4.4 探索三角形相似的条件
两角分别相等的判定方法
基础题目
1.如图,△ADE∽△ACB,且∠ADE=∠C,则 AD:AC等于 ( )
A. AE:AC B. DE:BC
C. AE:BC D. DE:AB
2下列说法中一定正确的是 ( )
A.两个等腰三角形相似
B.分别有一个内角是30°的两个直角三角形相似
C.两个直角三角形相似
D.分别有一个锐角是30°的两个等腰三角形相似
3.如图,在△ABC中,DE∥BC,，DE=4,则 BC的长是 ( )
A.8 B.10 C.11 D.12
4.如图,在△ABC纸片中,∠A=76°,∠B=34°,将△ABC纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是 ( )
A.①② B.②④ C.①③ D.③④
5.如图，E为平行四边形ABCD的边CB的延长线上一点,DE交AB于点 F,则图中与△ADF 相似的三角形共有 ( )
A.1个 B.2 个 C.3个 D.4 个
6.如图,在△ABC中,D为BC上一点,∠BAD=∠C.
(1)求证:△ABD∽△CBA;
(2)若AB=8,BD=4,求CD的长.
综合应用题
7.若△ABC与△DEF 相似,∠A=50°,∠B=70°,∠D=60°,则∠E的度数可以是 ( )
A.50° B.70° C.60° D.50°或70°
8.如图,在△ABC中,AB
②DA平分∠BDE;
③∠CDF=∠BAD.
其中所有正确结论的序号是 ( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
9.如图,有一正方形ABCD,边长为 ，E是边CD上的中点，对角线 BD有一动点 F,当△ABF 与△DEF相似时,BF 的值为 .
10.如图,在△ABC中,AB=AC,点 D,E分别是边 BC,AC上的点,且∠ADE=∠B.
求证:AB·CE=BD·CD.
11.如图,正方形ABCD中,M 为 BC 上一点,F 是 AM 的中点,EF⊥AM,垂足为 F,交 AD 的延长线于点 E,交DC 于点 N.
(1)求证:△ABM∽△EFA;
(2)若AB=12,BM=5,求 DE的长.
创新拓展题
12.如图,在矩形ABCD中,点 E,F分别在边 AD,CD 上(F 不与 C 重合),且∠BEF=90°.
(1)△ABE 与△DEF 相似吗 为什么
(2)当点 E位于AD 上何处时,△ABE,△BEF,△DEF这三个三角形都相似
(3)当△ABE,△BEF,△DEF,△CBF 这四个三角形都相似时，求 及 的值.
两边成比例且夹角相等的判定方法
基础题目
1.在△ABC 和△DEF中,∠A=40°,∠D=60°,∠E=80°,EB=FD,那么∠B 的度数是 ( )
A.40° B.60° C.80° D.100°
2.下列各组条件中，一定能推得△ABC与△DEF相似的是 ( )
且∠B=∠E
且∠A=∠E
且∠A=∠D
且∠A=∠E
3.如图,在△ABC中,∠C=80°,AC=4,BC=6.将△ABC沿图中的虚线剪开，按照下面四种方式剪下的阴影三角形与原三角形相似的是 ( )
A.①②③ B.①②④
C.①② D.④
4.如图,△ABC中,点 D在线段 BC上,且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是 ( )
C. AB·AD=BD·BC
D. AB·AD=AD·CD
5. 夹文件的一种燕尾夹如图①所示，图②是在闭合状态下的示意图，经测量知AE=AF=25 mm,EB=FD=35 mm,EF=20mm,则在闭合状态下,点B,D之间的距离是 mm.
6.如图,在△ABC 中,CD 是边 AB 上的高,且
(1)求证:△ACD∽△CBD;
(2)求∠ACB的大小.
综合应用题
7. 如图，在边长为1的小正方形的网格中，点A，B，C，D在小正方形的顶点处，AC与 BD相交于点 O，则AO的长等于( )
8. 如 图, 在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=4 cm,BC=3 cm,点 P 由点 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，速度为1 cm/s,同时点 Q 由点 A 出发沿 AC 方向向点 C匀速运动,速度为1 cm/s,连接PQ.设运动的时间为ts，其中0
9.如图,AB 与 CD 相交于点 O,且∠OAD=∠OCB,延长AD,CB交于点 P,则图中的相似三角形的对数为 .
