七年级上册2.3.1乘方 测试卷2
一、单选题
1．下列算式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各对数中，数值相等的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
3．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁，四位同学分别做了一道有理数运算题，
甲：；
乙：；
丙：；
丁：． 你认为做对的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．1米长的小棒，第一次截去，第二次截去剩下的，如此截下去，第五次后剩下的小棒的长度是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
5．下列各组数中，数值相等的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
6．计算的值是（ ）
A． B． C．0 D．
7．已知：，，，，，，那么的个位数字是（ ）
A． B． C． D．
8．一点P从距离原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此不断跳动下去，则第6次跳动后，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
9．x1，x2，x3，…x2022是2022个由1和﹣1组成的数，且满足x1+x2+x3+…+x2022＝202，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2+（x3﹣1）2+…+（x2022﹣1）2的值为（ ）
A．2021 B．4042 C．3640 D．4842
二、填空题
10．立方得的数是 ．
11．一根米长的木棒，小明第一次截去全长的，第二次截去余下的，依次截去每一次余下的，则第五次截去后剩下的木棒长为 米．
12．已知有理数，，，，请你通过有理数的加减乘除混合运算，使得运算结果最大，则这个最大结果为 ．
13．用简便方法计算 ；
14．中国是世界上首先使用负数的国家．两千多年前战国时期李悝所著的《法经》中已出现使用负数的实例．《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法．请计算以下涉及“负数”的式子的值： ．
15．若a，b互为相反数，则（a+b﹣1）2016＝ ．
16．使得是完全平方数的整数的值是 ．
17．记，，，…，（其中n为正整数）．
（1） ；
（2） ．
18．观察下列各式：
13=12
13+23=32
13+23+33=62
13+23+33+43=102 …
猜想13+23+33+…+103= ．
19．已知a，b，c，d表示4个不同的正整数，满足a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，则a+2b+3c+4d的最大值是 ．
三、解答题
20．计算：
(1)；
(2)．
21．小红与小亮两位同学计算﹣32﹣6×（）的过程如图：
请判断他们的解法是否正确（在相应的方框内打“√”或“×”），并写出你的解答过程．
22．规定一种新的运算：a b＝a×b﹣a﹣+1．例如：3 （﹣4）＝3×（﹣4）﹣3﹣+1．请用上述规定计算下面各式：
(1)2 5；
(2)（﹣2） （﹣5）．
23．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如：，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”； 记做，读作的圈4次方”，一般地，把（）记做读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：，.
【深入思考】
（2）试一试，仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式.
；.
（3）想一想：有理数的圈次方写成幂的形式等于多少.
24．阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22020+22021的值，采用以下方法：
设S＝1+2+22+…+22020+22021①
则2S＝2+22+…+22021+22022②
②﹣①得，2S﹣S＝S＝22022﹣1.
请仿照小明的方法解决以下问题：
(1)2+22+…+220＝ ；
(2)求1++…+＝ ；
(3)求1+a+a2+a3+…+an的和.（a＞1，n是正整数，请写出计算过程）
25．淇淇在计算：时，步骤如下：
解：原式①
②
③
(1)淇淇的计算过程中开始出现错误的步骤是________；（填序号）
(2)请给出正确的解题过程．
26．一般地，n个相同的因数．相乘a×a×a……a×a记作an，如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”记为L2(8)，则L2(8)=3，一般地，若an=b(a＞0且a≠1)，则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为La(b)=n，如34=81，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为L3(81)=4．
（1）下列各“劳格数”的值：L2（4）=______，L2(16)=______，L2(64)=______．
（2）观察（1）中的数据易4×16=64此时L2（4），L2(16)，L2(64)满足关系式________．
（3）由（2）的结果，你能归纳出一般性的结果吗？La(M)+La(N)=______．(a＞0且a≠1，M＞0，N＞0)．
（4）据上述结论解决下列问：已知，La（3）=0.5，求La(9)的值和La(81)的值．（a＞0且a≠1）
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】本题考查了有理数的乘方，根据有理数的乘方分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意；
B、 ，故该选项正确，符合题意；
