简易逻辑5分小题问题的类型与解法
简易逻辑问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考（或高三诊断考试）试卷，就会涉及到简易逻辑的5分小题问题。从题型上看，是选择题（或填空题），难度系数为低（或中）档。纵观近几年的高考（或高三诊断考试）试卷，归结起来简易逻辑5分小题问题主要包括：①判断命题的真假；②四种命题之间的关系；③充分条件，必要条件，充分必要条件的判断；④复合命题的结构及真假判断；⑤全称量词与存在量词及运用；⑥求参数的值或取值范围等几种类型。各种类型结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答简易逻辑5分小题问题时，到底应该如何抓住题型的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过近几年高考（或高三诊断考试）试题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、设，是两个平面，m，n是两条直线，且=m，下列四个命题：①若m//n，则n//或n//；②若mn，则n，n；③若n//且n//，则m//n；④若n与和所成的角相等，则mn。其中所有真命题的编号是（ ）（2024全国高考甲卷）
A ①③ B ②④ C ①②③ D ①③④
2、如图，在正方体ABCD—中，已知E，F，G，H分别是，AD，，的中点，则下列结论错误的是（ ）（成都市高2021级高三零诊）
A ，F， C，G 四点共面 B 直线EF//平面BD
C 平面HCG//平面BD D 直线EF和HG所成角的正切值为
3、已知函数f(x)=（+），g(x)=（-），给出下列四个结论：①f()
A 在回归分析中，相关系数r的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强 B 对分类变量X与Y，它们的随机变量的观测值k越小，说明“X与Y有关系”的把握性越大 C 线性回归直线=x+恒过点（，） D 在回归分析中，残差平方越小，模型的拟合效果越好
5、已知函数f(x)=sinx-sinx+k，x[0，]，有下列结论：①若函数f(x)有零点，则k的取值范围是（-，]；②函数f(x)的零点个数可能为0，2，3，4；③若函数f(x)有四个零点，，，，则k（0，），且+++=2 ；④若函数f(x)有四个零点，，，（<<<），且，，，成等差数列，则为定值，且（，），其中所有正确结论的编号为 。
6、 已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左，右焦点分别是（-c，0），（c，0），直线
y=kx（k0）与椭圆C相交于A（，B两点，有下列结论：①四边形AB为平行四边形；②若AEx轴，垂足为E，则直线BE的斜率为k；③若|OA|=c（O为坐标原点），则四边形AB的面积为；④若|A|=2|A|，则椭圆的离心率可以是。
（理）其中错误结论的个数是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 0
（文）其中正确的结论是（ ）
A ①④ B ①②④ C ①②③ D ②④
7、如图，已知正方体ABCD—的棱长为2，M，N分别为B，CD的中点，有下列结论：①三棱锥—MN在平面DC上的正投影为等腰三角形；②直线MN//平面
D；③在棱BC上存在一点E，使得平面AEMNB；④若F为棱AB的中点，且三棱锥M—NFB的各点均在同一球面上，则该球的体积为。其中正确结论的个数是（ ）（成都市2020级高三零诊）
A 0 B 1 C 2 D 3
-1，0
①函数f(x)在（-6，-5）上单调递增；②函数f(x)的图像与直线y=x有且仅有2个不同的交点；③若关于x的方程-（a+1）f(x)+a=0（aR）恰有4个不相等的实数根，则这4个根之和为8；④记函数f(x)在[2k-1，2k]（k）上的最大值为，则数列{}的前7项和为。其中所有正确结论的编号是 （成都市2019级高三零诊）
9、如图，已知三棱锥A—BCD的截面MNPQ平行于对棱AC，BD，且=m，=n，其中m，n（0，+），有下列命题：①对于任意的m，n，都有截面MNPQ是平行四边形；②当ACBD时，对任意的m，都存在n，使得截面MNPQ为正方形；③当m=1时，截面的周长与n无关；④当ACBD，且AC=BD=2时，截面MNPQ的面积的最大值为1，其中假命题的个数为（ ）（成都市2019级高三一诊）
A 0 B 1 C 2 D 3
10、如图，经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆：+-4x+2y-20=0相交于A，B，C，D四点，M为弦AB的中点，有下列结论：①弦AC长度的最小值为4；②线段BD长度的最大值为10-；③点M的轨迹是一个圆；④四边形ABCD面积的取值范围为[20，45]。其中所有正确结论的序号为 （成都市2019级高三三珍）
11、（理）已知四面体ABCD的所有棱长均为，M，N分别为棱AD，BC的中点，F为棱AB上异于A，B的动点，有下列结论：①线段MN的长为1；②若点G为线段MN上的动点，则无论点F与G如何运动，直线FG与直线CD都是异面直线；③MFN的余弦值的取值范围为［0，）；④FMN周长的最小值为+1.其中正确结论的个数为（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
（文）已知四面体ABCD的所有棱长均为，M，N分别为棱AD，BC的中点，F为棱AB上异于A，B的动点，有下列结论：①线段MN的长为1；②若点G为线段MN上的动点，则无论点F与G如何运动，直线FG与直线CD都是异面直线；③MFN的余弦值的取值范围为［0，）；④FMN周长的最小值为+1. 其中所有正确结论的编号为（ ）（2021成都市高三二诊）
A ①③ B ①④ C ①②④ D ②③④
12、（理）已知函数f(x)=sin(x+ )(>0，R)在区间（，）上单调，且满足f()
=- f()，有下列结论：①f()=0；②若f(-x)= f(x)，则函数f(x)的最小正周期为；
③关于x的方程f(x)=1在区间[0，2]上最多有4个不相等的实数解；④若函数f(x)在区间
[，]上恰有5个零点，则的取值范围为（，3]，其中所有正确结论的编号为
；
（文）已知函数f(x)=sin(x+ )(>0，R)在区间（，）上单调，且满足f()
=- f()，有下列结论：①f()=0；②若f()=1，则函数f(x)的最小正周期为；③的取值范围为（0，4]；④函数f(x)在区间[0，2]上最多有6个零点。其中所有正确结论的编号为 （2021成都市高三三诊）
『思考问题1』
（1）【典例1】是命题真假的判断问题，解答这类问题需要理解命题，真命题，假命题的定义，掌握命题真假判断的基本方法；
（2）命题真假判断的基本方法有：①直接判断法；②间接判断法；
（3）直接法判断命题的真假可以运用已有的定义，定理，公理和哲理进行判断；其基本方法是：①弄清问题与哪一个定义，定理，公理，哲理相关；②运用相应的定义，定理，公理，哲理判断真假；③对假命题，只需找一个反例即可；
（4）间接法的基本方法是：①利用原命题与逆否命题真假的一致性间接判断原命题的真假；②利用充要条件与集合的关系判断命题的真假。
［练习1］解答向量问题：
1、如图，在边长为2的正方形A中，线段BC的端点B，C分别在边，上
滑动，且B=C=x，现将AB，AC沿AB，AC折起使点，重合，重合后记为点P，得到三棱锥P—ABC，现有以下结论：①AP平面PBC；②当B，C分别是，
的中点时，三棱锥P-ABC外接球的表面积为6；③x的取值范围为（0,4-2）；④三棱锥
P-ABC体积的最大值为，则正确结论的个数为（ ）（2020成都市高三一诊）
A 1 B 2 C 3 D 4
2、（理）在三棱锥P—ABC中，ABBC，P在底面ABC上的投影为AC的中点D，DP=DC=1，有下列结论：①三棱锥P—ABC的三条侧棱长均相等；②PAB的取值范围是（，）；
③若三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，则球的体积为；④若AB=BC，E是线段PC上一动点，则DE+BE的最小值为，其中正确结论的个数是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
（文）在三棱锥P—ABC中，ABBC，P在底面ABC上的投影为AC的中点D，DP=DC=1，有下列结论：①三棱锥P—ABC的三条侧棱长均相等；②PAB的取值范围是（，）；
③若三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，则球的体积为；④若AB=BC，E是线段PC上一动点，则DE+BE的最小值为，其中正确结论的编号是（ ）（2020成都市高三三诊）
A ①② B ②③ C ①②④ D ①③④
【典例2】解答下列问题：
1、已知命题p：若关于x的方程+2mx-4m-3=0无实数根，则-3＜m＜-1；命题q：若关于x的方程+cx+1=0有两个不相等的正实数根，则c＜-2.