10. 如图,在正方形 ABCD中,E,F 分别是边 AD,CD上的点,AE=ED, 连接 EF 并延长交 BC的延长线于点 G.
(1)求证:△ABE∽△DEF;
(2)若正方形的边长为6，求BG的长.
创新拓展题
11.新考法·等比代换法 如图①，四边形ABCD是正方形，点E 是对角线 AC 上一点(点E 不与点A,C重合),过点 E 作 EF∥CD,交 BC于点F,作 EG∥BC,交CD于点 G.
(1)求证:四边形 EFCG是正方形;
(2)如图②，将四边形 EFCG绕点C 顺时针旋转 连接AE,DG,求 的值.
三边成比例的判定方法
基础题目。
1.△ABC 和△A'B'C'符合下列条件,其中使△ABC与△A'B'C'不相似的是 ( )
A.∠A=∠A'=45°,∠B=26°,∠B'=109°
B. AB=1,AC=1.5,BC=2,A'B'=12,A'C'=
C.∠A=∠B',AB=1.5,AC ,A'B'
D. BC=a,AC=b,AB=c,B'C' ,A'C'
2.已知△ABC的三边长分别为6 cm,7.5cm ,9 cm,△DEF 的一边长为 5 cm,如果这两个三角形相似，那么△DEF 的另两边长可能是 ( )
A.2 cm,3 cm
B.4 cm,6 cm
C.6 cm,7 cm
D.6 cm,8 cm
3.已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，另一个直角三角形一条直角边与斜边的长分别为9和15，则这两个三角形 ( )
A.一定相似
B.不一定相似
C.一定不相似
D.是否相似无法判定
4.若△ABC的每条边长增加各自的 10%得到△A'B'C',则∠B'的度数与其对应角∠B的度数相比 ( )
A.增加了10%
B.减少了10%
C.增加了(1+10%)
D.没有改变
5.如图,△ABC 与△DEF在7×5的长方形网格中，它们的顶点都在边长为1的小正方形的顶点位置，试判断△ABC与△DEF 是否相似，并说明理由.
综合应用题
6定义：我们知道，凸四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等)，我们就把这个凸四边形叫做“自相似四边形”.如图，点A，B，C是正方形网格中的格点，在网格中确定格点 D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是“自相似四边形”，符合条件的格点 D的个数是 ( )
A.2 个 B.3个 C.4 个 D.5 个
如图,四边形 ABCD,四边形CDEF，四边形 EFGH 是三个相连的正方形,连接 AC,AF,AG. 若∠BGA=20°,则∠BFA的度数为 .
8.如图,AB:AD=BC:DE=AC:AE.
(1)求证:∠BAD=∠CAE;
(2)若AB=6,BD=3,AC=4,求CE的长.
创新拓展题
9.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF 的顶点都在格点上,P ,P ,P ,P ,P 是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
(1)判断△ABC和△DEF 是否相似,并说明理由;
(2)画一个三角形,它的三个顶点为 P ,P ,P ,P ,P 中的 3 个格点,并且与△ABC 相似.(要求：不写作法与证明)
10.如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,点 D 在AC上.
(1)已知AC=4,BC=2,∠CBD=∠A,求 BD的长；
(2)取AB,BD的中点E,F,连接CE,EF,FC,求证:△CEF∽△BAD.
黄金分割
基础题目
1.神奇的自然界中处处蕴含着数学知识，如图，动物学家发现翩翩起舞的蝴蝶双翅展开后的长度与其身长之比约为0.618，这体现了数学中的 ( )
A.平移 B.旋转
C.轴对称 D.黄金分割
2.如图,点 C 是线段 AB靠近点 B的黄金分割点，则下列等式不正确的是 ( )
3.古希腊时期，人们认为最美人体的肚脐至脚底的长度与身高之比约为0.618，著名的“断臂维纳斯”便是如此.若王老师身高165 cm,肚脐到脚底的长度为 100 cm,为使王老师穿上高跟鞋以后更接近最美人体比例，选择高跟鞋的跟高约为( )
A. 3c m B.5 cm
C.7 cm D.10 cm
4已知一本书的宽与长之比为黄金比，且这本书的长是20cm，则它的宽为 (结果保留根号).
