某一个时间段t内为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内．
16．A、B为数轴上的两个点，点A对应的数记为a，点B对应的数记为b，且是关于x、y的三次二项式．解答下列问题：
(1)________，________；
(2)若数轴上有一点C，且，求点C对应的数；
(3)若点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，点M的速度为m个单位长度每秒，点N的速度是3个单位长度每秒，点P、Q分别为线段、线段的中点.设运动时间为t秒，在点M，N的运动过程中，若的长度与t的取值无关，求m的值及的长度．
17．数轴上A，B三个点表示的数分别是a，b，且满足，动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动t秒．
(1)直接写出______，______；
(2)如图1，若M为的中点，N为的中点，试判断在P点运动的过程中，线段的长度是否发生变化，请说明理由；
(3)对于数轴上的点P，Q，给出如下定义：记点P到点A的距离为m，点Q到P的距离为n，如果，那么称点Q是点P的“关联点”．
①若，直接写出点P的“关联点”Q在数轴上对应的数为_____；
②若，试求t的值．
18．（1）如图1，点，，，为直线上从左到右顺次的四个点．
①直线上以，，，为端点的射线共有______条；
②若，，，点为直线上一点，则的最大值为______；
（2）从图1的位置开始，点在直线上向左运动，点，在直线上向右与点同时开始运动，运动过程中的长度保持不变，，分别为，的中点（如图2）．在此过程中，请指出三条线段，，之间的数量关系（用一个等式表示）并说明理由；
（3）如图3，点，，为数轴上从左到右顺次的三个点，点，表示的数分别为，，为中点．若，且，，求线段的长．
19．问题背景
整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理，整体思想在代数和几何中都有很广泛的应用．
(1)如图1，A、B、O三点在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，则∠DOE的度数为 （直接写出答案）．
(2)当x＝1时，代数式a+bx+2021的值为2020，当x＝﹣1时，求代数式a+bx+2021的值．
(3)①如图2，点C是线段AB上一定点，点D从点A、点E从点B同时出发分别沿直线AB向左、向右匀速运动，若点E的运动速度是点D运动速度的3倍，且整个运动过程中始终满足CE＝3CD，求的值；
②如图3，在①的条件下，若点E沿直线AB向左运动，其它条件均不变．在点D、E运动过程中，点P、Q分别是AE、CE的中点，若运动到某一时刻，恰好CE＝4PQ，求此时的值．
20．O为数轴的原点，点A、B在数轴上表示的数分别为a、b，
且满足（a﹣20）2+|b+10|＝0．
（1）写出a、b的值；
（2）P是A右侧数轴上的一点，M是AP的中点．设P表示的数为x，求点M、B之间的距离；
（3）若点C从原点出发以3个单位/秒的速度向点A运动，同时点D从原点出发以2个单位/秒的速度向点B运动，当到达A点或B点后立即以原来的速度向相反的方向运动，直到C点到达B点或D点到达A点时运动停止，求几秒后C、D两点相距5个单位长度？
()
参考答案
1．(1)，，
(2)t的值为1或者11
(3)当时，有最小值，最小值是10
【分析】（1）根据绝对值和平方的值非负可求出，，则问题随之得解；
（2）先求出，，根据题意有：，，即有，分当点P在点Q的左侧时和当点Q在点P的左侧时两种情况讨论，即可作答；
（3）根据题意可知点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，再根据为线段的中点，为线段的中点，可得点表示的数是，点表示的数是，即有，，则有，再分类讨论去绝对值即可作答．
【详解】（1）∵，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴线段中点对应的数，
故答案为：，，；
（2）∵点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，且，，
∴，，
根据题意有：，，
∴，
分情况讨论：
当点P在点Q的左侧时，，
∵，
∴，
解得：；
当点Q在点P的左侧时，，
∵，
∴，
解得：，
综上：t的值为1或者11；
（3）根据题意可知点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，
∵为线段的中点，为线段的中点，
∴点表示的数是，点表示的数是，
∴，，
∴，
当时，，
∴，
∴；
