相似三角形的判定
[时间:60分钟 分值:100分]
一、选择题 (每题4分，共32分)
1.下列四组图形中，一定相似的是 ( )
A.正方形与矩形 B.正方形与菱形
C.菱形与菱形 D.正五边形与正五边形
2.已知△ABC∽△DEF, 若 BC=2,则EF= ( )
A.4 B.6 C.8 D.16
3.下列命题为假命题的是 ( )
A.任意两个等腰直角三角形相似
B.有一个角为 36°的两个等腰三角形相似
C.任意两个等边三角形相似
D.有一个角为 20°的两个直角三角形相似
4.如图,DE是△ABC的中位线,点 F在 DB上,DF=2BF.连接EF并延长,与CB的延长线相交于点 M.若 BC=6，则线段CM的长为 ( )
A B.7
C D.8
5.如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A B C 相似的是 ( )
6.△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的△DEF,其最长边为12,则△DEF 的周长是 ( )
A.54 B.36 C.27 D.21
7.在△ABC中,∠ACB=90°,用直尺和圆规在边 AB上确定一点 D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，下列正确的是( )
8. 如图,点 E 在矩形 ABCD 的 AB 边上,将△ADE 沿 DE 翻折,点 A 恰好落在 BC 边上的点 F处,若CD=3BF,BE=4,则 AD的长为 ( )
A.9 B.12 C.15 D.18
二、填空题 (每题5分，共20分)
9.如图,三角形纸片 ABC中,AC=6,BC=9，分别沿与 BC，AC平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是 .
10.如 图,△ABC 中,AB=AC,∠B=72°,∠ACB 的平分线 CD交 AB于点 D，则点 D是线段 AB的黄金分割点.若AC=2,则BD= .
11.如图,一束光线从点 A(-2,5)出发，经过y轴上的点 B(0，1)反射后经过点C(m,n),则2m—n的值是 .
12.如图①,在 Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D 是 AB 上一点,且AD=2,过点 D 作 DE∥BC交 AC 于 E,将△ADE绕A点顺时针旋转到图②的位置，则图②中 的值为 .
三、解答题(共48分)
13.(12 分)如图,点 B,C 分别在△ADE 的边AD,AE上,且AC=3,AB=2.5,EC=2,DB=3.5.求证:△ABC∽△AED.
14.(12分)如图,在△ABC中,CD平分∠ACB,AE⊥CD,垂足为点 E,过点 E 作EF∥BC,交 AC于点 F,G 为 BC的中点,连接 FG.求证:
15.(12 分)如图,在平行四边形ABCD中，连接对角线 AC，延长AB至点 E,使 BE=AB,连接 DE,分别交 BC,AC于点 F,G,
(1)求证:BF=CF;
(2)若BC=6,DG=4,求 FG的长.
16.(12 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB=8,AD=4，点E是 DC边上的任一点(不包括端点 D,C),过点 A 作 AF⊥AE 交 CB的延长线于点 F,设 DE=a.
(1)求BF的长(用含a的代数式表示)；
(2)连接EF交AB 于点G,连接GC.当GC∥AE时，求证：四边形AGCE是菱形.
一、1. D 【点拨】判定是否是相似多边形时，一定要同时从两个方面判定：对应角是否相等，对应边是否成比例，二者缺一不可.
2. A
3. B 【点拨】A.任意两个等腰直角三角形相似，是真命题；B.有一个角为36°的两个等腰三角形，没有指明36°是顶角还是底角，这两个三角形相似，是假命题；
C.任意两个等边三角形相似，是真命题；
D.有一个角为 20°的两个直角三角形相似，是真命题.
故选 B.
4. C 【点拨】∵DE是△ABC的中位线,
易证△DEF∽△BMF,
故选 C.
5. B 【点拨】因为△A B C 中有一个角是 135°,四个选项中，只有选项B中的阴影三角形有一个角是135°，且这两个三角形中135°角的两边对应成比例，所以选项 B符合题意.
6. C 【点拨】设△DEF的另两边长分别为x,y(x
∴△DEF的周长是6+9+12=27,故选 C.