（1）写出命题p的否命题r，并判断命题r的真假；
（2）判断命题“p且q”的真假，并说明理由。
2、（理）命题“若a＞b,则a+c＞b+c”的否命题是（ ）
A若a≤b,则a+c≤b+cB若a+c≤b+c,则a≤bC若a+c＞b+c,则a＞bD若a＞b,则a+c≤b+c
（文）命题“若a＞b,则a+c＞b+c”的逆命题是（ ）
A若a＞b,则a+c≤b+cB若a+c≤b+c,则a≤bC若a+c＞b+c,则a＞bD若a≤b,则a+c≤b+c
3、命题“若a＞-3,则a＞-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
『思考问题2』
（1）【典例2】是四种命题及其之间的相互关系的问题，解答这类问题需要理解逆命题，否命题，逆否命题的定义，明确四种命题之间的相互关系，掌握命题真假判断的方法；
（2）写一个命题的其他三种命题的基本方法是：①确定已知命题的条件和结论；②明确所写命题与已知命题的关系；③写出所写的命题；
（3）根据原命题与逆否命题，逆命题与否命题的真假性相同，在判定命题的真假时如果直接判断有困难，则可以先判断与它真假性相同的命题的真假，再运用命题的等价性得到结果。
［练习2］解答下列问题：
1、原命题为“若、互为共轭复数，则||=||”关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）
A 真，假，真 B假，假，真 C真，真，假 D假，假，假
【典例3】解答下列问题：
1、 已知向量=（x+1，x）, =(x，2)，则（ ）（2024全国高考甲卷）
A “x=-3”是“⊥的必要条件 B “x=-3”是“//的必要条件
C “x=0”是“⊥的充分条件 D “x=-1+”是“//的充分条件
2、（理）已知直线l：mx+y+1-2m=0(（mR ）和圆C：+-2x+4y+1=0，则“m=0”是“圆C上恰有三个不同点到直线l的距离为1”的（ ）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
（文）已知直线l：mx+y-m=0(（mR ）和圆C：+-2x+4y+1=0，则“m=0”是“直线l与圆C相切”的（ ）（成都市高2021级高三零诊）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
3、已知平面，，，若=a，=b，，则“a//”是“a//b”的（ ）（成都市
高2021级高三一诊）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
4、已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点，对于内任意一点P，当=x+y时，称有序实数对（x，y）为点P的广义坐标，若点A，B（均不与O重合）的广义坐标分别为（，），B（，），则“⊥”是“+=0”的（ ）（成都市高2021级高三二诊）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
5、设mR，双曲线C的方程为-=1，则“C的离心率为”是“m=1”的（ ）（成都市高2021级高三三诊）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
6、已知直线l，m和平面，，若，l，则“lm”是“m”的（ ）（成都市高2020级高三一诊）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
7、已知直线：x+y+m=0，：x+y=0，则“//”是“m=1”的（ ）（成都市2019级高三零诊）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件， C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
8、在等比数列{ }中，已知>0，则“>”是“>”的（ ）（成都市2019级高三二诊）
A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件
『思考问题3』
（1）【典例3】是充分条件，必要条件，充分必要条件的判断问题，解答这类问题应该理解充分条件，必要条件，充分必要条件的定义，掌握充分条件，必要条件，充分必要条件的判断的基本方法；
（2）充分条件，必要条件，充分必要条件判断的基本方法有：①定义法，②集合关系法，③等价法；
（3）定义法是直接运用充分条件，必要条件，充分必要条件定义进行判断；
（4）集合法只适用于与集合相关的问题，其基本步骤是：①确定问题中涉及的两个集合；②判断两个集合的关系；③得出结果；
（5）等价法是利用pq与qp，qp与pq，pq与qp的等价关系判断命题真假的方法，对于条件或结论是否定形式的命题，一般都可以运用这种方法。
［练习3］解答下列问题：
1、“k= ”是“直线y=kx+2与圆+=1相切”的（ ）（成都市2021高三零诊）
A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
2、若，，是空间三个不同的平面，=l，=m，=n，则l//m是n//m的（ ）（成都市2021高三一诊）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
3、已知函数f(x)=（+x+1），则“a=”是“函数f(x)在x=-1处取得极小值”的（ ）（2020成都市高三零诊）
A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
4、已知函数f(x)= -3x，则“a>1”是“f(a)> f(1)”的（ ）（2020成都市高三三诊）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
【典例4】解答下列问题：
1、 已知命题p：xR，|x+1|>x，命题q：x＞0，=x，则（ ）
A p和q都是真命题 B p和q都是真命题
C p和q都是真命题 D p和q都是真命题
2、已知命题p：空间两条直线没有公共点，则这两条直线平行；命题q：空间双沟平面，，，若⊥，⊥，=l，则l⊥，则下列命题为真命题的是（ ）（成都市高2020级高三二诊）
A pq B pq C pq D pq
3、已知命题p：xR，sinx<1，命题q：xR，1，则下列命题中是真命题的是（ ）（2021全国高考乙卷）
A pq B pq C pq D (p q)
4、命题p：函数f(x)= （a>0且a 1）的图像恒过点（0，1）；命题q：当t（-2，2）时，函数g(x)= -3tx+1在区间（-3，3）上存在最小值，则下列命题为真命题的是（ ）（2021
成都市高三三诊）
A pq B p ( q) C ( p) q D ( p) ( q)
『思考问题4』
（1）【典例4】是复合命题真假判断的问题，解答这类问题需要理解逻辑连接词“且”，“或”，“非”的意义，注意复合命题的几种结构形式①p∧q；②p∨q；③p；掌握复合命题真假判断的基本方法；
（2）复合命题真假判断的基本方法是：①确定问题中的简单命题；②确定复合命题的结构形式；③判断简单命题的真假；④结合相应的真值表得出结果。
［练习4］解答下列问题：
1、设有下列四个命题：：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；：过空间中任意三点有且仅有一个平面；：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行；：若直线l平面，直线m平面，则ml。则下述命题中所有真命题的序号是 （2020全国高考新课标II）
① ② ③ ④
【典例5】解答下列问题：
1、命题“N，N”的否定为（ ）（成都市高2021级高三零诊）
A nN，N B nN，N
C N，N D N，N
2、命题“x>1，lnx
3、命题“xR，+x-1≤0”的否定是（ ）（成都市高2020级高三三珍）
A R，+-1≤0 B R，+-1>0
C xR， +x-1>0 D R，+-1≥0
4、命题“xR，+2>0”的否定是（ ）（成都市2019级高三三珍）
A R，+20 BxR，+20 CR，+2>0 D R，+2<0
5、命题“x＞0, +x+1＞0”的否定为（ ）（2021成都市高三二诊）
A 0，++10 B x0, +x+10
C ＞0，++10 D x＞0, +x+10
6、已知命题p：xR，-1，则非p为（ ）（2020成都市高三一诊）
AxR，-<1 B R，- <1， CxR，-1D xR，- <1，
『思考问题5』
（1）【典例5】是与全称量词，存在量词相关的问题，这类问题主要包括：①全称命题，特称命题真假的判断；②全称命题，特称命题的否定；
（2）全称命题，特称命题真假判断的基本方法与简单命题真假的判断类似可以运用已有的定义，定理，公理和哲理进行判断；
（3）解答含有一个量词的命题否定的问题的基本方法是；①全称命题的否命题是特称命题，它的结构形式由求出命题变成特称命题；②特称命题的否命题是由全称命题，它的结构形式由特称命题变成全称命题。