当时，，
∴为定值10；
当时，，
∴，
∴；
综上：的最小值为10．
即：当时，有最小值，最小值是10．
【点睛】本题主要考查了数轴的相关知识，涉及绝对值的定义、根据数轴上的点求解距离以及数轴上中点的求解方法等知识，根据数轴上的点表示出点与点之间的距离是解答本题的关键．解答本题时，要注意分类讨论的思想．
2．(1)，4，
(2)当运动时间为2秒时，，此时点Q表示的数为；当运动时间为秒时，，此时点Q表示的数为
(3)
【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，再根据数轴上两点距离公式求出的长即可；
（2）设运动时间为t，则点P表示的数为，点Q表示的数为，然后分当P、Q两点相遇前，时，当P、Q两点相遇后，时，利用数轴上两点距离公式列出方程求解即可；
（3）设点C表示的数为m，则点D表示的数为，根据数轴上两点中点公式得到点M表示的数为，点N表示的数为，再根据数轴上两点距离公式求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴点A表示的数为，点B表示的数为，
∴，
故答案为：，4，；
（2）解：设运动时间为t，
∴点P表示的数为，点Q表示的数为，
当P、Q两点相遇前，时，
∴，
解得，
∴此时点Q表示的数为；
当P、Q两点相遇后，时，
∴，
解得，
∴此时点Q表示的数为；
∵，
∴当运动时间为2秒时，，此时点Q表示的数为；当运动时间为秒时，，此时点Q表示的数为；
（3）解：∵，
∴设点C表示的数为m，则点D表示的数为，
∵点M为线段中点，点N为线段中点，
∴点M表示的数为，点N表示的数为，
∴．
【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点距离公式，非负数的性质等等，熟知数轴上两点距离公式是解题的关键．
3．(1)120；30；
(2)45
(3)，，
【分析】（1）由绝对值及偶次方的非负性可求出a，b的值；
（2）由中点的定义得AM＝AD＝（AC＋CD）＝（AC＋30）＝AC＋15、CN＝BC＝（AB AC）＝（120 AC）＝60 AC，由MN＝CN CM即可求解；
（3）分两种情况：①点P与点D相遇前，②点P与点D相遇后，每种情况再分点P在点C左边，点P在点C右边解答即可．
【详解】（1）解：∵a，b满足（a 120）2＋|4b a|＝0，
∴a 120＝0，4b a＝0，
∴a＝120，b＝30．
故答案为：120；30；
（2）∵M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，
∴AM＝AD＝（AC＋CD）＝（AC＋30）＝AC＋15，
CN＝BC＝（AB AC）＝（120 AC）＝60 AC，
∴CM＝AM AC＝AC＋15 AC＝15 AC，
∴MN＝CN CM）＝60 AC （15 AC）＝ 60 AC 15＋AC＝45（cm）；
（3）由题意得：点P与点D相遇的时间为120÷（3＋3）＝20（s），
点C到达点A的时间为（120 30）÷3＝30（s），
①点P与点D相遇前，即t＜20时，
Ⅰ）点P在点C左边，线段PC＝10cm，
∴PD＝PC＋CD＝10＋30＝40（cm），
由题意得：（3＋3）t＝120 40，
解得：t＝，
Ⅱ）点P在点C右边，线段PC＝10cm，
∴PD＝CD PC＝30 10＝20（cm），
由题意得：（3＋3）t＝120 20，
解得：t＝，
②点P与点D相遇后，即20≤t≤30时，
Ⅰ）点P在点C左边，线段PC＝10cm，
∴PD＝PC＋CD＝10＋30＝40（cm），
由题意得：（3×2 3）（t 20）＝40，
解得：t＝＞30（不合题意，舍去），
Ⅱ）点P在点C右边，线段PC＝10cm，
∴PD＝CD PC＝30 10＝20（cm），
由题意得：（3×2 3）（t 20）＝20，
解得：t＝，
综上，当t为，，时线段PC＝10cm．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性、偶次方的非负性、数轴、列代数式、两点间的距离以及一元一次方程的应用，解（3）时注意分类思想的运用．
4．(1)；
(2)或；
(3)，定值为．
【分析】（）根据题意可得的长等于的三分之一，即可求解；
（）设，分点在点左侧和右侧两种情况列方程求解即可；
（）由式子的值为定值可判断出木棒和木棒重叠，分别求出点与点重合和点与点重合的时间，即可求出的取值范围，由木棒和木棒重叠可得的值为定值即为的值；
本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，找到等量关系，并运用分类讨论的方法分别列出方程是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得，；