5.一支铅笔长16cm，把它黄金分割后，将较长部分涂上橘红色，较短部分涂上浅蓝色，那么橘红色部分的长是 cm，浅蓝色部分的长是 cm.(结果保留根号)
综合应用题
6.新考问数学文化古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段 MN 分为两线段 MG，GN，使得其中较长的一段 MG 是全长 MN 与较短的一段 GN的比例中项，即满足 后人把 这个数称为“黄金分割”数，把点 G 称为线段 MN的“黄金分割”点.如图,在△ABC中,已知AB=AC=3,BC=4,若 D,E 是边 BC 的两个“黄金分割”点,则△ADE的面积为 ( )
7.如图所示，以长为2 的定线段 AB 为边作正方形ABCD,取 AB 的中点 P,连接 PD,在 BA的延长线上取点 F,使 PF=PD,以AF为边作正方形 AMEF,点 M在AD上.
(1)求 AM,DM的长.
(2)点M是AD的黄金分割点吗 为什么
4 探索三角形相似的条件
第1课时 两角分别相等的判定方法
1. B 2. B 3. D 4. C 5. B
6.(1)【证明】∵∠BAD=∠C,∠B=∠B,
∴△ABD∽△CBA.
(2)【解】设 DC=x.
∵△ABD∽△CBA,
解得x=12,
即 CD=12.
7. D 【点拨】由于对应关系没有确定，所以由已知可得∠E的对应角可能为∠A或∠B，然后根据相似三角形的性质得到∠E 的度数.
8. D 【点拨】∵将△ABC 以点 A 为中心逆时针旋转得到△ADE,
∴∠BAC=∠DAE,∠B=∠ADE,AB=AD,∠E=∠C.
∴∠B=∠ADB.
∴∠ADE=∠ADB.
∴DA平分∠BDE.
∴②符合题意；
∵∠AFE=∠DFC,∠E=∠C,
∴△AFE∽△DFC.
∴①符合题意；
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
即∠BAD=∠FAE.
∵△AFE∽△DFC,
∴∠FAE=∠CDF.
∴∠BAD=∠CDF.
∴③符合题意；
故选 D.
9.6 或 8 【点拨】依题意可得AB=AD=CD=
∠BAD=90°,∠ABD=∠BDC,∴BD=√AB +AD=
设 BF=x,则DF=12-x.
①当∠AFB=∠FED时,△ABF∽△FDE,
即
解得x=6.
②当∠AFB=∠EFD时,△ABF∽△EDF,
即
解得x=8.
综上所述，BF的值为6或8.
10.【证明】∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵∠ADC为△ABD的外角,
∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠DAB.
又∵∠ADE=∠B,
∴∠BAD=∠CDE.又∵∠B=∠C,
∴△ABD∽△DCE.
∴———BD.∴AB·CE=BD·CD.
11.(1)【证明】∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠B=90°,AD∥BC.
∴∠AMB=∠EAF.
又∵EF⊥AM,
∴∠AFE=90°.
∴∠B=∠AFE.∴△ABM∽△EFA.
(2)【解】∵∠B=90°,AB=12,BM=5,AB=AD,
∵F是AM的中点,
∵△ABM∽△EFA,
即
∴AE=16.9.
∴DE=AE-AD=4.9.
12.【解】(1)△ABE与△DEF相似.理由如下:
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°.
∵∠BEF=90°,
∴∠DEF+∠AEB=∠ABE+∠AEB=90°.
∴∠ABE=∠DEF.
∴△ABE∽△DEF.(2)当点E位于AD 的中点处时,△ABE,△BEF,△DEF这三个三角形都相似.
作 EG⊥BF于G.
∵△EBF∽△ABE,
∴∠ABE=∠EBF.
又∵∠A=90°,EG⊥BF,
∴EG=EA.
同理可得ED=EG.
∴AE=ED,
即E是AD的中点.
(3)当△CBF∽△EBF∽△ABE∽△DEF 时,∠CBF=∠EBF=∠ABE=∠DEF=30°.
∴易得
由(2)知
∵易得
∵在矩形ABCD中,CD=AB,∴DF CD
第2课时 两边成比例且夹角相等的判定方法
1. B 2. A 3. A 4. A 5.48
6.(1)【证明】∵CD是边AB 上的高,
∴∠ADC=∠CDB=90°.
又‘
∴△ACD∽△CBD,
(2)【解】∵△ACD∽△CBD,
∴∠A=∠BCD.
在△ACD中,∠ADC=90°,
∴∠A+∠ACD=90°.
∴∠BCD+∠ACD=90°,
即∠ACB=90°.
