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矩形的性质与判定
1．如图1，直线l1∥l2，直线l3分别交直线l1，l2于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论：
①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形；
②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①错误，②正确
C．①②都错误 D．①正确，②错误
【答案】B
【解答】解：根据作图过程可知：AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，
∵l1∥l2，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝CB，
∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD对角线互相垂直．
∴①错误，②正确．
故选B．
2.．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点M为AB的中点，连接OM．若AC＝4，BD＝8，则OM的长为 ．
【答案】．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝4，BD＝8，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝×4＝2，OB＝OD＝BD＝×8＝4，
∴∠AOB＝90°，
∴AB＝＝＝2，
∵点M为AB的中点，
∴OM＝AB＝×2＝，
故答案为：．
3．如图，在菱形中，点E，F，G分别在，，上，，．若菱形的边长为6，则的长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，由菱形的性质得出，由等边对等角得出，证明四边形为平行四边形，，得出，，从而推出，即可得解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：6
4．如图，在边长为2的菱形中，，点M是的中点，连接，将菱形翻折，使点A落在线段上的点E处，折痕交于点N，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】过点M作，交于点F，解直角三角形得出的长，再根据勾股定理求得，即可解答．
【详解】解：如图所示，过点M作，交于点F，
∵在边长为2的菱形中，，
，
，
，
，点M为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
将菱形翻折，使点A的对应点落在上，
，
∴．
故答案为：．
5.如图，在四边形中，，，平分，连接交于点O，过点C作交延长线于点E．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析； (2)
【分析】（1）由题意可先判断四边形是平行四边形，结合平行线的定义和角平分线的定义推出，即可得到，从而证得结论；
（2）根据菱形的基本性质以及勾股定理首先求出，然后利用菱形的面积可由对角线乘积的一半来表示，利用等面积法求出结论即可．
解：（1）证明：∵，，
∴，四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
即的长为．
知识点一：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
知识点二： 矩形的性质
矩形的性质包括四个方面：
1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
结论：
（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.
（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.
知识点三：矩形的判定
矩形的判定有三种方法：
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
结论：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.
1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（ ）
A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠A＝∠C D．AC＝BD
【答案】D
【解答】解：结合选项可知，添加AC＝BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，根据矩形判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，
∴四边形ABCD是矩形，
故选：D．
2.（23-24九年级下·湖北随州·期末）在矩形中，对角线与交于点，下列结论一定正确的是（ ）
A．是等边三角形 B．
C． D．平分
【答案】B
【分析】根据矩形的性质即可得．
【详解】解：由题意，画图如下：
，
是等腰三角形，不一定是等边三角形，
，平分均不一定正确，
故选：B．
3．（2023 十堰）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是（ ）
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B．对角线BD的长度减小
C．四边形ABCD的面积不变
D．四边形ABCD的周长不变
【答案】C
【解答】解：向左扭动矩形框架ABCD，只改变四边形的形状，四边形变成平行四边形，A不符合题意；
此时对角线BD减小，对角线AC增大，B不合题意．
BC边上的高减小，故面积变小，C符合题意，
四边形的四条边不变，故周长不变，D不符合题意．
故选：C．
4（23-24九年级下·四川宜宾·期中）如图，在矩形中，，，以点为圆心、的长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质，作角平分线，角平分线的性质，勾股定理；根据作图过程可得是的平分线，然后证明，再利用勾股定理即可求出的长．
【详解】解：如图，连接EG，
根据作图过程可知：是的平分线，
，
在和中，
，
，
，，
在中，，，
，
，
在中，，，，
，
解得．
故选：D．
5（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，在四边形中，对角线相交于点O，，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可知四边形是平行四边形，然后再根据四个选项所给条件一一进行判断即可得出答案．
【详解】解：在四边形中，对角线相交于点O，，
四边形是平行四边形，
A、添加条件，可得四边形是菱形，但不一定是矩形，故符合题意；
B、若，则，故四边形是矩形，故不符合题意；
C、若，则，故四边形是矩形，故不符合题意；
D、若，则，则，故四边形是矩形，故不符合题意；
故选：A．
6、（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）已知：O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分，，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用矩形的性质及已知条件证明，，再证是等边三角形，得出，，进而得出，，利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵ 四边形ABCD是矩形，O是矩形ABCD对角线的交点，
∴，，
∵ AE平分，
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∵ ，.