［练习5］解答下列问题：
1、命题“R，-+10”的否定是（ ）
A R，-+1>0 B xR，-x+10
C R，-+10 D xR，-x+1>0
2、命题“∈R，”的否定是（ ）
A 不存在∈R，＞ B ∈R，＞
C x∈R， D x∈R，＞
【典例6】解答下列问题：
1、已知p： x+2 0 ，q：{x|1-m x 1+m，m＞0}，若p是q的必要不充
x x-100 分条件，求实数m的取值范围。
2、给定命题p：对任意实数x都有a+ax+1＞0成立；q：关于x的方程-x+a=0有实数根，如果pq为真命题，那么实数a的取值范围为 ；
3、设函数f(x)=lg的定义域为A，若命题p：3∈A，与q：5∈A，有且只有一个是真命题，求实a的取值范围。
『思考问题6』
（1）【典例6】是求参数的值或取值范围的问题，解答这类问题需要清除问题与哪一个知识点相关，再结合相关知识点解答问题；
（2）求问题中参数的值（或取值范围）的基本方法是：①根据命题所满足的条件得到含参数的不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③得出结果。
［练习6］解答下列问题：
1、已知命题p：x∈［1，2］，-a≥0，命题q：∈R，+2a+2-a=0，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围。
简易逻辑5分小题问题的类型与解法
简易逻辑问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考（或高三诊断考试）试卷，就会涉及到简易逻辑的5分小题问题。从题型上看，是选择题（或填空题），难度系数为低（或中）档。纵观近几年的高考（或高三诊断考试）试卷，归结起来简易逻辑5分小题问题主要包括：①判断命题的真假；②四种命题之间的关系；③充分条件，必要条件，充分必要条件的判断；④复合命题的结构及真假判断；⑤全称量词与存在量词及运用；⑥求参数的值或取值范围等几种类型。各种类型结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答简易逻辑5分小题问题时，到底应该如何抓住题型的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过近几年高考（或高三诊断考试）试题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、设，是两个平面，m，n是两条直线，且=m，下列四个命题：①若m//n，则n//或n//；②若mn，则n，n；③若n//且n//，则m//n；④若n与和所成的角相等，则mn。其中所有真命题的编号是（ ）（2024全国高考甲卷）
A ①③ B ②④ C ①②③ D ①③④
【解析】
【考点】①直线平行平面判定定理及运用；②直线平行平面性质定理及运用；③直线垂直平面判定定理及运用；④直线垂直平面性质定理及运用。
【解题思路】根据直线平行平面和直线垂直平面的性质，运用直线平行平面和直线垂直平面的判定定理，对命题的真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】对①，当n时，=m，n，m//n，m，n//；当n时，=m，m//n，n//，综上所述，n//或n//，①正确，可以排除B；对②，当n时，=m，n，mn，但n不成立，②错误，可以排除C；对③，n//且n//，n，n，存在b，使n//b，=m，
b，b//，b//m，m//n，③正确；对④，当n//且n//时，显然n与和所成的角相等，但此时m//n，④错误，可以排除D，A正确，选A。
2、如图，在正方体ABCD—中，已知E，F，G，H分别是，AD，，的中点，则下列结论错误的是（ ）（成都市高2021级高三零诊）
A ，F， C，G 四点共面 B 直线EF//平面BD
C 平面HCG//平面BD D 直线EF和HG所成角的正切值为
【解析】
【考点】①平面定义与性质；②直线平行平面判定定理及运用；③平面平行平面判定定理及运用；④异面直线所成角定义与性质。
【解题思路】根据平面和异面直线所成角的性质，运用直线平行平面和平面平行平面的判定定理，对各选项结论的正确与错误平行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，如图，连接G，F，CG，CF， F，G分别是AD，的中点，容易证明F=CG，G=CF，四边形FCG是平行四边形，F//CG，，F， C，G 四点共面，A正确；对B，如图，分别取AB，的中点M，N，连接MF，FN，EN，EM，BD， ，M，F分别是AB，AD的中点，MF//BD，MF平面BD，BD平面BD，MF//平面BD，同理可证NF//平面BD，平面MFNE//平面BD，EF//平面BD，B正确；对C，如图，分别取BC，CD的中点J，K，连接JK，KH，HG，JG，容易证明平面JKHG//平面BD，平面JKHG平面HCG=HG，平面HCG与平面BD 相交，C错误；对D，如图，设正方体ABCD—的棱长为1，FM//BD// //GH，EFM是异面直线EF与HG所成的角，,在RtEMF中，FM=BD=，EM=1，tanEFM==，直线EF和HG所成角的正切值为，D正确，综上所述，C错误，选C。
3、已知函数f(x)=（+），g(x)=（-），给出下列四个结论：①f()
【考点】①指数函数定义与性质；②对数函数定义与性质；③比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据指数函数和对数函数的性质，运用并集实数大小的基本方法，，结合问题条件对各结论的正确性进行判断就可得出其中所有正确结论的序号。
【详细解答】设f()=（+）=a，g()=（-）=b，=+，
=-，设函数g(x)=lnx+1-ax，(x)=-a，①当a≤0时，(x)=-a＞0在（0，+）上恒成立，-=-，数g(x)=(x)在（0，+）上单调递增，(1)=0+1-a>0，存在点（0，1）使()=0，x（0，）时，(x)<0，x（，1）时，(x)>0，此时函数f(x)存在极小值点，与题意不符；②当a>0时，令(x)=-a=0，解得x=，x（0，）时，(x)>0，x（，+）时，(x)<0，函数g(x)=(x)在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减，g()=()=-lna+1-1=-lna，若a≥1，()=-lna<0，函数g(x)=(x)<0在（0，+）上恒成立，函数f(x)在（0，+）上单调递减，此时函数f(x)不存在极大值点；若0
=ln-）>（（，+）），设函数h(x)=xlnx-x-，（x（，+）），(x)=lnx+1-1=lnx，令(x)=lnx=0解得x=1，(x)>0在（，+）上恒成立，函数h(x)在（，+）上单调递增，h()=2--=0，>，a=（x（，+）），设函数u（x）=（x（，+）），(x)==<0在（，+）上恒成立，函数u（x）在（，+）上单调递减，0
4、下列命题中错误的是（ ）（成都市高2020级高三一诊）
A 在回归分析中，相关系数r的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强 B 对分类变量X与Y，它们的随机变量的观测值k越小，说明“X与Y有关系”的把握性越大 C 线性回归直线=x+恒过点（，） D 在回归分析中，残差平方越小，模型的拟合效果越好
【解析】
【考点】①相关系数定义与性质；②判断两个随机变量线性相关的基本方法；③独立性检验定义与性质；④求线性回归方程的基本方法。
【解题思路】根据相关系数和独立性检验的性质，运用判断两个随机线性相关和求线性回归方程的基本方法，对各命题的真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，相关系数r的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，A正确，对B，对分类变量X与Y，它们的随机变量的观测值k越大，说明“X与Y有关系”的把握性越大，B错误；对C，=-，当x=时，=+-=， 线性回归直线=x+恒过点（，），C正确；对D， 在回归分析中，残差平方越小，模型的拟合效果越好，D正确， B错误，选B。
5、已知函数f(x)=sinx-sinx+k，x[0，]，有下列结论：①若函数f(x)有零点，则k的取值范围是（-，]；②函数f(x)的零点个数可能为0，2，3，4；③若函数f(x)有四个零点，，，，则k（0，），且+++=2 ；④若函数f(x)有四个零点，，，（<<<），且，，，成等差数列，则为定值，且（，），其中所有正确结论的编号为 。
【解析】
【考点】①正弦三角函数定义与性质；②函数零点定义与性质；③确定函数零点的基本方法；④数学换元法及运用；⑤等差数列定义与性质。 y
【解题思路】设t=g(x)=sinx，t[0，1]，作出函数g(x)的 1