（2）解：设，
当点在点左侧时，，
∵，
∴，
解得，
∴；
当点在点右侧时，，
∵，
∴，
解得，
∴；
∴的长为或；
（3）解：由题意可得，当木棒和木棒重叠时，式子的值为定值，
定值即为，
当点与点重合时，，
解得；
当点与点重合时，，
解得；
∴当时，式子的值为定值，定值为．
5．(1)①，②点P的速度是个单位长度/秒
(2)点C表示的数是
【分析】本题考查数轴上两点间的距离及数轴上的动点问题、一元一次方程的应用，正确理解题意是解题关键，
（1）①根据数轴上两点间的距离可分别表示两点表示的数，②设点P的速度是每秒v个单位长度，根据题意列方程解决即可；
（2）根据题意求出从开始运动到结束总时间，再列出方程解决．
【详解】（1）解：①点A表示的数为10，，
点B表示的数是，
，点C是数轴上原点左侧一点，
点C表示的数是，
故答案为：，；
②设点P的速度是每秒v个单位长度，则点Q的速度是每秒个单位长度，
运动3秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是，
点O是线段的中点，
，
解得：，
所以点P的速度是个单位长度/秒；
（2）解：设点C表示的数是，由题意得：若从线段QR的右端点到达原点O起，即运动秒起，线段的左端点与点P重叠即点R追上点P止，
从开始运动到追上总运动时间为秒，
，
解得：，
故点C表示的数是．
6．（1）， （2）或 （3）或
【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，解一元一次方程方程；
（1）根据题意求出，，解题即可；
（2）分点D在线段上和点D在线段的延长线上两种情况列方程，解方程可得答案；
（3）分向左或向右两种情况分别用t表示点表示的数，然后根据为定值计算即可．
【详解】（1）解：∵是最大的负整数，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：，；
（2）设点表示的数为，
当点D在线段上时，则，，
∵，
∴，
解得：；
当点D在线段的延长线上时，则，，
∵，
∴，
解得：；
综上，点表示的数为或；
（3）当以每秒3个单位的速度向左运动时，
点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
∴，，
∴
又∵的值不随时间的变化而变化，
∴，
解得；
当以每秒3个单位的速度向右运动时，
点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
∴，，
∴
又∵的值不随时间的变化而变化，
∴，
解得；
综上所述，的值为或．
7．(1)，15，32
(2)①线段的长是8个单位长度；②2；③ t的值是6，14，18
【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性可得m和n的值，即可得线段的长度；
（2）①根据线段的速度相等，得方程，解答即可；②将线段的长除以时间即可；③先求出当时，点P对应的数是，分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别表示出和得长，代入，计算即可．
【详解】（1）解：∵，
，，
线段的长度是；
（2）①解：设的长为m，依题意，得： ，
解得：，
线段的长是8个单位长度；
②线段运动的速度为（个单位长度/秒），
线段运动的速度为2（个单位长度/秒）；
③当时，点P对应的数是，分三种情况讨论：
（I）当时，
点C对应的数是，点P对应的数是，
点Q对应的数是，点B对应的数是15，
所以，因为，
所以，解得：；
（I）当时，
点C对应的数是，点P对应的数是，
点Q对应的数是，点B对应的数是15，
所以，因为，
所以，解得：；
（II）当时，
点C对应的数是，点P对应的数是，
点Q对应的数是，点B对应的数是15，
所以，因为，
所以，解得：；
综上所得：t的值是6，14，18．
【点睛】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴，线段的长度，一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程．
8．(1)，，
(2)点C表示的有理数为或；
(3)t的值为2或或17．
【分析】（1）根据平方与绝对值的和等于0，则每一项都等于0，求出a、b，从而求出线段的长；
（2）设出点C表示的有理数为c，根据位置不同进行分类讨论，根据题意中给出的等式运算，得出结果；