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
故选C．
7．如图，矩形的对角线，交于点O，，，过点O作，交于点E，过点E作，垂足为点F，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形性质是解答此题的关键．
根据勾股定理求出，进而得到，
依据矩形的性质即可得到的面积为12，再根据，即可得到的值．
【详解】解：∵，，
∴矩形的面积为，
∴，
，
∵对角线交于点，
∴的面积为，
∵，
∴，
即，
∴，
∴．
故选：B．
8.（23-24九年级上·四川达州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，F，交的延长线于点E，已知，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，易证，可得四边形为矩形，即可证明，可求得的长，根据是中位线可以求得的长度，即可求得矩形的面积，即可解题．
【详解】解：∵
∴F是的中点，
∵D是中点，
∴是中位线，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴
∴，
∴四边形为矩形，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴矩形面积．
故选：A．
9．四边形具有不稳定性．如图，矩形ABCD按箭头方向变形成平行四边形A'B'C'D'，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则∠A'＝ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵，
∴平行四边形A'B'C'D'的底边A′D′边上的高等于A′B′的一半，
∴∠A'＝30°．
10.（23-24九年级下·湖南·期中）如图，矩形的对角线相交于点O，过点O作，交于点E，若，则的大小为 ．
【答案】/60度
【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质，等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
11．如图，点是矩形的对称中心，，分别是边，上的点，且，已知矩形的面积是32，那么图中阴影部分的面积为 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查了矩形性质以及全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．首先根据矩形的性质可得，，进而可得，证明，由全等三角形的性质可得，然后结合矩形的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：8．
12.（23-24九年级下·广东江门·期中）已知：如图，M是矩形外一点，连接、、、，且．
求证：．
【答案】见详解
【分析】
可证，从而可证（），即可求证．
【详解】
证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
在和中
，
（），
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，掌握性质及判定方法是解题的关键．
13.（23-24九年级下·上海松江·期末）如图，已知平行四边形的对角线交于点O，延长至点H，使，连接，过点H作，过点B作．
(1)求证：；
(2)当时，求证：四边形是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，矩形的判定及性质，菱形的判定及性质，勾股定理等．
（1）由平行四边形的性质得，由平行四边形的判定方法得是平行四边形，由平行四边形的性质得；
（2）由菱形的性质得，可得四边形是平行四边形，由矩形的判定方法即可判定．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
14.（23-24九年级下·湖北荆州·期中）如图，在矩形中，点E，F在边上，，交于点M，且，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质，由矩形的性质得出，，由等边对等角得出，推出，再由证明，即可得证．
【详解】证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
15.（23-24九年级下·山东临沂·期中）如图，已知矩形，点在延长线上，点在延长线上，过点作交的延长线于点，连接交于点，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的斜边中线定理，解题的关键是灵活运用这些知识．由，，得到，推出，根据矩形的性质得到，，证明，即可求解．
【详解】证明： ，，
，
，
四边形是矩形，
，，
在和中，
，
，
，
，
即．