C、，故该选项不正确，不符合题意；
D、，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
2．B
【分析】根据有理数的乘方运算法则和混合运算进行计算即可做出判断．
【详解】解：A．，，数值不相等，故选项不符合题意；
B．，，数值相等，故选项符合题意；
C．，，数值不相等，故选项不符合题意；
D．，，数值不相等，故选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了有理数的乘方运算和含乘方的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
3．C
【分析】据甲乙丙丁的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【详解】解：，故甲的做法是错误的；
，故乙的做法是错误的；
，故丙的做法正确；
，故丁的做法错误；
故选：C．
【点睛】本题考查有理数混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
4．A
【分析】根据题意可以得到第五次后剩下的小棒的长度，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
第五次后剩下的小棒的长度是：
故选A．
【点睛】本题考查有理数的乘方，解答本题的关键是明确题意，求出第五次后剩下的小棒的长度．
5．B
【分析】根据有理数乘方以及乘法运算法则对选项分别进行计算即可得出答案．
【详解】解：A．，，故此选项不符合题意；
B．，故此选项符合题意；
C．，，故此选项不符合题意；
D．，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，有理数的乘法，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
6．A
【分析】乘方的运算可以利用乘法的运算来进行，运用乘法的分配律简便计算．
【详解】解：原式=
=
=．
故选：A．
【点睛】本题考查了乘法分配律的逆用．乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．本题运用乘法的分配律计算．
7．A
【分析】观察、、、、、的个位数字发现规律，根据规律求解即可
【详解】解：观察、、、、、的个位数字分别为、、、、、、、、，发现每四个为一个周期，所以指数的余数是，则个位数字为；余数是，则个位数字是；余数是，则个位数字是；余数是，则个位数字是．
∵，
的个位数字是2．
故选：A．
【点睛】本题考查尾数特征，观察个位数字特征是解题的关键．
8．D
【分析】根据题意，得第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的处，第二次从A1点跳动到A2处，即在离原点的处，则跳动n次后，即跳到了离原点的处，依此即可求解．
【详解】解：第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的处，
第二次从A1点跳动到A2处，即在离原点的处，
……
则跳动n次后，即跳到了离原点即跳到了离原点的处，
则第6次跳动后，则的长度是
故选D
【点睛】本考查了数轴，有理数乘方的应用，根据题意表示出各个点跳动的规律是解题的关键．
9．C
【分析】根据x1+x2+x3+…+x2022＝202可知1的个数比﹣1的个数多202个，再代入所求的式子可得答案．
【详解】解：∵x1，x2，x3，…x2022是2022个由1和﹣1组成的数，且满足x1+x2+x3+…+x2022＝202，
∴1的个数比﹣1的个数多202个，
∴1的个数是（2022+202）＝1112（个），﹣1的个数是2022﹣1112＝910（个），
无论x1，x2，x3，…x2022中哪个数是1，哪个数是﹣1，
均有（x1﹣1）2+（x2﹣1）2+（x3﹣1）2+…+（x2022﹣1）2
＝910×（﹣1﹣1）2+1112×（1﹣1）2
＝910×4+0
＝3640．
故选：C．
【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，熟练掌握1和﹣1的乘方的特征是解题关键．
10．
【分析】根据立方的定义即可求解．
【详解】解：，
即的立方等于．
故答案为：．
【点睛】本题考查有理数的乘方；掌握立方的定义是解题的关键．
11．
【分析】根据题意可求出第一次截去全长的，剩下米，第二次截去余下的，剩下，从而即可得出第五次截去余下的，剩下米．
【详解】解：第一次截去全长的，剩下米，
第二次截去余下的，剩下米，
…
第五次截去余下的，剩下米．
故答案为：．
【点睛】本题考查有理数乘方的应用，数字类规律探索．理解乘方的定义是解题关键．
12．
【分析】根据有理数的四则混合运算法则编排、计算即可．
【详解】最大的组合为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算，掌握有理数的四则混合运算法则是解答本题的关键．
13．
【分析】根据有理数简便运算凑整优先的原则，逐步化简计算即可．
【详解】原式=
【点睛】本题考查了有理数混合运算中的简便运算，选择合适的简便方法是解题的关键．
14．-10
【分析】根据有理数运算法则进行计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】此题考查含乘方的有理数混合运算，掌握乘方的计算法则，有理数混合运算的计算法则是解题的关键．
15．1
【分析】根据相反数的性质得a+b=0，再代入进行计算即可．
【详解】解：∵a，b互为相反数，
∴a+b=0，
∴（a+b﹣1）2016＝，
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查相反数的性质和有理数的乘方，关键是正确理解相反数的性质．
16．4
【分析】由5×2n+1是完全平方数，可设5×2n+1=m2 （其中m为正整数），可得5×2n=m2-1=（m+1）（m-1），即可得m为奇数，然后设m=2k-1（其中k是正整数），即可得方程组，解方程组即可求得答案．
【详解】解：设5×2n+1=m2（其中m为正整数），
则5×2n=m2-1=（m+1）（m-1），
∵5×2n是偶数，
∴m为奇数，
设m=2k-1（其中k是正整数），