图像如图所示，根据正弦三角函数和函数零点的性质，运
用数学换元法和确定函数零点的基本方法，结合等差数列 0 x
的性质和问题条件对各结论的正确与错误进行判断就可得出所有正确结论的编号。
【详细解答】设t=g(x)=sinx，t[0，1]，作出函数g(x)的图像如图所示，f(x)=sinx-sinx+k=0，
-t+k=0，，是方程-t+k=0，的根，且≤，对①，函数f(x)有零点，方程-t+k=0在[0，1]上有实数根，=1-4k≥0 ①,0≤k≤1②，联立①②解得：0≤k≤，若函数f(x)有零点，则k的取值范围是[0，]，结论①错误；对②，当<0且>1时，函数f(x)没有零点，当==时，函数f(x)有两个零点，当=0，=1时，函数f(x)有三个零点，当0<<<1，且+=1时，函数f(x)有四个零点，综上所述，函数f(x)的零点个数可能为0，2，3，4，结论②正确；对③，函数f(x)有四个零点，，，，0<<<1，且+=1，h
（）=k==（1-）=-+，（0，），函数h（）在（0，）单调递增，h
（0）=-0+0=0
，（<<<），且，，，成等差数列，+=2+d=，=-为定值，0<<，+=2+3d=，<3d=-2<，
（理）其中错误结论的个数是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 0
（文）其中正确的结论是（ ）
A ①④ B ①②④ C ①②③ D ②④
【解析】
【考点】①椭圆定义与性质；②椭圆离心率定义与性质；③求椭圆离心率的基本方法；④已知直线时两点坐标，求直线斜率的基本方法；⑤求四边形面积的基本方法。
【解题思路】根据椭圆和椭圆离心率的性质，运用求直椭圆离心率，已知直线时两点坐标，求直线斜率和求四边形面积的基本方法，结合问题条件对各个结论的正确与错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】对结论①，有椭圆C和直线y=kx的对称性，得到A=B，B=A，四边形AB是平行四边形，①正确；对结论②，设A（，），B（-，-），AEx轴，垂足为E，E（，0），直线BE的斜率为=，k==，直线BE的斜率为k，②正确；对结论③，过点A作AMx轴，垂足为M，|OA|=c，|AM|=，|OM|=，A（，），点A在椭圆C上，+=1，|k|=，四边形AB的面积为22c==2，③错误；对④，|A|
=2|A|，|A|+|A|=2a，|A|=,|A|=,当三角形A是等腰三角
形时，2c=|A|=,c=,e==,④正确，（理）综上所述，错误的结论只有③一个，A正确，选A。（文）综上所述，正确的结论有①②④ ，B正确，选B。
7、如图，已知正方体ABCD—的棱长为2，M，N分别为B，CD的中点，有下列结论：①三棱锥—MN在平面DC上的正投影为等腰三角形；②直线MN//平面
D；③在棱BC上存在一点E，使得平面AEMNB；④若F为棱AB的中点，且三棱锥M—NFB的各点均在同一球面上，则该球的体积为。其中正确结论的个数是（ ）（成都市2020级高三零诊）
A 0 B 1 C 2 D 3
【解析】
【考点】①球定义与性质；②正方体定义与性质；③正投影等腰与性质；④直线平行平面判定定理及运用；⑤直线垂直平面判定定理及运用；⑥平面垂直平面判定定理及运用；④球的体积公式及运用。
【解题思路】根据正方体和正投影的性质，确定三棱锥—MN在平面DC上的正投影图形，从而判断结论①的正确与错误；根据直线平行平面的判定定理，结合问题条件判定直线MN是否与平面D平行，从而判断结论②的正确与错误；取BC的中点E，连接AE，
E，BN，根据直线垂直平面和平面垂直平面的判定定理可以证明AE平面MNB，从而证明平面AEMNB，可以判断结论③的正确与错误；根据球的性质，运用球的体积公式求出三棱锥M—NFB外接球的体积，从而判断结论④的正确与错误，就可得出选项。
【详细解答】如图，取C的中点G，连接NG，N，G， 三棱锥—MN在平面DC上的正投影为三角形GN，N===G，三角形GN是等腰三角形，结论①正确；如图，连接NG，MG，显然NG//平面D，但不能证明MG//平面D，从而不能证明平面MNG//平面D，也不能证明MN//平面D，结论②错误；如图，取BC的中点E，连接AE，BN相交于点H，在RtABE与RtBCN中，AE===BN，AB=BC=2， RtABERtBCN，EAB=NBC，EAB+ABH =，AEBN，BM平面ABCD，AE平面ABCD， AEBM，BN，BM平面BMN，BN BM =B，AE平面BMN，AE平面AE，平面AE平面BMN，③结论正确；如图取BN的中点，过点作K//BM,，则三棱锥M—NFB外接球的球心O在K上，连接OB，在RtBO中，B=BN=，O=BM=，三棱锥M—NFB外接球的半径r=OB=，三棱锥M—NFB外接球的体积==，结论④正确。其中正确结论的个数是3，D正确，选D。 -1，0
①函数f(x)在（-6，-5）上单调递增；②函数f(x)的图像与直线y=x有且仅有2个不同的交点；③若关于x的方程-（a+1）f(x)+a=0（aR）恰有4个不相等的实数根，则这4个根之和为8；④记函数f(x)在[2k-1，2k]（k）上的最大值为，则数列{}的前7项和
为。其中所有正确结论的编号是 （成都市2019级高三零诊）
【解析】
【考点】①函数奇偶性定义与性质；②函数零点定义与性质；③函数图像及运用。
【解题思路】根据函数奇偶性的性质，结合问题条件作出函数f(x)的图像如图所示，对①，由函数图像得到函数f(x)在（5，6）上单调递增，从而得到函数f(x)在（-6，-5）上单调递增，结论①正确；对②，当x>0时，函数f(x)的图像与直线y=x只有一个交点，由奇函数的性质得到函数f(x)的图像与直线y=x有且仅有3个交点，从而得到②错误；对③，设f(x)=t，由方程-（a+1）f(x)+a=0，-（a+1）t+a=0，得到t=0或t=1，当t=1时，根据图像f(x)=1只有一个根=2，由方程恰有4个不同的根，有两种可能：（1）t=a=，由f(x)= ，结合函数图像得到+=2，=4，从而得到+++=2+2+4=8，（2）t=a=-，由f(x)= -，结合函数图像得到+=-2，=-4，从而得到+++=2-2-4=-4，③错误；对④，由函数图像可知，当x[1，2]时，= f(2)=1，得到=1，从而得到数列{}是以=1为首项，为公比的等比数列，===，④正确；就可得出其中所有正确结论的编号。 -1，0
（5，6）上单调递增，函数f(x)在（-6，-5） 1
上单调递增，结论①正确；对②，当x>0时，
函数f(x)的图像与直线y=x只有一个交点， 0 1 2 3 4 5 6 x
函数f(x)的图像与直线y=x有且仅有3个交点，
②错误；对③，设f(x)=t，方程-（a+1）f(x)+a=0，-（a+1）t+a=0，解得t=0或t=1，当t=1时，f(x)=1只有一个根=2，方程恰有4个不同的根，有两种可能：（1）t=a=，f(x)= 得到+=2，=4，+++=2+2+4=8，（2）t=a=-，f(x)= -，得到+=-2，=-4， +++=2-2-4=-4，③错误；对④，当x[1，2]时，= f(2)=1，=1，数列{}是以=1为首项，为公比的等比数列，===，④正确；其中所有正确结论的编号是①④。
9、如图，已知三棱锥A—BCD的截面MNPQ平行于对棱AC，BD，且=m，=n，其中m，n（0，+），有下列命题：①对于任意的m，n，都有截面MNPQ是平行四边形；②当ACBD时，对任意的m，都存在n，使得截面MNPQ为正方形；③当m=1时，截面的周长与n无关；④当ACBD，且AC=BD=2时，截面MNPQ的面积的最大值为1，其中假命题的个数为（ ）（成都市2019级高三一诊）
A 0 B 1 C 2 D 3
【解析】
【考点】①三棱锥定义与性质；②三棱锥截面定义与性质； ③平行四边形定义与性质；④正
方形定义与性质；⑤判断命题真假的基本方法；⑥基本不等式及运用。
【解题思路】根据三棱锥和三棱锥截面的性质，运用平行四边形，正方形的性质，基本不等式和判断命题真假的基本方法，对各命题的真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】对①，三棱锥A—BCD的截面MNPQ平行于对棱AC，BD，=n， MN//AC//PQ，MQ//BD//NP，四边形MNPQ是平行四边形， ①正确；对②， ACBD， 四边形MNPQ是矩形，=n，=，=，MN=AC，MQ=BD，=m， MN=AC= BD，=，对任意的m，都存在n=m，使得截面MNPQ为正方形，②正确；对③，当m=1时，=1，AC=BD，截面MNPQ是菱形，MN=AC=BD，MQ=BD，截面MNPQ的周长为2（MN+MQ）=2（+）BD=2BD与n无关，③正确；对④， ACBD，且AC=BD=2，截面MNPQ是矩形，MN=AC= ，MQ=BD= ，=MN.MQ
==1，当且仅当n=，即n=1时，截面MNPQ的面积的最大值为1，④正确，四个命题中没有假命题，A正确，选A。