1．我们知道，三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．如图，矩形AOCB的顶点A和C分别在y轴和x轴上，且A（0，4），C（6，0）．向下按压矩形AOCB，得到如图所示的平行四边形，其中∠AOA′＝30°，则平行四边形 的对角线的交点D的坐标为（ ）
A．（1，） B．（2，） C．（2，） D．（1，）
【答案】B
【解答】解：作A′M⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，
∵A的坐标是（0，4），C的坐标是（6，0），
∴OA＝4，OC＝6，
由题意知OA′＝OA＝4，
∵∠AOA′＝30°，
∴∠MOA′＝90°﹣∠AOA′＝60°，
∴OM＝OA′＝2，
∴A′M＝OM＝2，
∴CM＝OC+OM＝8，
∵四边形OCB′A′是平行四边形，
∴CD＝DA′，
∵A′M⊥x轴，DN⊥x轴，
∴DN∥MA′，
∴MN＝NC，
∴CN＝CM＝4，
∴ON＝OC﹣CN＝6﹣4＝2，
∵CD＝DA′，MN＝CN，
∴DN是△CMA′的中位线，
∴DN＝MA′＝，
∴D的坐标为（2，）．
故选：B．
2.（23-24九年级下·湖北荆州·阶段练习）如图，矩形的边、分别在x轴、y轴上，点A的坐标是，点D、E分别为、的中点，点P为上一动点，当最小时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了矩形的性质，轴对称最短路径问题，坐标与图形，求一次函数与坐标轴的交点坐标，取点E关于x轴的对称点，连接，连接交x轴于点，则最小值为，此时点P位于处，利用矩形的性质得到，则，再求出直线的解析式为，即可求出点的坐标．
【详解】解：取点E关于x轴的对称点，连接，连接交x轴于点，
∴，
∵，
∴最小值为，此时点P位于处，
∵四边形是矩形，点A的坐标是，
∴，
∵点D、E分别为的中点，
∴，
∴
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得，
∴，
即当最小时，点P的坐标为，
故选：A
3.（23-24九年级下·江苏南京·期中）如图，矩形中，，，点E、F、G、H分别在、 、、上，且，．点P为矩形内一点，四边形、四边形的面积分别记为、，则 ．
【答案】21
【分析】本题考查矩形的性质，过作并延长交于T，过作并延长交于N，结合矩形的性质及三角形面积加减关系求解即可得到答案．
【详解】过作并延长交于T，过作并延长交于N，连接，，，，
∵四边形是矩形，，，，，
∴，，，，，
，
∵，，
∴，，
∴
．
故答案为：21．
4.（23-24九年级上·广西河池·期中）如图，矩形中，，，对角线上有一点（异于，），连接，将绕点逆时针旋转得到，则的长为 ．
【答案】
【分析】过点作交的延长线于点，根据旋转的性质得出，进而得出，勾股定理得出，在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，
∵四边形是矩形，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
5..（23-24九年级下·湖北武汉·期末）如图，中，，，D，E分别为上的点，，F，G分别为，的中点，连，则的长度是 ．
【答案】
【分析】取的中点，连接，并延长交于点，交于点，根据三角形中位线定理得出，，，，证明四边形是矩形，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，取的中点，连接，并延长交于点，交于点，
，分别为，的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
故答案为：．
6..（23-24九年级下·山东临沂·期末）如图，点，点，点为线段上一个动点，作轴于点，作轴于点，连接，当取最小值时，则四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】首先连接OP，易得四边形ONPM是矩形，即可得在中，当OP⊥AB时OP最短，即MN最小，然后利用勾股定理与三角形的面积的求解，则四边形的面积可求．
【详解】解：如图，连接OP．
由已知可得：．
∴四边形ONPM是矩形．
∴，
在中，当时OP最短，即MN最小．
∵即
根据勾股定理可得：．
∵
∴
∴
即当点P运动到使OP⊥AB于点P时，MN最小，最小值为
在中，根据勾股定理可得：
∴
∵
∴
∴
在中
∴
∴
故答案为：
7.（23-24九年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是矩形，点、的坐标分别为、，点是的中点，点在边上运动，当是腰长为的等腰三角形时，点的横坐标为 ．
【答案】2/3/8
【分析】本题考查了矩形的性质、坐标与图形的性质、等腰三角形的性质，当时，当时，当时分类讨论，正确分类讨论是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于点，
(1)当时，，，
易得，
∴；
(2)当时，
，，
易得，从而或，
∴或；
(3)当时，，
此时腰长为：，故这种情况不合题意，舍去．
综上，满足题意的点的坐标为， ， ，
∴点的横坐标为 ，或．