（3）根据题意分情况讨论，结合，列出每种情况下的等式，并对t的取值范围进行说明，从而进行判断取舍，最终得出所有满足的结果．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得：，
；
故答案为：，，；
（2）解：设点C表示的有理数为c，
根据题意得：，
当点C在点A的左侧时，，
∴，
解得：；
∵，，
∴点C不可能在A、B之间，
当点C在点A的右侧时，，
∴，
解得：；
综上，点C表示的有理数为或；
（3）解：由（1）得，，
∵，
∴当时，点P到达点O，当时，点Q到达点O，
由题意得：，
当点P、Q都在点O左侧时，，
，，
∴，
解得：；
当点P点O右侧，点Q在点O左侧时，，
，，
∴，
解得：(舍)；
当点P点O右侧，点Q在点O与点M之间时，，
，，
∴，
解得：；
当点P点O右侧，点Q在点M右侧时，，
，，
∴，
解得：；
当点P点O重合时，，
，不合题意；
当点Q点O重合时，，
，不合题意；
当点Q点M重合时，，
，不合题意；
综上，t的值为2或或17．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值与一元一次方程的应用，是一个综合问题，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，进而求解．
9．(1)4；12；
(2)①②
(3)20或18
【分析】（1）根据两点间距离公式求解即可；
（2）分两种不同的位置得出不等式组求解即可；
（3）根据题意列出方程，求解方程即可．
【详解】（1）∵点A表示的数为20，点B表示的数为16，
∴，
∵，
∴
又
∴
∴．
又
∴点D在数轴上表示的数为：
故答案为：4；12；
（2）根据题意得，要使A，B同时在线段上，则有：
①
解得，
帮答案为：
②
解得，
故答案为：
（3）①9秒后，4个单位长度的大毛毛虫头在处，尾在处，则小毛毛虫从B到C需用时：，此时大毛毛虫在处，则有：
解得，
∴；
②小毛毛虫即从C点调头时，小毛毛虫的尾在O处，大毛毛虫尾在处，要使尾与尾相遇，则，
解得：
∴
综上，t的值为：20或18
【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，根据定义列出方程是解题的关键．
10．(1)①，②4
(2)3
【分析】（1）①设C表示的数为，D表示的数为，根据点、表示的数分别为，得到即，根据计算即可．
②设运动t秒，的长度始终为1，此时点E表示的数是，点F表示的数是，
点M表示的数是，点N表示的数是，结合的长度始终为1，得到，化简绝对值计算即可．
（2）设C表示的数为，D表示的数为，根据点、表示的数分别为，得到即，根据，
得到，建立方程计算即可．
【详解】（1）①设C表示的数为，D表示的数为，
∵点、表示的数分别为，，
∴即，
∴，
∵，，
∴．
②设运动t秒，的长度始终为1，
∵，点是的中点，是的中点，
∴点E表示的数是，点F表示的数是，点M表示的数是，点N表示的数是，
∵的长度始终为1，
∴，
∴
解得，
∵，
∴．
（2）设C表示的数为，D表示的数为，根据点、表示的数分别为，，
∴即，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
故线段的长3．
【点睛】本题考查了数轴上的点表示有理数，数轴上两点间的距离，数轴上线段中点的表示，绝对值的化简，熟练掌握两点间的距离公式，中点公式是解题的关键．
11．(1)①4，②
(2)
【分析】（1）根据已知条件得到，①由线段中点的定义得到，求得，由线段的和差得到；②当点C线段的三等分点时，可求得或（舍去），则，由线段的和差即可得到结论；
（2）①当点E在线段之间时，设，则，求得、、、，然后根据可得，，再代入即可解答；②当点E在线段上时，设，则，求得、、、，然后根据可得不符题意．
【详解】（1）解：∵，
∴，
①∵E为中点，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵点C是线段的三等分点，DE＝16，
∴或（不合题意，舍去），
∴，
∴；
（2）解：①当点E在线段上，如图，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；
如图：当点E在线段AC上时，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴不符题意，
∴点E不可能在线段AC上．
综上所述的值为．
【点睛】本题主要考查了直线上两点间的距离、线段中点的性质、线段的和差等知识点，准确识图、分类讨论DE的位置是解题的关键．
12．(1)M，N两点在数轴上相距16个单位长度
(2)
(3)或
【分析】（1）先计算出，的长度，再计算出经过4秒，点M和点N运动的路程，即可求解；
（2）根据相遇时，两点的路程和等于总路程，即可求解；
