人教版八年级上册数学第十二章 全等三角形证明题专题训练
1．如图，点A、D、B、E在同一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
2．在中，是的中点，．
(1)证明：；
(2)若，平分，求的度数．
3．如图，在中，，将沿射线的方向平移至，连接，设与的交点为O．
(1)若为的中点，求证：；
(2)若平分，求的度数．
4．如图，，，，，与交于点F．
(1)求证：；
(2)求的度数．
5．如图，在中，，于点D，，且，过C作．
(1)求证：；
(2)求证：．
6．已知于点于点交于点E．
(1)如图1，求证：
(2)如图2，延长交于点F，请直接写出图2中的所有全等三角形．
7．如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F使得，连．
(1)求证：；
(2)若，连接，平分，求的度数．
8．如图，中，点是的中点，过点作，连接并延长交于点，连接、．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
9．如图，中，，D是延长线上一点，点E是的平分线上一点，过点E作于F，于G．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
10．如图，在中，，，是角平分线，与相交于点，，，垂足分别为M，N．
(1)求的度数；
(2)求证：．
11．已知：如图，点D为线段上一点，．
(1)求证：；
(2)若，点D为线段的中点，求的长．
12．如图，在和中，，点是的中点，于点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
13．如图，在中，，点在边上，点在边上，连接、，若，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
14．如图，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
15．如图，点D在边上，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
16．如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点使得，连．
(1)求证：；
(2)若，连接，平分，平分，求的度数．
17．如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，，求四边形的面积．
18．在中，，，F为延长线上一点，点E在上，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
19．如图，在四边形中，，，，
(1)求证：≌；
(2)若，，求的度数．
20．如图，在四边形中，于点F，交BC于点G，交的延长线于点E，且．
(1)求证：；
(2)如图2，连接AG，若，请直接写出图2中的三角形，使写出的每个三角形的面积是面积的2倍．
21．已知：如图，在中，，，，、交于点．
(1)求证：；
(2)请判断与的大小关系并证明．
22．如图，在和中，，，，且点，，在同一直线上，点，在同侧，连接，交于点．
(1)求证：≌；
(2)若，求的度数．
23．如图，平分，于E，若．
(1)求证：；
(2)求与之间的等量关系．
24．如图，已知等腰三角形、中，，，连接、，说明：
(1)；
(2)．
()
()
参考答案：
1．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据得，由此可依据“”判定和全等；
（2）由得，进而根据三角形内角和定理可得的度数．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
【详解】（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
；
（2）解：，，
由（1）可知：，
，
．
2．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等
（1）证明，得出；
（2）由平行线的性质得出，，由角平分线的定义可得出答案．
熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）解：证明：，
，，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
；
（2），
，，
，
，
平分，
．
3．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了平移的性质和全等三角形的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，掌握平移性质是解答的关键．
（1）根据平移性质得到，从而得到，再根据为的中点，得到，从而证明结论；
（2）根据平分，得到，从而证明．再根据三角形内角和定理以及，即可求解．
【详解】（1）证明：∵由沿射线的方向平移所得，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴．
在和中，
，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
又∵，
∴．
∵，
∴．
4．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据，，得到，继而得到，得证，证明即可得证．
（2）根据得到，设与交于点G．利用对顶角相等，三角形内角和定理，邻补角的性质计算即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴．
（2）设与交于点G．
∵
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，对顶角相等，三角形内角和定理，邻补角的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，对顶角的性质是解题的关键．
5．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查的是同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键；
（1）证明，即可得到结论；
（2）先证明，再证明即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
6．(1)见解析；
(2)，，．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质， 熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.
（1）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的判定定理即可得到结论.
【详解】（1）证明: 于点, 于点,
，
在与中，
，
，
；
（2）由（1）知,
∴,
∴,
∵,
∴,
在与中,
，
∴,
在与中，
，
∴,
故图中的所有全等三角形有,,.