8.如图，在矩形中，，，、是对角线上两个动点，分别从A、同时出发相向而行，速度均为秒，运动时间为秒，．
(1)若、分别是、的中点，当时，求证：四边形是平行四边形；
(2)若、分别是、的中点，当_________时；四边形是矩形；
(3)若、分别是折线，上的动点，以与、相同的速度分别从A、和、同时出发，当_________时；四边形是菱形；
【答案】(1)见解析；
(2)或；
(3)．
【分析】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、平行四边形的判定和菱形的判定，解题的关键是掌握矩形的性质定理、菱形的判定定理，灵活运用分情况讨论思想．
（1）根据勾股定理求出，证明，根据全等三角形的性质得到，利用内错角相等得，根据平行四边形的判定可得结论；
（2）如图1，连接，分、两种情况，列方程计算即可；
（3）连接、，判定四边形是菱形，得到，根据勾股定理求出，得到的长，根据题意解答．
【详解】（1）解：四边形是矩形，
，，，，
，
，，
，
、分别是、的中点，
，，
，
、是对角线上的两个动点，分别从A、同时出发，相向而行，速度均为，
，
，
，
，，
，
以、、、为顶点的四边形始终是平行四边形；
（2）如图1，连接，由（1）可知四边形是平行四边形，
、分别是、的中点，
，
当时，四边形是矩形，分两种情况：
①∵，则，
解得：，
②
∵，则，
解得：，
即当为秒或秒时，四边形是矩形；
（3）如图2，连接、，
四边形是菱形，
，，，
，
四边形是菱形，
，
设，则，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
，
，
即为秒时，四边形是菱形．
9.（23-24九年级下·山东泰安·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接、、．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）证明是等腰直角三角形，即可得证；
（2）在，是的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，根据，可得，进而根据得出，，即可得证；
（3）连接，根据矩形的性质可得，进而证明是等腰直角三角形，即可得出结论．
【详解】（1）解：四边形是矩形，四边形是矩形，
，，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
．
（2）在，是的中点，
，则是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
（3）连接，四边形是矩形，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
10.（23-24九年级上·吉林·期末）如图，点E是长方形的边延长线上一点，连接，点F是边上一个动点，将沿翻折得到，已知，，
(1)求的长；
(2)若点P落在的延长线上，求的面积；
(3)若点P落在射线上，求的长.
【答案】(1)5
(2)
(3)1或
【分析】此题考查了矩形的判定与性质、翻折的性质、勾股定理、三角形面积等知识，熟练掌握长方形的判定与性质、翻折的性质、勾股定理并作出合理的辅助线构建直角三角形是解题的关键．
（1）根据长方形的性质及勾股定理求解即可；
（2）根据翻折的性质推出，，根据勾股定理及线段的和差求出，根据三角形面积公式求解即可；
（3）分两种情况：点P落在线段上，点P落在线段的延长线上，根据长方形的性质及勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：点E是长方形的边延长线上一点，
，，
，，
；
（2）如图，点P落在的延长线上，
由翻折性质得，，
，，
设，则，
解得：，
，
；
（3）点P落在线段上，如图，过点F作于点M，
，
四边形为长方形，
，，，
四边形矩形，
，
在中，，，，
，
，
在中，，，
，
此时点P与M重合；
点P落在线段的延长线上时，如图，过点F作于点N，
，
，，
，
设，则，
，
四边形为矩形，
，
，
，，
，即，
综上，点P落在射线上，的长为1或．
1.（23-24九年级下·吉林长春·期中）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是（ ）
A．四边形由矩形变为平行四边形 B．对角线的长度增大
C．四边形的面积不变 D．四边形的周长不变
【答案】C
【分析】本题考查矩形的性质和平行四边形的性质，熟悉性质是解题的关键．
由题意得向左扭动框架，由矩形变成了平行四边形，四边形四条边不变，故周长不变，高变小，底不变，故面积变小，即可选出答案．
【详解】解：向左扭动框架，由矩形变成了平行四边形，故A选项说法正确，A不符合题意；
此时对角线减小，对角线增大，故B选项说法正确，B不符合题意；
边上的高减小，面积就变小，故C选项说法错误，C符合题意；
四边形四条边都不变，周长就不变，故D选项说法正确，D不符合题意．
故选：C．
2.（23-24九年级下·湖北武汉·期中）如图，平分，为矩形的对角线上的一点，于点，的延长线与的延长线交于点，若，则的值是( )