（3）根据题意，进行分类讨论即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：
，，
当秒时，点M的运动路程：，点N的运动路程：，
∴经过4秒，点M在上，点N和点B重合，
∴点M表示的数为：，点N表示的数为：，
∴M、N两点距离为：．
∴M，N两点在数轴上相距16个单位长度．
（2）由（1）可得：，，
∴点M到点O需要时间：秒，点N到点B需要时间：秒，
当相遇时：，
解得：．
（3）∵P与O，B两点相距的长度相等，
∴点P为表示的数为6，
∴点A与点P距离为，点C与点P距离为，
∵M，N与点P相距的长度之和等于6，
∴点M和点N都在上，
①当点M在上，点N在上时：
∵，，
∴，
解得：，
②当点M在上，点N在上时：
∵，，
∴，
解得：；
综上：或．
【点睛】本题主要考查了数轴上数轴以及一元一次方程，解题的关键在正确理解题意，找出等量关系并列出方程求解．
13．(1) ；线段的长为或；
(2)线段的长为或．
【分析】（）利用三等分点的定义求出，利用中点定义求出，再根据线段的和差关系即可求出；分当点在点的右侧和点在点的右侧，点在点的左侧两种情况，画出图形解答即可求解；
（）分当线段在线段上、点在的延长线上，点在线段上和线段在线段的延长线上三种情况画出图形解答即可求解；
本题考查了中点定义，三等分点定义，线段的和差，一元一次方程的应用，根据题意，画出图形，运用分类讨论思想进行解答是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，∵点为线段的三等分点（），
∴，，
∵点为线段的中点，
∴，
∴，
故答案为：；
如图，当点在点的右侧时，
设，则，，，，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴；
如图，当点在点的右侧，点在点的左侧时，
设，则，，，，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴；
∴线段的长为或；
（2）解：如图，当线段在线段上时，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
如图，当点在的延长线上，点在线段上时，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
解得，不合，舍去；
如图，当线段在线段的延长线上时，
设，则，，，
∵，
∴，
解得，
∴；
综上，线段的长为或．
14．(1)6
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，一元一次方程的应用，线段的条数问题：
（1）根据两点确定一条线段进行求解即可；
（2）当点B恰好与点C重合时，线段所有的点开始都在线段上，当点A恰好与点D重合时，线段所有的点最后都在线段上，据此求解即可；
（3）以A为原点，向右为正方向，建立数轴，则点A、B、C、D分别表示的数为0，6，23，21，设运动时间为t，当端点B与D初次相遇时，则，解得，当点C与点A初次相遇时，，解得，再分当相遇前， 当相遇后，两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，图中的线段有线段共6条线段，
故答案为：6；
（2）解：当点B恰好与点C重合时，则，解得；
当点A恰好与点D重合时，则，解得，
∴当时，线段所有的点都在线段上；
（3）解：以A为原点，向右为正方向，建立数轴，则点A、B、C、D分别表示的数为0，6，23，21，
设运动时间为t，当端点B与D初次相遇时，则，解得，
∴当端点B与D初次相遇时，点A、B、C、D分别表示的数为30，36，38，36，此后线段以2个单位长度每秒的速度向左运动，
当点C与点A初次相遇时，，解得，
∴当点C与点A初次相遇时，点A、B、C、D分别表示的数为34，40，34，32，此后线段以个单位长度每秒的速度向左运动，
当相遇前，时，则，
解得；
当相遇后，时，则，
解得；
综上所述，或．
15．(1)-6，8-5t
(2)①点P运动时间为秒或7秒时，BQ＝BP；②当时，的值有定值．这个定值为2
【分析】（1）由点A表示的数为8，AB=14，即得点B表示的数是8-14=-6，根据点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒，可得点P表示的数是8-5t；
（2）①设运动时间为t秒，可得BP=|14-5t|，BQ=3t，即有3t=|14-5t|，从而解得t=或t=7，得到答案；
②运动时间为t秒时，点P表示的数为8-5t，点Q表示的数为-6-3t，则AP中点M表示的数为8t，当0≤t≤7时；当t＞7时；分别求出答案即可．
