一元二次方程根与系数的关系及应用
[时间: 60分钟 分值:100分]
一、选择题(每题4分，共32分)
1.关于x的一元二次方程； )有两根，其中一根为x=1，则这两根之积为 ( )
A B C.1
2.某品牌店铺在“双11大促”中销量大放异彩，11 月 9 日店铺日销量为 2.5 万件,11 日日销量达到 3.6万件, ( )
3. 若m，n是一元二次方程. 3x-9=0的两个根,则 的值是( )
A.4 B.5 C.6 D.12
4.若一元二次方程 有两个不相等的实数根x ，x ，且 则m的值是 ( )
A.-1 B.3
C.3或-1 D.-3或1
5.关于x的方程( p 为常数)的根的情况，下列结论中正确的是 ( )
A.有两个正根 B.有两个负根
C.有一个正根，一个负根 D.无实数根
6.若一元二次方程 的两个根为m,n,则一次函数y=(m+n)x+ mn的大致图象是 ( )
7.方程 的两根分别是-2 和 ，则方 的两根为( )
A.0 B.-6,1 D.-4,3
8.甲、乙两人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3 h，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180 km.”乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km.”从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为 ( )
A.1.2 h B.1.6 h C.1.8 h D.2 h
二、填空题(每题5分，共20分)
9.已知关于x的一元二次方程. 3x+1=0的两个实数根分别为 x 和 x ,则 的值为 .
10.知关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 x ,x ,且 则实数m= .
11.某商场将进货价为 45元的某种服装以 65元售出，平均每天可售出30件.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件.如果每天要盈利800 元，每件应降价 元.
12.如图,在 Rt△ACB 中,∠C=90°,AC=30 cm,BC=25 cm,动点 P从点 C出发,沿 CA 方向运动,速度是 2cm /s;同时，动点Q从点 B出发，沿BC方向运动，速度是 1cm/s,则经过 s后,P,Q两点之间相距25 cm.
三、解答题( 共48分 )
13.(10分)一元二次方程.x + kx-15=0的一个根是-3,求另一个根及k的值.
14.(12分)已知关于 x的一元二次方程x -(m+5)x+3m+6=0.
(1)求证：不论实数m取何值，方程总有实数根；
(2)若该方程的两根是一个矩形的两邻边的长，当这个矩形的对角线长为5时，求m的值.
15.(12分) 2023 年 12 月21日，以“共享，协同——引领劳动教育高质量发展”为主题的四川省劳动实验区(校)建设成果展示会暨主题研讨会在天府新区启幕，天府新区作为劳动教育实验区，积极推进区域劳动教育，形成公园城市生态劳动教育模式.新区某校为推进校园劳动课程建设，准备在校园内规划一片蔬菜基地，其中蔬菜基地以墙体为背面，并用30 m长的栅栏围成四个具有相同面积的矩形蔬菜基地，每个蔬菜基地一边长为 xm，另一边长为 ym(如图所示).
(1)求y关于x 的函数关系式(不必写明自变量x的取值范围).
(2)每个蔬菜基地的面积是否能达到10 m 且x>y 若能，求出x的值；若不能，请说明理由.
16.(14 分)某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相等且全部售出，已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元,1 件 A 产品与 1 件 B产品售价和为500 元.
(1)A，B两种产品的销售单价分别是多少
(2)随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期，今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间，预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%，则今年 A，B 两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增 a%求a的值.
一、1. D 【点拨】设方程的另一个根为a，则 两根之积为 故选 D.
2. B
3. C 【点拨】∵m,n是一元二次方程. 的两个根,∴m +3m-9=0,m+n=-3.
,故选 C.
4. B 【点拨】本题易忽略△>0而错选C.
5. C 【点拨】先将方程化成一般形式，再计算得出Δ>0，最后根据两根之积为负判断根的情况.
6. B 【点拨】由题意得m+n=2, mn=-1,
∴一次函数y=(m+n)x+ mn的图象经过第一、三、四象限,故选 B.
7. D 【点拨】∵方程 的两根分别是-2
∴(x-2+6)(x-2-1)=0.
∴(x+4)(x-3)=0,
解得
故选 D.
8. C 【点拨】设乙驾车的时长为 xh，则 可列方程为 解方程即可.
二、9.2
10.3 【点拨】∵方程有两个不相等的实数根，
∵x ，x 是关于x的一元二次方程 m+2=0的两个实数根，
解得m =0(不符合题意，舍去)，
11.10 【点拨】设每件降价 x元，则每件的销售利润为(65-x-45)元,每天可售出(30+5x)件.
根据题意,得(65-x~45)(30+5x)=800,
解得
∵要尽快减少库存,∴x=10.
∴每件应降价 10元.
12.10 【点拨】设经过 ts后,P,Q两点之间相距25 cm.根据题意，得CP=2t cm,CQ=(25-t) cm,PQ=25 cm.
解得 10,t =0(舍去).∴经过 10 s后,P,Q两点之间相距25 cm.
三、13.【解】设另一个根为x .
由根与系数的关系，得 解得
14.(1)【证明 「
∴不论实数m取何值，方程总有实数根.
(2)【解】设矩形的两邻边长为a，b，
根据根与系数的关系得a+b=m+5>0, ab=3m+6>0,∴m>-2.
即
整理得
解得 (舍去),
∴m的值为 2.
15.【解】(1)根据题意,得4x+5y=30,
(2)能.根据题意，得
整理，得
解得
当 时， 不符合题意，舍去；
当x=5时, 符合题意.
∴每个蔬菜基地的面积能达到10m 且x>y，此时x的值为5.
16.【解】(1)设B产品的销售单价为x元，则 A产品的销售单价为(x+100)元.
依题意,得x+100+x=500,解得x=200.
∴x+100=300.
∴A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元,
(2)设去年每个车间生产产品的数量为t件.
依题意得 300(I+a%)t+200(1+3a%)(1-a%)t=
设a%=m，则原方程可化简为 解得 (不合题意，舍去).
∴a=20.