A．6 B．7 C．8 D．10
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质，等角对等边，过作于，连接，证明，根据，得出，则，根据等角对等边即可求解．
【详解】解：过作于，连接，
平分，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
故选：D．
3.（23-24九年级下·浙江宁波·期中）如图，点是矩形内一点，连结，，，，，知道下列哪个选项的值就能要求的面积（ ）
A．与面积之差 B．与面积之差
C．与面积之差 D．与面积之差
【答案】C
【分析】过作于，延长交于，由四边形是矩形，得到，，由的面积，的面积，推出的面积的面积的面积，而的面积的面积的面积的面积，于是即可得到答案．
【详解】解：过作于，延长交于，
四边形是矩形，
，，
，
的面积，的面积，
的面积的面积矩形的面积，
的面积矩形的面积，
的面积的面积的面积，
的面积的面积的面积的面积，
的面积的面积的面积的面积的面积的面积的面积．
故选：C．
4.（23-24九年级下·贵州黔南·期末）在四边形中，，不能判定四边形为矩形的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】C
【分析】根据矩形的判定条件逐项进行分析判断即可；
【详解】解：A、∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，不能判定四边形为矩形，故选项C符合题意；
D、∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴四边形ABCD是矩形，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
5．如图，矩形的对角线交于点，若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质，正确掌握性质推理证明是解题的关键．根据矩形的性质推出，结合已知，证明为等边三角形，得出，根据得出答案即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故选：D．
6．如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可知AD平分∠CAO，过D点作DE⊥AC于点E，利用角平分线的性质可知OD=OE，利用等面积法即可求出结果．
【详解】解：过D点作DE⊥AC于点E，如图所示，
∵AD平分∠CAO，
∴DO=DE，
∵点B的坐标为，
∴OA=4，OC=3，
∴，
∴，
∴，
∴OD=，
∴D点坐标为（0，），
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线性质，勾股定理的应用，利用等面积法进行求值是解题的关键．
7.（23-24九年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )
A．DB＝DE B．AB＝BE C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE
【答案】A
【分析】先证明四边形BCDE为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵DE＝AD，
∴DE∥BC，且DE=BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
A、∵DB=DE，∴ DBCE为菱形，故本选项错误；
B、∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴∠EDB=90°，∴ DBCE为矩形，故本选项正确；
C、∵∠ADB=90°，∴∠EDB=90°，∴ DBCE为矩形，故本选项正确；
D、∵CE⊥DE，∴∠CED=90°，∴ DBCE为矩形，故本选项正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定，首先判定四边形BCDE为平行四边形是解题的关键．
8.（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·期中）在下面性质中，菱形有而矩形没有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．内角和为
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
【答案】D
【分析】根据菱形和矩形的性质依次判定即可.
【详解】A. 菱形和矩形的对角线都互相平分，故A选项不符合题意；
B. 菱形和矩形的内角和都为，故B选项不符合题意；
C. 矩形的对角线相等，而菱形的对角线不相等，故C选项不符合题意；
D.菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不互相垂直，故D选项符合题意.
故选：D
【点睛】本题主要考查了菱形和矩形的性质，熟练掌握菱形和矩形的性质是解题的关键.