【详解】（1）解：∵点A表示的数为8，AB=14，
∴点B表示的数是8-14=-6，
∵点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒，
∴点P表示的数是8-5t，
故答案为：-6，8-5t；
（2）解：①设运动时间为t秒，则运动后Q表示的数是-6-3t，由（1）知点P表示的数是8-5t，
∴BP=|8-5t-（-6）|=|14-5t|，BQ=3t，
∵BQ=BP，
∴3t=|14-5t|，
解得t=或t=7；
答：点P运动秒或7秒时，BQ=BP；
②运动时间为t秒时，点P表示的数为8-5t，点Q表示的数为-6-3t，则AP中点M表示的数为8，
∴，
∴当0≤t≤7时，
，
当t＞7时，
，
∴当0≤t≤7时，为定值，该定值为2．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，含绝对值的方程，绝对值的意义，数轴的性质，解题的关键是用含t的代数式表示运动后点表示的数．
16．(1)，
(2)
(3)，
【分析】本题主要考查了多项式的定义、绝对值方程、两点间距离、无关性问题等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）根据三次二项式列方程求解即可求得a、b的值；
（2）设点C对应数为c，然后列绝对值方程求解即可；
（3）设运动时间为t秒，先表示出点M、N，再表示出P、Q，然后用绝对值表示出、,进而确定m的值，进而完成解答．
【详解】（1）解：∵是关于x、y的三次二项式，
∴，
∴．
故答案为：，．
（2）解：设点C对应数为c，
∵点A对应的数记为，点B对应的数记为12，，
∴，
当时，有，解得：，不符合题意；
当时，有，解得：，符合题意；
当时，有，解得：，不符合题意．
综上，设点C对应数为．
（3）解：设运动时间为t秒，则点M表示，点N表示，
P、Q为、的中点
点P表示，点Q表示，
，
，
的长度与t无关，
，
∴当时，．
17．(1)
(2)不变
(3)①或，②或或
【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，解题的关键是根据题意，得出两点之间的距离，列出方程求解．
（1）根据绝对值和平方的非负性，即可解答；
（2）根据题意得出点P表示的数为，根据中点的表示方法得出点M表示的数为，点N表示的数为，求出，即可得出结论；
（3）①根据题意得出点P表示的数为，，即可求解；②先得出点P表示的数为，则，，然后进行分类讨论：当点Q在点P左边时，点Q表示的数为，得出，，根据，列出方程求解即可；当点Q在点P右边时，点Q表示的数为，推出点B在点Q左边，则，，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：根据题意可得：
∵，
∴点P表示的数为，M为的中点，N为的中点，
∵，
∴点M表示的数为，点N表示的数为，
∴，
∴线段的长度不变；
（3）解：①∵点P从点A出发向右运动，，，
∴点P表示的数为，
∵，，
∴，
∴点Q表示的数为或，
故答案为：或；
②∵点P表示的数为，
∴，，
∵，
∴，
当点Q在点P左边时，点Q表示的数为，
∴，，
∵，
∴，
解得：或；
当点Q在点P右边时，点Q表示的数为，
∵，
∴点B在点Q左边，
∴，，
∴，
解得：，
综上：或或．
18．（1）①8；②9；（2）；（3）5
【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，数轴上两点的距离计算，射线的条数问题：
（1）①根据射线的定义进行求解即可；②分点P在点A左侧，点P在A、B之间，点P在点D右侧三种情况讨论求解即可；
（2）如图所示，当点B在点C左边时，由线段中点的定义得到，，根据，推出，则；如图所示，当点B在点C右侧时，由线段中点的定义得到，，根据．推出则；
（3）由中点的定义得到，，求出，则，再由，推出，则．
【详解】解：（1）①由题意得，图中的射线有射线，共8条射线，
故答案为：8；
②∵，，，
∴，
如图所示，当点P在点A左侧时（包括A），
如图所示，当点P在A、D之间时，，
如图所示，当点P在点D右侧时（包括B），；
综上所述，的最大值为9；
故答案为：9；
（2），理由如下：
如图所示，当点B在点C左边时，
∵，分别为，的中点，
∴，，
∴
，
，
∴；
如图所示，当点B在点C右侧时，
∵，分别为，的中点，
∴，，
∴
，
，
∴；
综上所述，；
（3）∵为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
19．(1)90°
(2)2022
(3)①；②或