10、如图，经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆：+-4x+2y-20=0相交于A，B，C，D四点，M为弦AB的中点，有下列结论：①弦AC长度的最小值为4；②线段BD长度的最大值为10-；③点M的轨迹是一个圆；④四边形ABCD面积的取值范围为[20，45]。其中所有正确结论的序号为 （成都市2019级高三三珍）
【解析】
【考点】①圆定义与性质；②点轨迹定义与性质；③求点轨迹方程的基本方法；④四边形面积公式及运用。
【解题思路】根据圆的性质，结合问题条件得到当直线BD过圆心（2，-1）直线AC过原点且垂直于直线BD时，弦AC取得最小值，当直线BD垂直圆的直径时，弦BD取得最小值，从而判断结论①②的正确与错误；根据点轨迹的性质，运用求点轨迹方程的基本方法求出点M的轨迹方程，从而判断结论③的正确与错误；根据四边形的面积公式，得到四边形ABCD当且仅当弦AC=BD时，面积取得最大值，当且仅当弦AC为直径，弦BD为垂直于直径AC的弦时，面积取得最小值，从而得到四边形ABCD面积的取值范围，可以判断结论④的正确与错误，就可得出其中所有正确结论的序号。
【详细解答】+-4x+2y-20=0，+=25，, （2，-1），r=5，当且仅当直线BD过圆心，直线AC过原点且垂直于直线BD时，弦AC=2=4为最小值，当且仅当直线BD过圆心时，弦BD=10为最大值，①正确，②错误；设M（x，y），, 直线AC垂直于直线BD，OM=+，M=+，OM+M=25， +++=25，点M的轨迹方程为：+=，即点M的轨迹是一个圆，③正确；设圆心到弦AC的距离为，到弦BD的距离为， =|AC|.|BD|=22250-（
+）50-545，=|AC|.|BD|=22
=2=2220，四边形ABCD面积的取值范围为[20，45]，④正确，其中所有正确结论的序号为①③④。
11、（理）已知四面体ABCD的所有棱长均为，M，N分别为棱AD，BC的中点，F为棱AB上异于A，B的动点，有下列结论：①线段MN的长为1；②若点G为线段MN上的动点，则无论点F与G如何运动，直线FG与直线CD都是异面直线；③MFN的余弦值的取值范围为［0，）；④FMN周长的最小值为+1.其中正确结论的个数为（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
（文）已知四面体ABCD的所有棱长均为，M，N分别为棱AD，BC的中点，F为棱AB上异于A，B的动点，有下列结论：①线段MN的长为1；②若点G为线段MN上的动点，则无论点
F与G如何运动，直线FG与直线CD都是异面直线；③MFN的余弦值的取值范围为［0，）；
④FMN周长的最小值为+1. 其中所有正确结论的编号为（ ）（2021成都市高三二诊）
A ①③ B ①④ C ①②④ D ②③④
【解析】
【考点】①正四面体的定义与性质；②等腰三角形的定义与性质；③平面的基本性质及运用；④三角形余弦定理及运用；⑤判断命题真假的基本方法。
【解题思路】（理）根据正四面体，等腰三角形和正三角形的性质，运用判断命题真假的基本方法，对各结论的真假进行判断就可得出选项。（文）根据正四面体，等腰
三角形和正三角形的性质，运用判断命题真假的基本方法，对各结论的真假进行
判断就可得出选项。 A
【详细解答】（理）对①，如图连接BM，CM，四面体ABCD F M
的所有棱长均为，M，N分别为棱AD，BC的中 B N D
点，BM=CM==，MN==1，①正确；对②，如图当F为AB的
中点，点G与点M重合时，FG//BD，直线BD与直线CD相交于点D，直线FG与直线CD必相交于一点，直线FG与直线CD共面，②错误；对③，如图，点F无
限地逼近点A时，NF，MF，cosMFN＞，③错
误；对④，如图，当F为AB的中点时，NF=MF=，FMN周长为++1
=+1为最小，④正确，正确结论有①④两个，B正确，选B。（文）对①，如图连接BM，CM，四面体ABCD的所有棱长均为，M，N分别为棱AD，BC的中
点，BM=CM==，MN==1，①正确；对②，如图当F为AB的
中点，点G与点M重合时，FG//BD，直线BD与直线CD相交于点D，直线FG与直线CD必相交于一点，直线FG与直线CD共面，②错误；对③，如图，点F无
限地逼近点A时，NF，MF，cosMFN＞，③错
误；对④，如图，当F为AB的中点时，NF=MF=，FMN周长为++1
=+1为最小，④正确，正确结论有①④两个，B正确，选B。
12、（理）已知函数f(x)=sin(x+ )(>0，R)在区间（，）上单调，且满足f()
=- f()，有下列结论：①f()=0；②若f(-x)= f(x)，则函数f(x)的最小正周期为；
③关于x的方程f(x)=1在区间[0，2]上最多有4个不相等的实数解；④若函数f(x)在区间
[，]上恰有5个零点，则的取值范围为（，3]，其中所有正确结论的编号为
；
（文）已知函数f(x)=sin(x+ )(>0，R)在区间（，）上单调，且满足f()
=- f()，有下列结论：①f()=0；②若f()=1，则函数f(x)的最小正周期为；③的取值范围为（0，4]；④函数f(x)在区间[0，2]上最多有6个零点。其中所有正确结论的编号为 （2021成都市高三三诊）
【解析】
【考点】①正弦三角函数的定义与性质；②正弦型三角函数的定义与性质；③处理正弦型三角函数的基本方法；④判断命题真假的基本方法。
【解题思路】（理）根据正弦三角函数和正弦型三角函数的性质，结合问题条件得到关于，的不等式组，求解不等式组求出，的取值范围；从而对各结论的真假进行判断就可得出结果。（文）根据正弦三角函数和正弦型三角函数的性质，结合问题条件得到关于，的不等式组，求解不等式组求出，的取值范围；从而对各结论的真假进行判断就可得出结果。
【详细解答】（理）对①， f()=- f()，=， （，0）是函数f(x)的对称中心， f()=0，①正确；对②， f(-x)= sin[（-x）+ ]
=sin(-x+)=f(x)= sin(x+ )，=+，x
=是函数f(x)的对称轴，=-=，T=，②正确；对③函数f(x)=sin(x+ )(>0，R)在区间（，）上单调，f()=0，-=，T=，0<3，关于x的方程f(x)=1在区间[0，2]上最多有3个不相等的实数解；③错误；对④函数f(x) =sin(x- )在[，]上恰有5个零点，4<-=<5<<，<3，④正确，其中所有正确结论的编号为①②④。（文）对①， f()=- f()，=， （，0）是函数f(x)的对称中心， f()=0，①正确；对②，f()=1，函数f(x)的对称轴为x=，=-=， T=，②正确；对③，函数f(x)=sin(x+ )(>0，R)在区间（，）上单调，f()=0，-=，T=，0<3， ③错误；对④， T， =， 函数f(x)在区间[0，2]上最多有6个零点， ④正确，其中所有正确结论的编号为①②④。
『思考问题1』
（1）【典例1】是命题真假的判断问题，解答这类问题需要理解命题，真命题，假命题的定义，掌握命题真假判断的基本方法；
（2）命题真假判断的基本方法有：①直接判断法；②间接判断法；
（3）直接法判断命题的真假可以运用已有的定义，定理，公理和哲理进行判断；其基本方法是：①弄清问题与哪一个定义，定理，公理，哲理相关；②运用相应的定义，定理，公理，哲理判断真假；③对假命题，只需找一个反例即可；
（4）间接法的基本方法是：①利用原命题与逆否命题真假的一致性间接判断原命题的真假；②利用充要条件与集合的关系判断命题的真假。
［练习1］解答向量问题：
1、如图，在边长为2的正方形A中，线段BC的端点B，C分别在边，上
滑动，且B=C=x，现将AB，AC沿AB，AC折起使点，重合，重合后记为点P，得到三棱锥P—ABC，现有以下结论：①AP平面PBC；②当B，C分别是，
的中点时，三棱锥P-ABC外接球的表面积为6；③x的取值范围为（0,4-2）；④三棱锥
P-ABC体积的最大值为，则正确结论的个数为（ ）（2020成都市高三一诊）（答案：C）
A 1 B 2 C 3 D 4
2、（理）在三棱锥P—ABC中，ABBC，P在底面ABC上的投影为AC的中点D，DP=DC=1，有下列结论：①三棱锥P—ABC的三条侧棱长均相等；②PAB的取值范围是（，）；
③若三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，则球的体积为；④若AB=BC，E是线段PC上一动点，则DE+BE的最小值为，其中正确结论的个数是（ ）（答案：C）
A 1 B 2 C 3 D 4
（文）在三棱锥P—ABC中，ABBC，P在底面ABC上的投影为AC的中点D，DP=DC=1，有下列结论：①三棱锥P—ABC的三条侧棱长均相等；②PAB的取值范围是（，）；
③若三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，则球的体积为；④若AB=BC，E是线段PC上一动点，则DE+BE的最小值为，其中正确结论的编号是（ ）（2020成都市高三三诊）（答案：C）
A ①② B ②③ C ①②④ D ①③④
【典例2】解答下列问题：
1、已知命题p：若关于x的方程+2mx-4m-3=0无实数根，则-3＜m＜-1；命题q：若关于x的方程+cx+1=0有两个不相等的正实数根，则c＜-2.