9.（23-24九年级下·上海金山·期中）如图，长方形中，点E、F分别为边上的任意点，、的面积分别为15和25，那么四边形的面积为 ．
【答案】40
【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是能正确作出辅助线，
连接，可得，再根据面积的和差可得，同理可得，即可解答
【详解】解：连接，
，
又，，
同理
，
又，，
，
故答案为：40
10.（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）矩形中，对角线交于点O，于E，且，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】分两种情况，当为锐角时，设，则，利用直角三角形两个锐角互余即可求解；当为钝角时，证明 ，推出是等边三角形，即可求解．
【详解】解：分两种情况：
（1）如图，当为锐角时，
矩形中，，
，
设，则，
，
，
，即，
，
，即；
（2）如图，当为钝角时，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又矩形中，，
，
是等边三角形，
，
，
综上可知，的度数为或．
故答案为：或．
11．如图，延长矩形的边至点，使，连结，若，则 ．
【答案】/30度
【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角与内角关系，解题关键是添加辅助线构造等腰三角形，掌握矩形对角线互相平分且相等，对边平行等性质．如图，连接，根据矩形对角线互相平分且相等，对边分别平行，得，，，根据“等边对等角”及平行线的性质得，已知，根据等量代换得，然后根据“等边对等角”，即可得，再根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”，得，求解即可得出答案．
【详解】解：如图，连接交于点，
四边形是矩形，
，，，
，则，
，
，
，
，
，
故答案为：．
12．如图，矩形中，，，对角线、相交于点，点是线段上任意一点，且于点，于点，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握矩形的性质，勾股定理的运用．连接，根据矩形的性质，得，点是对角线的中点，则，再根据，，即可求出的值．
【详解】解：连接，
∵四边形是矩形，
∴，，，
，，，
∴，
根据勾股定理得：，
∴，
∵，，
∴，
∵于点，于点，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
13.（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点C恰好落在边上的点F处若点D的坐标为，则点E的坐标为
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，坐标的意义，得到，
，根据勾股定理，得到，，设，则，根据勾股定理解答即可．
【详解】∵长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点C恰好落在边上的点F处，点D的坐标为，
∴，，
，轴，
∴，，
设，
则，，
∴，
解得，
故，
故答案为：．
14.（23-24九年级下·上海·期末）如图，在平行四边形中，点、、、分别在边、、、上，，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当，且时，请判断四边形的形状并证明．
【答案】(1)见解析
(2)四边形是矩形，证明见解析
【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；
（1）根据全等证得，，对边相等，即可证得四边形是平行四边形；
（2）证得四边形中一个角为直角，即可证得四边形是矩形．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，，
，，且，
，
，
同理可得，
四边形是平行四边形；
（2）四边形是矩形，证明如下，
，
，，
，
，
，
，，
， ，
，
，
平行四边形是矩形．
15（23-24九年级下·北京大兴·期中）在矩形中，，，是边上一点，连接，过点作交于点，作，交射线于点，交射线于点．
（1）如图1，当点与点重合时，求的长；
（2）如图2，当点在线段上时，用等式表示线段与之间的数量关系（其中），并证明．
【答案】（1）3；（2），证明见解析
【分析】（1）求出，由矩形的性质推出，即可得出答案；
（2）过点作，垂足为点，推出，求出，得出，推出，即可得出答案．
【详解】解：（1）如图，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
；
（2）线段与之间的数量关系为．
证明：如图，过点作，垂足为点，
四边形是矩形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
16.（23-24九年级下·山西·期中）在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于E，交直线DC于F．
(1)在图1中证明CE=CF；
(2)若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），讨论线段DG与BD的数量关系．
【答案】(1)证明见解析；
(2)BD=DG．证明见解析．
【分析】（1）根据AF平分∠BAD，可得∠BAF=∠DAF，利用四边形ABCD是平行四边形，求证∠CEF=∠F即可；
（2）根据∠ABC=90°，G是EF的中点可得△BEG≌△DCG，进而求出△DGB为等腰直角三角形，即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图1，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，ABCD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，
∴∠CEF=∠F．
∴CE=CF．
（2）如图2，