【分析】（1）根据题意，∠DOE=∠DOC+∠COE ，∠DOE =∠AOC，∠COE=∠BOC，结合∠AOC+∠BOC=180°，整体代入计算即可．
（2）根据题意，得到a+b=-1，变形-a-b=1，整体代入计算求值即可．
（3）①设点D运动的路程为x，则点E运动的路程为3x，则CE＝BC+BE=BC+3x，CD=CA+AD=CA+x，代入已知CE＝3CD中，化简得到CB=3AC，代入计算即可．
②分点E在C点的右侧，点E在C点的左侧，且在点A的右侧，点E在A点的左侧三种情况求解即可．
【详解】（1）解：如图1，∵射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠DOC =∠AOC，∠COE=∠BOC，
∵∠DOE=∠DOC+∠COE ，
∴∠DOE=∠AOC+∠BOC=(∠AOC+∠BOC)，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠DOE=×180°=90°，
故答案为：90°．
（2）∵当x＝1时，代数式a+bx+2021的值为2020，
∴a +b+2021=2020，
∴a+b=-1，
∴-a-b=1，
当x＝﹣1时，
a+bx+2021
= -a-b+2021
=1+2021
=2022．
（3）①如图2，
设点D运动的路程为x，则点E运动的路程为3x，
∴CE＝BC+BE=BC+3x，CD=CA+AD=CA+x，
∵CE＝3CD，
∴BC+3x= 3CA+3x，
∴CB=3AC，
∴AB=CB+AC=4AC，
∴=．
②根据①，设AC=m，则CB=3m，AB=4m，设点D运动的路程为AD=x，则点E运动的路程为EB=3x，
当点E在C点的右侧时，如图3，
∴CE＝BC-BE=3m-3x，CD=CA+AD=m+x，
∵点P、Q分别是AE、CE的中点，
∴PE=，QE=，
∴PQ=PE-QE=-=，
∵CE＝4PQ，
∴3m-3x=4×，
解得x=，
故AD=，
∴=．
当点E在C点的左侧，且在点A的右侧时，如图4，
∴CE＝BE-BC=3x-3m，CD=CA+AD=m+x，
∵点P、Q分别是AE、CE的中点，
∴PE=，QE=，
∴PQ=PE+QE=+=，
∵CE＝4PQ，
∴3x-3m=4×，
解得x=，
故AD=，
∴=．
当点E在A点的左侧时，如图5，
∴CE＝BE-BC=3x-3m，CD=CA+AD=m+x，
∵点P、Q分别是AE、CE的中点，
∴PE=，QE=，
∴PQ=PE+QE=+=，
∵CE＝4PQ，
∴3x-3m=4×，
解得x=，
故AD=，
∴=．
综上所述，的值为或．
【点睛】本题考查了角的计算，代数式的值，线段的计算，熟练掌握整体思想，运用方程思想、分类思想求解是解题的关键．
20．（1）a＝20，b＝﹣10；（2）20+；（3）1秒、11秒或13秒后，C、D两点相距5个单位长度
【分析】（1）利用绝对值及偶次方的非负性，可求出a，b的值；
（2）由点A，P表示的数可找出点M表示的数，再结合点B表示的数可求出点M、B之间的距离；
（3）当0≤t≤时，点C表示的数为3t，当＜t≤时，点C表示的数为20﹣3（t﹣）＝40﹣3t；当0≤t≤5时，点D表示的数为﹣2t，当5＜t≤20时，点D表示的数为﹣10+2（t﹣5）＝2t﹣20．分0≤t≤5，5＜t≤及＜t≤，三种情况，利用CD＝5可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）∵（a﹣20）2+|b+10|＝0，
∴a﹣20＝0，b+10＝0，
∴a＝20，b＝﹣10．
（2）∵设P表示的数为x，点A表示的数为20，M是AP的中点．
∴点M表示的数为．
又∵点B表示的数为﹣10，
∴BM＝﹣（﹣10）＝20+．
（3）当0≤t≤时，点C表示的数为3t；
当＜t≤时，点C表示的数为：20﹣3（t﹣）＝40﹣3t；
当0≤t≤5时，点D表示的数为﹣2t；
当5＜t≤20时，点D表示的数为：﹣10+2（t﹣5）＝2t﹣20．
当0≤t≤5时，CD＝3t﹣（﹣2t）＝5，
解得：t＝1；
当5＜t≤时，CD＝3t﹣（2t﹣20）＝5，
解得：t＝﹣15（舍去）；
当＜t≤时，CD＝|40﹣3t﹣（2t﹣20）|＝5，
即60﹣5t＝5或60﹣5t＝﹣5，
解得：t＝11或t＝13．
答：1秒、11秒或13秒后，C、D两点相距5个单位长度．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值及偶次方的非负性，解题的关键是：（1）利用绝对值及偶次方的非负性，求出a，b的值；（2）根据各点之间的关系，用含x的代数式表示出BM的长；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