（1）写出命题p的否命题r，并判断命题r的真假；
（2）判断命题“p且q”的真假，并说明理由。
【解析】
【知识点】①命题的定义与性质；②命题真假判断的基本方法；③四种命题之间的关系；④复合命题真假判断的基本方法。
【解题思路】（1）运用否命题与原命题之间的关系，结合问题条件写出命题p的否命题r，利用判断命题真假的基本方法判断命题r的真假；（2）运用复合命题真假判断的基本方法，判断命题“p且q”的真假。
【详细解答】（1）命题p：若关于x的方程+2mx-4m-3=0无实数根，则-3＜m＜-1，命题p的否命题r为，若关于x的方程+2mx-4m-3=0有实数根，则m-3或m≥-1，关于x的方程+2mx-4m-3=0有实数根，=4+4（4m+3）=4(+4m+3) ≥0，
+4m+3≥0， m-3或m≥-1，命题r为真命题；（2）对命题P，关于x的方程+2mx-4m-3=0无实数根，=4+4（4m+3）=4(+4m+3) <0，-3＜m＜-1，命题p为真命题；对命题q，关于x的方程+cx+1=0有两个不相等的正实数根，=-4
>0，c＜-2或c>2，命题p为假命题， p且q为假命题。
2、（理）命题“若a＞b,则a+c＞b+c”的否命题是（ ）
A若a≤b,则a+c≤b+cB若a+c≤b+c,则a≤bC若a+c＞b+c,则a＞bD若a＞b,则a+c≤b+c
（文）命题“若a＞b,则a+c＞b+c”的逆命题是（ ）
A若a＞b,则a+c≤b+cB若a+c≤b+c,则a≤bC若a+c＞b+c,则a＞bD若a≤b,则a+c≤b+c
【解析】
【知识点】①命题的定义与性质；②四种命题之间的关系。
【解题思路】（1）运用否命题与原命题之间的关系，结合问题条件就可写出命题的否命题；（2）运用逆命题与原命题之间的关系，结合问题条件就可写出命题的逆命题。
【详细解答】（1）命题“若a＞b,则a+c＞b+c”， 命题的否命题为“若ab，则a+cb+c”；（2）命题“若a＞b,则a+c＞b+c”， 命题的,逆命题为“若a+c＞b+c,则a＞b”。
3、命题“若a＞-3,则a＞-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【知识点】①命题的定义与性质；②命题之间判断的基本方法；③四种命题之间的关系。
【解题思路】运用四种命题之间的关系，结合问题条件分别写出命题的逆命题，否命题和逆否命题，利用命题真假判断的基本方法分别对写出的命题判断真假就可得出选项。
【详细解答】命题“若a＞-3,则a＞-6”， 命题的,逆命题为“若a＞-6,则a＞-3”， 命题的否命题为“若a≤-3,则a≤-6”， 命题的逆否命题为“若a≤-6,则a≤-3”， 由a＞-6,不一定能够推出a＞-3，命题的,逆命题“若a＞-6,则a＞-3”为假命题，命题的否命题为“若a≤-3,则a≤-6”也为假命题，由a≤-6,能够推出a≤-3，命题的逆否命题为“若a≤-6,则a≤-3”为真命题，A正确，选A。
『思考问题2』
（1）【典例2】是四种命题及其之间的相互关系的问题，解答这类问题需要理解逆命题，否命题，逆否命题的定义，明确四种命题之间的相互关系，掌握命题真假判断的方法；
（2）写一个命题的其他三种命题的基本方法是：①确定已知命题的条件和结论；②明确所写命题与已知命题的关系；③写出所写的命题；
（3）根据原命题与逆否命题，逆命题与否命题的真假性相同，在判定命题的真假时如果直接判断有困难，则可以先判断与它真假性相同的命题的真假，再运用命题的等价性得到结果。
［练习2］解答下列问题：
1、原命题为“若、互为共轭复数，则||=||”关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）（答案：B）
A 真，假，真 B假，假，真 C真，真，假 D假，假，假
【典例3】解答下列问题：
1、 已知向量=（x+1，x）, =(x，2)，则（ ）（2024全国高考甲卷）
A “x=-3”是“⊥的必要条件 B “x=-3”是“//的必要条件
C “x=0”是“⊥的充分条件 D “x=-1+”是“//的充分条件
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量数量积定义与性质；③向量共线的充分必要条件及运用；④充分条件，必要条件和充分必要条件定义与性质；⑤判断充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法。
【解答思路】根据平面向量，平面向量数量积和充分条件，必要条件与充分必要条件的性质，运用共线向量充分必要条件与判断充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法，对各选项结论的正确与错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，⊥，=x(x+1)+2x=+3x=x(x+3)=0，x=0，或x=-3，“x=-3”不是“⊥的必要条件 ，A错误；对B，//， 2(x+1)-x，x =-+2x+2=-2x-2=0，x=1+，或x=1-，“x=-3”不是“//的必要条件 ，B错误；对C, 当x=0时。=x(x+1)+2x=+3x=0+0=0，⊥，“x=0”是“⊥的充分条件,C正确；对D，
当x=-1+时。2(x+1)-x，x=2（-1++1）-（-1+）（-1+）=2-1+2-3=4-4
=4（-1）0，//不成立，“x=-1+”不是“//的充分条件，综上所述，C正确，
选C。
2、（理）已知直线l：mx+y+1-2m=0(（mR ）和圆C：+-2x+4y+1=0，则“m=0”是“圆C上恰有三个不同点到直线l的距离为1”的（ ）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
（文）已知直线l：mx+y-m=0(（mR ）和圆C：+-2x+4y+1=0，则“m=0”是“直线l与圆C相切”的（ ）（成都市高2021级高三零诊）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
【解析】
【考点】①圆定义与性质；②判断直线与圆位置关系的基本方法；③充分条件，必要条件各充分必要条件定义与性质；④判断充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法。
【解题思路】（理）根据圆，充分条件，必要条件和充分必要条件的性质，运用判断直线与圆位置关系，充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法，结合问题条件对“m=0”是“圆C上恰有三个不同点到直线l的距离为1”的充分性，必要性进行判断，就可得出选项。（文）
根据圆，充分条件，必要条件和充分必要条件的性质，运用判断直线与圆位置关系，充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法，结合问题条件对“m=0”是“圆C上恰有三个不同点到直线l的距离为1”的充分性，必要性进行判断，就可得出选项。
【详细解答】（理）当m=0时，如图，直线l：y+1=0， y
圆C：+=4，由图知，此时，圆C上 0 1 x
有三个点到直线l的距离为1，则“m=0”是“圆 -1
C上恰有三个不同点到直线l的距离为1”的充分条件， -2
当圆C上恰有三个不同点到直线l的距离为1时，此时
直线l的方程只能是y+1=0,m =0，“m=0”是“圆C
上恰有三个不同点到直线l的距离为1”的必要条件， 综上所述，“m=0”是“圆C上恰有三个不同点到直线l的距离为1”的充分必要条件，C正确，选C。
（文）当m=0时，如图，直线l：y=0， y
圆C：+=4，由图知，此时，直线 0 1 x
l圆C相切，则“m=0”是“直线l与C圆 相切
”的充分条件， 当直线l与圆C相切时，由图知直线
与x轴重合，此时直线l的方程只能是y=0,m =0，
“m=0”是“直线l与圆C相切”的必要条件，
综上所述，“m=0”是“直线l与圆C相切”的充分必要条件，C正确，选C。
3、已知平面，，，若=a，=b，，则“a//”是“a//b”的（ ）（成都市
高2021级高三一诊）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
【解析】
【考点】①直线平行平面定义与性质；②直线平行平面判定定理及运用；③直线平行平面性质定理及运用；④充分条件，必要条件和充分必要条件定义与性质；⑤判断充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法。
【解答思路】根据直线平行平面和充分条件，必要条件与充分必要条件的性质，运用直线平行平面判定定理，性质定理与判断充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法判断“a//”是“a//b”所属的条件就可得出选项。
【详细解答】若a//，=a，a平面，=b，a//b，“a//”是“a//b”的充分条件；若a//b，=b，当直线a在平面内，或与平面相交时，都不能推出a//，“a//”不是“a//b”的必要条件，综上所述，“a//”是“a//b”的充分不必要条件，A正确，选A。