连接GC、BG，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF=∠BAF=45°，
∵∠DCB=90°，DFAB，
∴∠DFA=45°，∠ECF=90°
∴△ECF为等腰直角三角形，
∵G为EF中点，
∴EG=CG=FG，CG⊥EF，
∵△ABE为等腰直角三角形，AB=DC，
∴BE=DC，
∵∠CEF=∠GCF=45°，
∴∠BEG=∠DCG=135°
在△BEG与△DCG中，
，
∴△BEG≌△DCG（SAS），
∴BG=DG，
∵CG⊥EF，
∴∠DGC+∠DGA=90°，
又∵∠DGC=∠BGA，
∴∠BGE+∠DGE=90°，
∴△DGB为等腰直角三角形，
∴BD=DG．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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矩形的性质与判定
1．如图1，直线l1∥l2，直线l3分别交直线l1，l2于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论：
①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形；
②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①错误，②正确
C．①②都错误 D．①正确，②错误
2.．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点M为AB的中点，连接OM．若AC＝4，BD＝8，则OM的长为 ．
3．如图，在菱形中，点E，F，G分别在，，上，，．若菱形的边长为6，则的长为 ．
4．如图，在边长为2的菱形中，，点M是的中点，连接，将菱形翻折，使点A落在线段上的点E处，折痕交于点N，则线段的长为 ．
5.如图，在四边形中，，，平分，连接交于点O，过点C作交延长线于点E．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，，求的长．
知识点一：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
知识点二： 矩形的性质
矩形的性质包括四个方面：
1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
结论：
（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.
（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.
知识点三：矩形的判定
矩形的判定有三种方法：
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
结论：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.
1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（ ）
A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠A＝∠C D．AC＝BD
2.（23-24九年级下·湖北随州·期末）在矩形中，对角线与交于点，下列结论一定正确的是（ ）
A．是等边三角形 B．
C． D．平分
3．（2023 十堰）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是（ ）
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B．对角线BD的长度减小
C．四边形ABCD的面积不变 D．四边形ABCD的周长不变
4（23-24九年级下·四川宜宾·期中）如图，在矩形中，，，以点为圆心、的长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
5.（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，在四边形中，对角线相交于点O，，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
6、（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）已知：O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分，，则( )
A． B． C． D．
7．如图，矩形的对角线，交于点O，，，过点O作，交于点E，过点E作，垂足为点F，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8.（23-24九年级上·四川达州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，F，交的延长线于点E，已知，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．四边形具有不稳定性．如图，矩形ABCD按箭头方向变形成平行四边形A'B'C'D'，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则∠A'＝ ．
10.（23-24九年级下·湖南·期中）如图，矩形的对角线相交于点O，过点O作，交于点E，若，则的大小为 ．
11．如图，点是矩形的对称中心，，分别是边，上的点，且，已知矩形的面积是32，那么图中阴影部分的面积为 ．
12.（23-24九年级下·广东江门·期中）已知：如图，M是矩形外一点，连接、、、，且．
求证：．
13.（23-24九年级下·上海松江·期末）如图，已知平行四边形的对角线交于点O，延长至点H，使，连接，过点H作，过点B作．
(1)求证：；
(2)当时，求证：四边形是矩形．
14.（23-24九年级下·湖北荆州·期中）如图，在矩形中，点E，F在边上，，交于点M，且，求证：．
15,（23-24九年级下·山东临沂·期中）如图，已知矩形，点在延长线上，点在延长线上，过点作交的延长线于点，连接交于点，．求证：．