7. A 【点拨】连接AB,CD,如图.
由网格图可知AG=2,BG=1,DH=2,CH=4,
又∵∠AGB=∠CHD=90°,
∴△AGB∽△CHD.
∴∠BAG=∠DCH.
∵AG∥CH,
∴∠GAC=∠HCA.
∴∠BAO=∠DCO.
又∵∠AOB=∠COD,
∴△AOB∽△COD.
故选 A.
8. C 【点拨】由勾股定理得 5( cm).由题意得 AQ=t cm,AP=(5-t) cm.
当AQ:AC=AP:AB时,
∵∠PAQ=∠BAC,∴△APQ∽△ABC.
此时
当AQ:AB=AP:AC时,∵∠PAQ=∠CAB,
∴△APQ∽△ACB.此时t:5=(5-t):4,
综上所述，当t 时,△APQ 与△ABC相似.选 C.
9.4 【点拨】∵在△ABP 与△CDP 中,∠BAP=∠DCP,∠APB=∠CPD,
∴△ABP∽△CDP.
又∵∠OAD=∠OCB,
∴△OAD∽△OCB.
又∵∠AOC=∠DOB,
∴△AOC∽△DOB.
∵在△PAC与△PBD中,
∴△PAC∽△PBD.
综上所述，图中的相似三角形有4 对：△ABP∽△CDP，△OAD∽△OCB,△PAC∽△PBD,△AOC∽△DOB.
10.(1)【证明】∵四边形 ABCD为正方形,
∴AD=AB=DC=BC,∠A=∠D=90°.
又∵
又∵∠A=∠D,
∴△ABE∽△DEF.
(2)【解】∵四边形ABCD为正方形,∴ED∥BG.
∴∠DEF=∠CGF,∠EDF=∠GCF.
∴△DEF∽△CGF.
又 正方形的边长为6，
∴BG=BC+CG=6+9=15.
11.(1)【证明】∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BCD=90°,∠ACB=∠ACD=45°.
又∵EG∥BC,EF∥CD,
∴四边形 EFCG是矩形.
∴EF⊥BC,EG⊥CD.
∴EF=EG(角平分线的性质).
∴四边形 EFCG 是正方形.
(2)【解】∵四边形 ABCD,四边形 EFCG都是正方形,∴易得
∴∠ACE=∠DCG,
∴△ACE∽△DCG.
第3课时 三边成比例的判定方法
1,D 2. B 3. A 4. D
5.【解】相似，理由如下：
∴△ABC∽△DEF.
6. D 【点拨】如图①,易得 ∴△ABC∽△D AC,故 D 为所求点;
如图 ②，易得 △D AB,故 D 为所求点;
如图③，易得 △ABD ,故 D 为所求点;
如图④，易得 △D CA,故 D 为所求点;
如图 ⑤，易得 △BCD ,故 D 为所求点;
∴符合条件的格点 D的个数是5个.故选 D.
7.25° 【点拨】如图，设正方形的边长是1，
则AB=BC=CF=FG=1,
∴CG=BF=2,BG=3.
由勾股定理得
∴△ACF∽△GCA.
∴∠1=∠FAC.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠2+∠FAC=∠3=45°.
∴∠1+∠2=45°.
∵∠BGA=∠1=20°,
8.(1)【证明】∵AB:AD=BC:DE=AC:AE,∴△ABC∽△ADE.∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.
(2)【解
又∵∠BAD=∠CAE,
∴△BAD∽△CAE.
即 E.∴CE=2
9.【解】(1)△ABC和△DEF相似.理由如下:
由勾股定理可得
∴△ABC 和△DEF 相似.
(2)如图所示,△P P P 即为所求.
10.(1)【解】∵∠CBD=∠A,∠BCD=∠ACB,
∴△CBD∽△CAB.
即
∴CD=1.
(2)【证明】∵E,F分别是 Rt△ABC,Rt△BCD斜边上的中点，
∴△CEF∽△BAD.
第4课时 黄金分割
1. D 2. D 3. B 4.(1 -10) cm
6. A 【点拨】作 AH⊥BC于 H.
∵AB=AC,
在 Rt△ABH中,
∵E是边BC 的“黄金分割”点，
同理可得
故选 A.
7.【解】(1)由题意知AB=AD=2,AF=AM,∠BAD=90°.∵P为AB 的中点,
由勾股定理知
∴AM=AF=PF-AP --1
(2)点M是AD 的黄金分割点.理由：
∴点 M是AD 的黄金分割点.