4、已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点，对于内任意一点P，当=x+y时，称有序实数对（x，y）为点P的广义坐标，若点A，B（均不与O重合）的广义坐标分别为（，），B（，），则“⊥”是“+=0”的（ ）（成都市高2021级高三二诊）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
【解析】
【考点】①平面内点广义坐标定义与性质；②充分条件，必要条件和充分必要条件定义与性质；③判断充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法。
【解题思路】根据平面内点广义坐标与充分条件，必要条件和充分必要条件的性质，运用判断充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法，结合问题条件得到⊥”是“+=0”的结果就可得出选项。
【详细解答】点A，B（均不与O重合）的广义坐标分别为（，），B（，），
=+，=+，若⊥，当且仅当⊥时，才能推出+=0，否则不能推出+=0，“⊥”不是“+
=0”的充分条件；若+，当且仅当⊥时，才能推出⊥，否则不能推出⊥，“⊥”不是“+=0”的必要条件，综上所述，“⊥”既不是“+=0”的充分条件，也不是“+=0”的必要条件，
D正确，选D。
5、设mR，双曲线C的方程为-=1，则“C的离心率为”是“m=1”的（ ）（成都市高2021级高三三诊）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②双曲线离心率定义与性质；③求双曲线离心率的基本方法；④充分条件，必要条件和充分必要条件定义与性质；⑤判断充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法。
【解题思路】根据双曲线，双曲线离心率和充分条件，必要条件与充分必要条件的性质，运用求双曲线离心率和判断充分条件，必要条件与充分必要条件的基本方法，结合问题条件判断出“C的离心率为”是“m=1”的条件就可得出选项。
【详细解答】若C的离心率为，==5，3-2m-1=0，m=-，或m=1，“C的离心率为”不是“m=1”的充分条件；若m=1，a=1，c==，e===，“C的离心率为”不是“m=1”的必要条件，综上所述，“C的离心率为”不是“m=1”的必要不充分条件，B正确，选B。
6、 已知直线l，m和平面，，若，l，则“lm”是“m”的（ ）（成
都市高2020级高三一诊）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
【解析】
【考点】①直线垂直直线定义与性质；②直线垂直平面定义与性质；③平面垂直平面定义与性质；④充分条件，必要条件和充分必要条件定义与性质；⑤判断充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法。
【解答思路】根据直线垂直直线，直线垂直平面，平面垂直平面和充分条件，必要条件与充分必要条件的性质，运用判断充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法判断“lm”是“m”所属的条件就可得出选项。
【详细解答】，l，lm，m平面，或m//平面，不一定能够推出m，“lm”不是“m”的充分条件；，l，m，m//平面，能够推出lm，“lm”是“m”的必要条件，即“lm”是“m”的必要不充分条件，B错误，选B。
7、已知直线：x+y+m=0，：x+y=0，则“//”是“m=1”的（ ）（成都市2019级
高三零诊）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件， C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
【解析】
【考点】①充分条件，必要条件，充分必要条件定义与性质；②判断充分条件，必要条件，充分必要条件的基本方法；③两条直线平行的充分必要条件及运用。
【解题思路】根据充分条件，必要条件，充分必要条件的性质和两条直线平行的充分必要条件，运用跑道充分条件，必要条件，充分必要条件的基本方法，结合问题条件得到“//” 是“m=1”的结果就可得出选项。
【详细解答】当//时，有=1，且m0，m=1或m=-1，“//”不是“m=1”的充分条件，当m=1时，：x+y+1=0，：x+y=0，//，“//”是“m=1”的必要条件，“//”是“m=1”的必要不充分条件，B正确，选B。
8、在等比数列{ }中，已知>0，则“>”是“>”的（ ）（成都市2019级高三二诊）
A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件
【解析】
【考点】①等比数列定义与性质；②充分条件，必要条件和充分必要条件定义与性质；③判断充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法。
【解题思路】根据等比数列和充分条件，必要条件与充分必要条件的性质，结合问题条件，运用判断充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法，判断出“>”是
“>”的所属条件就可得出选项。
【详细解答】设等比数列{ }的公比为q，>0，=q>=, -q<0, 0
充分条件；>0，=>=，-1<0, q<1，当q<0时，等比数列{ }是摆动数列，不能推出>，“>”不是 “>”的必要条件，综上所述，“>”是 “>”的充分不必要条件，A正确，选A。
『思考问题3』
（1）【典例3】是充分条件，必要条件，充分必要条件的判断问题，解答这类问题应该理解充分条件，必要条件，充分必要条件的定义，掌握充分条件，必要条件，充分必要条件的判断的基本方法；
（2）充分条件，必要条件，充分必要条件判断的基本方法有：①定义法，②集合关系法，③等价法；
（3）定义法是直接运用充分条件，必要条件，充分必要条件定义进行判断；
（4）集合法只适用于与集合相关的问题，其基本步骤是：①确定问题中涉及的两个集合；②判断两个集合的关系；③得出结果；
（5）等价法是利用pq与qp，qp与pq，pq与qp的等价关系判断命题真假的方法，对于条件或结论是否定形式的命题，一般都可以运用这种方法。
［练习3］解答下列问题：
1、“k= ”是“直线y=kx+2与圆+=1相切”的（ ）（成都市2021高三零诊）（答案：A）
A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
2、若，，是空间三个不同的平面，=l，=m，=n，则l//m是n//m的（ ）（成都市2021高三一诊）（答案：C）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
3、已知函数f(x)=（+x+1），则“a=”是“函数f(x)在x=-1处取得极小值”的（ ）（2020成都市高三零诊）（答案：A）
A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
4、已知函数f(x)= -3x，则“a>1”是“f(a)> f(1)”的（ ）（2020成都市高三三诊）（答案：A）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
【典例4】解答下列问题：
1、 已知命题p：xR，|x+1|>1，命题q：x＞0，=x，则（ ）
A p和q都是真命题 B p和q都是真命题
C p和q都是真命题 D p和q都是真命题
【解析】
【考点】①命题定义与性质；②逻辑连接词“或”，“且”，“否”定义与性质；③判断命题真假的基本方法。
【解题思路】根据命题和辑连接词“或”，“且”，“否”的性质，运用判断命题真假的基本方法，结合问题条件，对命题p，q，p和q的真假进行判断，就可得出选项。
【详细解答】对命题p，x=-1R，|-1+1|=0＜1，命题p是假命题，p是真命题；对命题q，x=1＞0，=1=x，x＞0，=x，命题q是真命题，命题q是假命题，B正确，选B。
2、已知命题p：空间两条直线没有公共点，则这两条直线平行；命题q：空间双沟平面，，，若⊥，⊥，=l，则l⊥，则下列命题为真命题的是（ ）（成都市高2020级高三二诊）
A pq B pq C pq D pq
【解析】
【考点】①逻辑连接词“或”，“且”，“否”定义与性质；②命题定义与性质；③判断命题真假的基本方法。
【解题思路】根据命题的性质，运用判断命题真假的基本方法，结合问题条件，对命题p，q的真假进行判断，利用逻辑连接词“或”，“且”，“否”的性质，对各选项命题的真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】命题p：空间两条直线没有公共点，则这两条直线平行是假命题，命题q：空间双沟平面，，，若⊥，⊥，=l，则l⊥是真命题，命题 p是真命题，命题q 是假命题， 命题pq ， pq ， pq 是假命题，命题 pq 是真命题，D正确，选D。
3、已知命题p：xR，sinx<1，命题q：xR，1，则下列命题中是真命题的是（ ）（2021全国高考乙卷）
A pq B pq C pq D (p q)
【解析】
【知识点】①命题定义与性质；②判断命题真假的基本方法；③复合命题定义与性质；④判断复合命题真假的基本方法。
【解题思路】根据命题的性质和判断命题真假的基本方法，判断命题p，q的真假，运用复合命题的性质和判断复合命题真假的基本方法，对各选项的复合命题的直角进行判断就可得出选项。