则5×2n=4k（k-1），
即5×2n-2=k（k-1）．
显然k＞1，
∵k和k-1互质，
∴或或，
解得：k=5，n=4．
因此，满足要求的整数n为4．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了完全平方数的知识．此题难度较大，解题的关键是将原式变形，可得5×2n=m2-1=（m+1）（m-1），然后得到m为奇数，则可设m=2k-1（其中k是正整数），从而得到方程组．
17． 0
【分析】（1）根据题意，通过有理数乘法和加法计算，即可得到答案；
（2）结合题意，根据含乘方的有理数混合运算的性质计算，即可得到答案．
【详解】解：（1）根据题意，，
∴
故答案为：；
（2）根据题意，得：
∴，
∴
∴
故答案为：0．
【点睛】本题考查了有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握含乘方的有理数混合运算的性质，从而完成求解．
18．552
【分析】由题意得出13+23+…+103＝(1+2+…+10)2＝552，即可得出答案；
【详解】解：∵13＝12；
13+23＝ (1+2)2＝32；
13+23+33＝(1+2+3)2＝62；
13+23+33+43=(1+2+3+4) 2=102
…
∴13+23+…+103＝(1+2+…+10)2＝552，
故答案为：552；
【点睛】本题考查了数字的变化规律和有理数的混合运算，根据题意数字变化规律是解题的关键．
19．81
【分析】根据题意分别确定a，b，c，d的取值范围，得到4d≤12，3c≤12，2b≤18，a≤89，
再分别确定a，b，c，d的值，即可得到a+2b+3c+4d的最大值．
【详解】解：∵a，b，c，d表示4个不同的正整数，且a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，
∴d4＜90，则d＝2或3，
c3＜90，则c＝1，2，3或4，
b2＜90，则b＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，
a＜90，则a＝1，2，3，…，89，
∴4d≤12，3c≤12，2b≤18，a≤89，
∴要使得a+2b+3c+4d取得最大值，则a取最大值时，a＝90﹣（b2+c3+d4）取最大值，
∴b，c，d要取最小值，则d取2，c取1，b取3，
∴a的最大值为90﹣（32+13+24）＝64，
∴a+2b+3c+4d的最大值是64+2×3+3×1+4×2＝81，
故答案为：81．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，根据题意确定a，b，c，d的取值范围是解题关键．
20．(1)0；
(2)．
【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）先计算有理数乘方和括号内的，再进行有理数的混合运算即可；
（2）先计算有理数乘方和括号内的，再进行有理数的混合运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
21．见解析
【分析】利用含乘方的有理数运算法则和乘法结合律计算即可．
【详解】解：
正确解答过程如下：
原式
．
【点睛】本题考查含乘方的有理数运算和乘法结合律，解题的关键是掌握含乘方的有理数运算法则和乘法结合律，能够正确计算．
22．(1)-16
(2)-12
【分析】（1）根据规定的新运算列式计算即可；
（2）根据规定的新运算列式计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：2 5＝2×5﹣2﹣+1
＝10﹣2﹣25+1
＝﹣16；
（2）解：由题意得：（﹣2） （﹣5）＝（﹣2）×（﹣5）﹣（﹣2）﹣+1
＝10+2﹣25+1
＝﹣12．
【点睛】本题考查了新运算，有理数的混合运算，正确理解新运算，熟练掌握有理数混合运算的法则是解题的关键．
23．（1），.
（2）；
（3）
【分析】（1）新定义的运算法则计算即可．
（2）根据例样计算即可．
（3）按照各自的运算法则依序计算即可．
【详解】解：（1），.
（2）；
（3）．
【点睛】本题考查了创新型计算，熟练掌握运算定义是解题的关键．
24．(1)S＝221﹣2；
(2)
(3)S＝
【分析】（1）（2）根据题目所给方法，令等式左边为S，表示出2S，相减即可得到结果；
（3）根据题目所给方法，令等式左边为S，表示出aS，相减即可得到结果．
【详解】（1）设S＝2+22+…+220，则：
2S＝22+23+…+220+221，
2S﹣S＝（22+23+…+220+221）﹣（2+22+…+220）＝221﹣2，
∴S＝221﹣2，
故答案为：221﹣2．
（2）设S，则：
，
，
∴S＝，
故答案为：．
（3）设S＝1+a+a2+a3+…+an，则：
aS＝a+a2+a3+…+an+an+1，
aS﹣S＝（a﹣1）S＝（a+a2+a3+…+an+an+1）﹣（1+a+a2+a3+…+an）＝an+1﹣1．
∴S＝
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是将所求的式子看作整体进行扩大或缩小，要熟悉本题的解题思路．
25．(1)①；
(2)见解析．
【分析】（1）根据有理数的运算法则可知从①计算错误；
（2）根据有理数的运算法则计算即可．
【详解】（1）解：由题意可知：
；
故开始出现错误的步骤是①，
（2）解：，
，
，
．
【点睛】本题考查含乘方的有理数的运算，解题的关键是掌握运算法则并能够正确计算．
26．（1）；（2）L2（4）+L2(16)=L2(64)；（3）；（4）
【分析】（1）根据定义写出各“劳格数”的值；
（2）由（1）的结论直接得出结果；
（3）根据定义归纳出一般性的结果；
（4）根据（3）的结论进行计算即可．
【详解】（1）
L2（4）=2，L2(16)=4，L2(64)=6
故答案为：
（2）
L2（4）+L2(16)=L2(64)
故答案为：L2（4）+L2(16)=L2(64)
（3）设
则
即La(M)+La(N)= La(M N)
故答案为：
（4） La（3）=0.5
【点睛】本题考查了有理数乘方的概念，新定义概念，理解题意是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