7．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
（1）求出，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】（1）证明：∵为中点，
，
在和中
，
，
，
；
（2）解：∵平分，
，
，
，
，
，
．
8．(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）利用即可证明；
（2）结合（1）利用线段的和差即可解决问题．
【详解】（1）证明：是的中点，
，
∵，
，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）知：，
，
，
．
9．(1)见详解
(2)1
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）由角平分线的定义以及垂直的定义，利用即可证明；
（2）先利用证明，得到，继而得到，而，则，即可求解．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴．
又∵，，
∴．
在和中：
，，，
∴．
（2）解：∵平分且，，
∴．
∵
∴，
∵
∴
∴
即
在和中
，，
∴．
∴．
又∵，，
即，
又∵，
∴．
∴．
∴．
10．(1)的度数为；
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义和三角形内角和定理．
（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可解决问题；
（2）连接，证明，即可解决问题．
【详解】（1）解：在中，，，
，
、分别是、的平分线，
，，
，
，
∴的度数为；
（2）证明：如图，连接，
是角平分线交点，
也是角平分线，
，，
在中，，，
，
，
，
，，
，
，
．
11．(1)见解析；
(2)6．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法和性质．
（1）通过证明得出，进而推出，即可求证；
（2）根据全等三角形的性质得出，结合中点的定义和全等三角形的性质，即可解答．
【详解】（1）证明：，
∴，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：由（1）可知：，
，
，
为线段的中点，
由（1）可知：，
．
12．(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）由“”可证；
（2）由全等三角形的性质可得，，即可求解．
【详解】（1）证明：，，
，，
，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）得：，
，，
是的中点，
，
，，
，
．
13．(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
（1）由可得，结合可推出，由，结合三角形的外角性质可得，即可证明；
（2）由（1）可知，根据全等三角形的性质以及线段的和差即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，，
，
在与中，
，
；
（2）解：，
，，
，
．
14．(1)证明见解析
(2)
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，推导出，进而证明是解题的关键．
（1）由，得，而，，即可根据“”证明，则；
（2）由全等三角形的性质得，而，则．
【详解】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：由（1）得，
，
，
，
的度数是．
15．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、外角的性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型；
（1）根据推出即可求证；
（2）根据全等三角形的性质可得，，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
，
（2）解：，
，
，
16．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据线段中点的定义可得，然后利用证明，从而可得，最后利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答；
（2）先利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，然后利用角平分线的定义可得，再利用（1）的结论即可解答．
【详解】（1）证明：为中点，
，
在和中，
，
，
，
；
（2），
，
∵
，
平分，
，
，
，
的度数为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的面积，解决问题的关键是理解全等三角形的面积相等，三角形的中线将原三角形分成两个面积相等的三角形；
（1）由是的中点得，再根据得，，由此可得出结论；
（2）由（1）的结论得，由此可证和全等，则，进而得，根据是边上的中线得，则，然后求出的面积可得四边形的面积．
【详解】（1）证明：是的中点，
，
，
，，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）可知：，
，
是边上的中线，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
．
18．(1)见解析
(2)6
【分析】（1）根据，，利用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得，根据已知条件得出，根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）∵，
∴，
在和中，
，
∴．
即．
（2）∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定定理以及平行线的性质，掌握以上知识点是解此题的关键．
（1）通过，可得出，再利用全等三角形的判定定理即可证明结论；
（2）根据已知条件以及三角形内角和定理可求出，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴．
又，，
≌
（2）≌，
∴
∵
∴
20．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及共高三角形面积比等于底之比，熟练掌握基本知识是解题的关键；
（1）用即可证明；
（2）先证明，则，再证明，则，由与同底等高，得，再证明，则，最后与同底等高，
得，所以．
【详解】（1）证明：∵
∴
∴在和中，
，
∴；
（2）
∵
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵ ，,
∴，
∴
∵
∴与同底等高，
∴,
∴
∵，∴，
∴,
∴，
∴，∵，
∴，
∴，
∵
∴与同底等高，
∴，
∴，
∴的面积为面积的2倍．
21．(1)证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）利用定理证明；
（2）根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，得到，根据等腰三角形的判定定理证明．
【详解】（1）
证明：，
，即，
在和中，
，
；
（2）
解：，
证明如下：，
，
，
，
，
．
22．(1)见解析
(2)
【分析】由，得出，再利用“”即可证明≌；
由，，得出，由外角的性质得出，由全等三角形的性质得出，由外角的性质得出，可得答案.
【详解】（1）证明：，
∴，
即，
在和中，
，
≌；
（2），，
∴.
是的外角，
∴.
≌，
∴，
∵是的外角，
∴.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平角的定义，三角形外角的性质，灵活选择判定定理是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的性质．
（1）过点P作于F，由角平分线定理求得，利用证明，推出，据此即可证明；
（2）利用证明，推出，进一步计算即可得到．
【详解】（1）证明：过点P作于F，
∵平分，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，
证明：∵平分，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
24．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由，可得，从而可证，即可得出结论；
（2）根据全等三角形的性质可得，由，并结合对顶角相等可得，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：如图，与交于点G，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
()
()