【详细解答】对命题p，xR，sinx<1，命题p是真命题，对命题q，xR，1，命题q是真命题，即命题pq 是真命题，A正确，选A。
4、命题p：函数f(x)= （a>0且a 1）的图像恒过点（0，1）；命题q：当t（-2，2）时，函数g(x)= -3tx+1在区间（-3，3）上存在最小值，则下列命题为真命题的是（ ）（2021
成都市高三三诊）
A pq B p ( q) C ( p) q D ( p) ( q)
【解析】
【考点】①命题的定义与性质；②判断命题真假的基本方法；③逻辑连接词“且”，“或”，“非”的意义与性质；④指数的定义与性质；⑤复合命题判断真假的基本方法。
【解题思路】根据命题的性质和判断命题真假的基本方法，结合问题条件判断命题p，q的真假，运用逻辑连接词“且”，“或”，“非”的性质，指数的性质和复合命题判断真假的基本方法分别对选项A，B，C，D的真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】 f(0)= =a 1，函数f(x)= （a>0且a 1）的图像不过点（0，1），命题p假，命题p真，当t（-2，2）时，（-3，3），函数g(x)= -3tx+1在区间（-3，3）上存在最小值g()，命题q真，命题q假， pq 是假命题，p ( q)是假命题， ( p) ( q)是假命题， ( p) q 是真命题，C正确，选C。
『思考问题4』
（1）【典例4】是复合命题真假判断的问题，解答这类问题需要理解逻辑连接词“且”，“或”，“非”的意义，注意复合命题的几种结构形式①p∧q；②p∨q；③p；掌握复合命题真假判断的基本方法；
（2）复合命题真假判断的基本方法是：①确定问题中的简单命题；②确定复合命题的结构形式；③判断简单命题的真假；④结合相应的真值表得出结果。
［练习4］解答下列问题：
1、设有下列四个命题：：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；：过空间中任意三点有且仅有一个平面；：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行；：若直线l平面，直线m平面，则ml。则下述命题中所有真命题的序号是 （2020全国高考新课标II）（答案：下述命题中所有真命题的序号是①③④。）
① ② ③ ④
【典例5】解答下列问题：
1、命题“N，N”的否定为（ ）（成都市高2021级高三零诊）
A nN，N B nN，N
C N，N D N，N
【解析】
【考点】①命题定义与性质；②否命题定义与性质；③全称命题定义与性质；④特称命题定义与性质。
【解题思路】根据命题，全称命题和特称命题的性质，运用否命题的性质，结合问题条件，写出命题“N，N”的否命题就可得出选项。
【详细解答】命题“N，N”是特称命题，它的否命题一个是全称命题，C，D错误；命题的否定是命题的条件和结论同时否定，A错误，B正确，选B。
2、 命题“x>1，lnx
【解析】
【考点】①全称量词定义与性质；②存在量词定义与性质；③全称命题否定的基本方法。
【解题思路】根据全称量词和存在量词的性质，运用全称命题否定的基本方法，结合问题条件求出命题“x>1，lnx
3、命题“xR，+x-1≤0”的否定是（ ）（成都市高2020级高三三珍）
A R，+-1≤0 B R，+-1>0
C xR， +x-1>0 D R，+-1≥0
【解析】
【考点】①全称命题定义与性质；②特称命题定义与性质；③不等式解定义与性质。
【解题思路】根据全称命题，特称命题和不等式解的性质，确定出命题“xR，+x-1≤0”的否命题就可得出选项。
【详细解答】命题“xR，+x-1≤0”是全称命题，其否命题是特称命题，可以排除
C；一个命题的否命题，其结论也要否定，可以排除A，D，B正确，选B。
4、命题“xR，+2>0”的否定是（ ）（成都市2019级高三三珍）
A R，+20 BxR，+20 CR，+2>0 D R，+2<0
【解析】
【考点】①全称命题定义与性质；②特称命题定义与性质；③命题否定的基本方法。
【解题思路】根据全称命题和特称命题的性质，运用命题否定的基本方法，结合问题条件求出命题“xR，+2>0”的否定就可得出选项。
【详细解答】全称命题“xR，+2>0”的否定是特称命题，可以排除B，D；命题的否定是条件和结论同时否定，可以排除C，A正确，选A。
5、命题“x＞0, +x+1＞0”的否定为（ ）（2021成都市高三二诊）
A 0，++10 B x0, +x+10
C ＞0，++10 D x＞0, +x+10
【解析】
【考点】①全称命题的定义与性质；②特称命题的定义余性质；③命题否定的基本方法。
【解题思路】根据全称命题的性质和命题否定的基本方法，运用特称命题的性质写出命题“x
＞0, +x+1＞0”否定之后的命题就可得出选项。
【详细解答】命题“x＞0, +x+1＞0”是全称命题，它的否定应该是特称命题，选项B，D错误，可以排除；命题的否定需要否定结论，A错误，可以排除，C正确，选C。
6、已知命题p：xR，-1，则非p为（ ）（2020成都市高三一诊）
AxR，-<1 B R，- <1， CxR，-1D xR，- <1，
【解析】
【考点】①全称命题的定义与判定；②特称命题的定义与性质；③否定命题的定义与性质；④全称命题否定命题确定的基本方法。
【解题思路】根据全称命题否定命题的定义与特征和写出全称命题的否定命题的基本方法，写出原命题的否定命题，从而得出结果。
【详细解答】p：xR，-1， p： R，- <1，D正确，选D。
『思考问题5』
（1）【典例5】是与全称量词，存在量词相关的问题，这类问题主要包括：①全称命题，特称命题真假的判断；②全称命题，特称命题的否定；
（2）全称命题，特称命题真假判断的基本方法与简单命题真假的判断类似可以运用已有的定义，定理，公理和哲理进行判断；
（3）解答含有一个量词的命题否定的问题的基本方法是；①全称命题的否命题是特称命题，它的结构形式由求出命题变成特称命题；②特称命题的否命题是由全称命题，它的结构形式由特称命题变成全称命题。
［练习5］解答下列问题：
1、命题“R，-+10”的否定是（ ）（答案：D）
A R，-+1>0 B xR，-x+10
C R，-+10 D xR，-x+1>0
2、命题“∈R，”的否定是（ ）（答案：D）
A 不存在∈R，＞ B ∈R，＞
C x∈R， D x∈R，＞
【典例6】解答下列问题：
1、已知p： x+2 0 ，q：{x|1-m x 1+m，m＞0}，若p是q的必要不充
x x-100 分条件，求实数m的取值范围。
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②一元一次不等式组的定义与解法；③复合命题的定义与性质；④充分条件，必要条件，充分必要条件的定义与性质；⑤判断充分条件，必要条件，充分必要条件的基本方法。
【解题思路】运用集合表示的基本方法和一元一次不等式组的解法，结合问题条件得出命题p，根据判断充分条件，必要条件，充分必要条件的基本方法得到关于参数m的不等式组，求解不等式组就可得出实数m的取值范围。
【详细解答】 p： x+2 0 = {x|-2 x 10} ，q：{x|1-m x 1+m，m＞0}，
1-m<-2， x x-100 p是q的必要不充分条件，q是p的真子集，
10<1+m， 3
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②一元二次不等式的定义与解法；③一元二次方程根的判别式及运用；④复合命题的定义与性质；⑤判断复合命题真假的基本方法。
【解题思路】运用集合表示的基本方法，一元二次不等式的解法和一元二次方程根的判别式，结合问题条件得出命题p，q，根据判断复合命题真假的基本方法得到关于参数a的不等式组，求解不等式组就可得出实数a的取值范围。
【详细解答】命题p：对任意实数x都有a+ax+1＞0成立；q：关于x的方程-x+a=0有实数根，命题p：{a| -4a<0}={a| 0
3、设函数f(x)=lg的定义域为A，若命题p：3∈A，与q：5∈A，有且只有一个是真命题，求实a的取值范围。
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②分式不等式的定义与解法；③对数函数的定义与性质；④元素与集合的关系；⑤判断命题真假的基本方法。
【解题思路】运用集合表示的基本方法，分式不等式的解法，结合问题条件得出命题p，q，根据判断命题真假的基本方法得到关于参数a的不等式组，求解不等式组就可得出实数a的取值范围。
【详细解答】函数f(x)=lg的定义域为A，A={x|>0}，命题p：3∈A，与q：5∈A，命题p：{a|>0}={a|
（1）【典例6】是求参数的值或取值范围的问题，解答这类问题需要清除问题与哪一个知识点相关，再结合相关知识点解答问题；
（2）求问题中参数的值（或取值范围）的基本方法是：①根据命题所满足的条件得到含参数的不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③得出结果。
［练习6］解答下列问题：
1、已知命题p：x∈［1，2］，-a≥0，命题q：∈R，+2a+2-a=0，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围。（答案：实数a的取值范围是（-，-2] {1}。）