7. C 【点拨 】当 CD 是 AB 的垂线时,∵CD⊥AB,∴∠CDA=∠BDC=90°.
∴∠A=∠BCD.
∴△ACD∽△CBD.
根据作图痕迹可知，
A选项中,CD 是∠ACB的平分线,CD不一定与AB 垂直，不符合题意；
B选项中,CD是△ABC的中线,CD不一定与AB垂直,不符合题意；
C选项中，CD是AB 的垂线，符合题意；
D选项中，CD不一定与AB 垂直，不符合题意.
故选 C.
8. C 【点拨】先证明△BEF∽△CFD,求得 CF=12,再设BF=x，用含有x的式子表示DF，CD，由勾股定理列出方程即可求解.
二、9.14 【点拨】如图，由题意得 四边形 DECF是平行四边形,DF∥BC,DE∥AC.∴BB 易得△ADF∽△ABC,△BDE∽△BAC.∴BE=AB
∵AC=6,BC=9,
∴DF=3,DE=4.
∴平行四边形纸片 DECF 的周长是2×(3+4)=14.
11,—1 【点拨】如图,过点A作AG⊥y轴,过点C作CF⊥y轴,垂足分别为G,F,则∠AGB=∠CFB=90°.
由题意易知∠ABG=∠CBF,
∴△AGB∽△CFB.
∵A(-2,5),B(0,1),C(m,n),
∴AG=2,BG=5~1=4,CF=-m,BF=1-n.
∴2m-n=-1.
12.4/3【点拨】在题图①中,∵∠ABC=90°,AB=8,
∵DE∥BC,∴∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB.
在题图②中，由旋转的性质可得∠DAB=∠EAC，且 仍成立，
∴△ADB∽△AEC.
三、13.【证明】∵AC=3,AB=2.5,EC=2,DB=3.5,
∴AE=5,AD=6.
又∵∠A=∠A,∴△ABC∽△AED.
14.【证明】延长 AE交 BC于点 H.
∵CD平分∠ACB,AE⊥CD,
∴∠ACE=∠HCE,∠AEC=∠HEC=90°.
又∵CE=CE,
∴△ACE≌△HCE(ASA).
∵EF∥BC,∴∠AEF=∠AHC,∠AFE=∠ACH.
∴△AEF∽△AHC.
∴F是AC 的中点.
又∵G是BC的中点,∴FG是△ABC的中位线.
15.(1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC.
∴∠EBF=∠EAD.
又∵∠BEF=∠AED,∴△EBF∽△EAD.
∴BF=CF.
(2)【解】由(1)知AD∥BC,AD=BC=6,∴∠FCG=∠DAG.
又∵∠FGC=∠DGA,∴△FGC∽△DGA.
解得 FG=2.
16.(1)【解】∵四边形ABCD 是矩形,
∴∠ADE=∠ABC=∠BAD=90°.
∴∠ABF=90°=∠ADE,∠DAE+∠BAE=90°.
∵AF⊥AE,∴∠BAF+∠BAE=90°.
∴∠DAE=∠BAF.
∴△ADE∽△ABF.
即 解得 BF=2a.
(2)【证明】∵四边形ABCD是矩形,
∴CD=AB=8,BC=AD=4,AG∥CE,∠BCD=90°.
又∵GC∥AE,∴四边形 AGCE是平行四边形.
∴AG=CE=8-a.
∴BG=AB-AG=8-(8-a)=a.
在 Rt△BGF中,(
在 Rt△CEF中,
在 Rt△ADE中,
如图,过点 G 作GM⊥AF于点M,则GM∥AE,
∴易得△MGF∽△AEF.∴GM=B异.
即
∴GM=a.
∴GM=BG.
又∵GM⊥AF,GB⊥FC,
∴FG是∠AFB的平分线.
又∵AE⊥AF,EC⊥FC,∴EA=EC.
∴四边形 AGCE是菱形.