1．我们知道，三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．如图，矩形AOCB的顶点A和C分别在y轴和x轴上，且A（0，4），C（6，0）．向下按压矩形AOCB，得到如图所示的平行四边形，其中∠AOA′＝30°，则平行四边形 的对角线的交点D的坐标为（ ）
A．（1，） B．（2，） C．（2，） D．（1，）
2.（23-24九年级下·湖北荆州·阶段练习）如图，矩形的边、分别在x轴、y轴上，点A的坐标是，点D、E分别为、的中点，点P为上一动点，当最小时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3.（23-24九年级下·江苏南京·期中）如图，矩形中，，，点E、F、G、H分别在、 、、上，且，．点P为矩形内一点，四边形、四边形的面积分别记为、，则 ．
4.（23-24九年级上·广西河池·期中）如图，矩形中，，，对角线上有一点（异于，），连接，将绕点逆时针旋转得到，则的长为 ．
5.（23-24九年级下·湖北武汉·期末）如图，中，，，D，E分别为上的点，，F，G分别为，的中点，连，则的长度是 ．
6.（23-24九年级下·山东临沂·期末）如图，点，点，点为线段上一个动点，作轴于点，作轴于点，连接，当取最小值时，则四边形的面积为 ．
7.（23-24九年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是矩形，点、的坐标分别为、，点是的中点，点在边上运动，当是腰长为的等腰三角形时，点的横坐标为 ．
8.如图，在矩形中，，，、是对角线上两个动点，分别从A、同时出发相向而行，速度均为秒，运动时间为秒，．
(1)若、分别是、的中点，当时，求证：四边形是平行四边形；
(2)若、分别是、的中点，当_________时；四边形是矩形；
(3)若、分别是折线，上的动点，以与、相同的速度分别从A、和、同时出发，当_________时；四边形是菱形；
9.（23-24九年级下·山东泰安·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接、、．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求证：．
10.（23-24九年级上·吉林·期末）如图，点E是长方形的边延长线上一点，连接，点F是边上一个动点，将沿翻折得到，已知，，
(1)求的长；
(2)若点P落在的延长线上，求的面积；
(3)若点P落在射线上，求的长.
1.（23-24九年级下·吉林长春·期中）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是（ ）
A．四边形由矩形变为平行四边形 B．对角线的长度增大
C．四边形的面积不变 D．四边形的周长不变
2.（23-24九年级下·湖北武汉·期中）如图，平分，为矩形的对角线上的一点，于点，的延长线与的延长线交于点，若，则的值是( )
A．6 B．7 C．8 D．10
3.（23-24九年级下·浙江宁波·期中）如图，点是矩形内一点，连结，，，，，知道下列哪个选项的值就能要求的面积（ ）
A．与面积之差 B．与面积之差
C．与面积之差 D．与面积之差
4.（23-24九年级下·贵州黔南·期末）在四边形中，，不能判定四边形为矩形的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
5．如图，矩形的对角线交于点，若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为（ ）
B． C． D．
7.（23-24九年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )
DB＝DE B．AB＝BE C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE
8.（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·期中）在下面性质中，菱形有而矩形没有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．内角和为
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
9.（23-24九年级下·上海金山·期中）如图，长方形中，点E、F分别为边上的任意点，、的面积分别为15和25，那么四边形的面积为 ．
10.（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）矩形中，对角线交于点O，于E，且，则的度数为 ．
11．如图，延长矩形的边至点，使，连结，若，则 ．
12．如图，矩形中，，，对角线、相交于点，点是线段上任意一点，且于点，于点，则的值是 ．
13.（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点C恰好落在边上的点F处若点D的坐标为，则点E的坐标为
14.（23-24九年级下·上海·期末）如图，在平行四边形中，点、、、分别在边、、、上，，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当，且时，请判断四边形的形状并证明．
15（23-24九年级下·北京大兴·期中）在矩形中，，，是边上一点，连接，过点作交于点，作，交射线于点，交射线于点．
（1）如图1，当点与点重合时，求的长；
（2）如图2，当点在线段上时，用等式表示线段与之间的数量关系（其中），并证明．
16.（23-24九年级下·山西·期中）在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于E，交直线DC于F．
(1)在图1中证明CE=CF；
(2)若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），讨论线段DG与BD的数量关系．
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